كاربردهای مهم پیوستگی توابع

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

قضیه بولتزوانو

قضیه

فرض کنیم تابع y=fx در بازه a,b پیوسته باشد و fa.fb<0 یعنی fa و fb مختلف العلامه باشند.

در این صورت نقطه ای مانند ca,b وجود دارد به‌طوری‌که fc=0 است.

كاربردهای پیوستگی - پیمان گردلو

قضیه فوق بیان می‌کند که گراف تابع پیوسته f در بازه a,b بایستی محور x ها را در نقطه ای بین a و b قطع کند، هرگاه fa و fb مختلف العلامه باشند.  

نکته

1- منظور از ریشه های حقیقی معادله fx=0 همان تلاقی نمودار تابع y=fx با محور x ها، یعنی خط y=0 است. اگر بتوانیم مشخص کنیم نمودار تابع f محور x ها را درچند نقطه می‌تواند قطع کند، ریشه های حقیقی معادله fx=0 مشخص می‌شوند. 


2- هرگاه در قضیه بولتزانو بتوانیم ثابت کنیم تابع f در بازه a,b اکیدا یکنواست (اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی) آنگاه فقط و فقط یک عدد مانند c وجود دارد که fc=0 است، یعنی c تنها ریشه معادله fx=0 است. 

یادآوری می‌کنیم که هرگاه تابع تابع y=fx در بازه a,b پیوسته باشد:

اگر مشتق تابع در این فاصله مثبت یا در بعضی از نقاط صفر باشد، تابع در آن فاصله اکیدا صعودی است. 
اگر مشتق تابع در این فاصله منفی یا در بعضی از نقاط صفر باشد، تابع در آن فاصله اکیدا نزولی است.


3- در حالت کلی، شرط آن‌که معادله fx=0 بازه a,b دارای فقط یک ریشه باشد، آن است که: 

تابع y=fx در بازه a,b پیوسته باشد.
حاصل ضرب fa و fb مختلف العلامه باشند یعنی fa.fb<0.
تابع y=fx در بازه a,b اکیدا یکنوا (اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی) باشد. 

تمرین

تحقيق كنيد كه معادله زیر در فاصله 0,1 فقط يک ريشه دارد.

fx=x0.5cosx

1- تابع fx همواره در فاصله 0,1 پيوسته است. 


2- 

f0=0.5f1=10.5cos1=0.72  f0.f1<0


3- تابع fx همواره در فاصله 0,1 اكيدا صعودی است.

f'x=1+0.5sinx0 


هر سه شرط قضيه بولتزانو برقرار است، پس تابع 
در فاصله 0,1 فقط يک ريشه دارد.

دریافت مثال

نکته

4- در هر معادله به‌صورت زیر اگر n عددی طبیعی و فرد باشد، معادله حداقل یک ریشه حقیقی دارد. 

fx=anxn+an1xn1++a0=0

فرض کنیم an>0 باشد، در این صورت:

در ربع سوم limxfx= می‌باشد، یعنی عددی مانند a وجود دارد که fa<0 باشد.
در ربع اول limx+fx=+ می‌باشد، یعنی عددی مانند b وجود دارد که fb>0 باشد.  

بنابراین fa.fb<0 است و بنابر قضیه بولتزوانو، معادله fx=0 حداقل یک ریشه حقیقی دارد.  

تمرین

معادله x9+x4+10=0 چند ريشه حقيقی دارد؟

1- چون بالاترين توان اين كثيرالجمله فرد است، پس اين تابع حداقل يک ريشه حقيقی را دارد.


2- تابع fx=x9+x4+10 اكيدا صعودی است:

if  fx=x9+x410f'x=9x8+4x3>0


بنابراين تابع فوق فقط يک ريشه دارد.

دریافت مثال

نکته

5- معادله زیر را در نظر بگیرید:

fx=ax2m+1+bx2n+1++Lx2k+1+A=0

اگر a,b,,L اعداد حقیقی و m,n,,k اعداد طبیعی باشند، معادله فقط و فقط یک ریشه دارد. 

اگر A<0 باشد، این ریشه مثبت و اگر  A>0 باشد، این ریشه منفی است. 

دریافت مثال

نکته

6- معادله زیر را در نظر بگیرید: 

fx=anxn+an1xn1++a0=0

اگر a0an<0 باشد، معادله fx=0 حداقل یک ریشه مثبت دارد. (a0 و an مختلف العلامه می‌باشند.)  

اگر an>0 باشد، آنگاه limx+fx=+ یعنی عددی مانند b در ربع اول وجود دارد که fb>0 باشد.  

اگر a0<0 باشد، آنگاه:

f0=0+0++a0f0=a0a0<0f0<0

بنابراین fb.f0<0 می‌باشد و معادله حداقل یک ریشه مثبت در فاصله 0,+ دارد. در این حالت اگر fx در فاصله 0,+ اکیدا یکنوا باشد، معادله fx=0 در فاصله فوق فقط یک ریشه مثبت دارد.        

