سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

تعریف معادلی برای پیوستگی

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه ای را در زیر ثابت می‌کنیم که شرطی لازم و کافی برای پیوستگی است.

از این قضیه می‌توان استفاده کرد و بعضی از قضایای پیوستگی را ثابت کرد، حتی این قضیه، کاربرد پیوستگی در معادلات تابعی دارد.

قضیه

شرط لازم و کافی برای آنکه تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوسته باشد آن است که:

$\lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a)$

اثبات

روش اول:

$i f g (h) = h + a \Rightarrow \lim_{h \to 0} g (h) = a$

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوسته باشد، بنابر قضیه پیوستگی توابع مرکب:

$\lim_{h \to 0} f (a + h) = \lim_{h \to 0} f (g (h)) = f (\lim_{h \to 0} g (h)) = f (a)$

روش دوم:

$\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x - a \to 0} f (a + (x - a)) = \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a)$

نکته

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوسته باشد، آنگاه:

$\lim_{h \to 0} [f (a + h) - f (a - h)] = 0$

البته عکس