نتیجه مهم:

هرگاه در معادله چند جمله ای fx=anxn++a0=0، n زوج باشد و a0an<0 باشد، معادله حداقل یک ریشه مثبت و حداقل یک ریشه منفی دارد. (دو ریشه مختلف العلامه)  

limxfx=+limx+fx=+

تمرین

معادله درجه دوم زیر، چند ریشه دارد؟ 

fx=x22x3=0

a0a2=31<0


معادله دو ریشه مختلف العلامه دارد.


كاربردهای پیوستگی - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

7- اگر p و q نسبت به هم اول باشند یعنی p,q=1 و x=pq یک ریشه گویای معادله زیر با ضرایب صحیح باشد:

fx=anxn++a1x+a0=0

آنگاه pa0 و qan  یعنی a0 بر p و an بر q بخش پذیر است. 

3x25x+2=0x=23    ;    2   ,  3pq=1p=2a0=2q=3an=3


نتیجه مهم:

هرگاه در معادله چند جمله ای fx=anxn++a0=0 با ضرایب صحیح، an=1 باشد معادله را تکین گویند در این صورت q=±1 در نتیجه x=±p عددی صحیح می‌باشد، بنابراین ریشه های صحیح معادله فوق، مقسوم علیه های a0 می‌باشند که با تعداد معینی آزمایش می‌توان آنها را یافت. 

دریافت مثال

قضیه مقدار میانی

قضیه

فرض کنیم تابع y=fx در بازه a,b پیوسته باشد، fa=A و fb=B باشد.

به‌علاوه فرض کنیم که m عددی بین A و B باشد، در این صورت نقطه ای مانند c در فاصله a,b وجود دارد به‌طوری‌که fc=m.    

كاربردهای پیوستگی - پیمان گردلو

قضیه فوق بیان می‌دارد که گراف تابع پیوسته f در بازه بسته a,b که دو نقطه a,A و b,B را به هم وصل می‌کند، هر خط y=m را که A<m<B باشد را قطع می‌کند. 

یادآوری

باید توجه داشت که هم قضیه بولتزوانو و هم قضیه مقدار میانی وقتی برقرار است که f در هر نقطه a,b پیوسته باشد.

اگر در نقطه a و b پیوسته نباشد، قضایای مطرح شده برقرار نیست. 

دریافت مثال

روش نصف کردن برای یافتن ریشه معادله

فرض کنیم معادله fx=0 داده شده باشد و در آن fx در بازه a,b پیوسته باشد.

برای یافتن ریشه معادله fx=0 یعنی α وسط بازه a,b را یافته m1 می‌نامیم. بازه a,b به دو زیر بازه m1,b و a,m1 تبدیل می‌شود.

كاربردهای پیوستگی - پیمان گردلو  

بنابر قضیه بولتزانو داریم:

if  fafm1<0αa,m1if  fm1fb<0αm1,b

مجددا وسط بازه m1,b را یافته m2 می‌نامیم. بازه m1,b به دو زیر بازه m2,b و m1,m2 تبدیل می‌شود. 

تبدیل می‌شود و این امر را آن‌قدر ادامه می‌دهیم تا مقدار α که ریشه معادله است، پیدا شود.

تذکر

برای یافتن وسط a,b داریم:  

m=a+b2   :     a,b=a,m=a+b2m=a+b2,b

تمرین

با استفاده از روش نصف کردن، ریشه ای از معادله زیر را در بازه 0,1 قرار دارد، پیدا کنید.   

fx=x4+2x3x1=0

f0=1f1=1  f0f1<0


طبق قضیه بولتزوانو تابع f دارای یک ریشه بین 0,1 است.


بازه 0,1 به دو زیر بازه 12,1 و 0,12 تقسیم می‌کنیم:

if  x0,12f0=1f12=1.19   f0×f12>0


 ریشه بین 0,12 نیست.

if   x12,1f12=1.19f1=1   f12.f1<0


ریشه بین 12,1 است.


بازه 12,1 به دو زیر بازه 34,1 و 12,34 تقسیم می‌کنیم:

if   x12,34f12=1.19f34=0.59   f12f34>0


 ریشه بین 12,34 نیست.

if   x34,1f34=0.59f1=1   f34f1<0

ریشه بین 34,1 است.


به همین ترتیب ادامه می‌دهیم تا در بازه زیر داریم:


5564,78=0.8594,0.875α=0.8594+0.87520.867

قضیه مقدار نهایی

قضیه

فرض کنیم تابع y=fx در بازه a,b پیوسته باشد، آنگاه f دارای ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق است.

به عبارت دیگر دو عدد مانند x1 و x2 در بازه a,b وجود دارند به‌طوری‌که: 

xa,b     ;    fx2fxfx1

قضیه فوق بین می‌کند که گراف یک تابع پیوسته در یک بازه بسته، دارای بالاترین نقطه P و پایین‌ترین نقطه Q است.  

كاربردهای پیوستگی - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

كاربردهای مهم پیوستگی توابع

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید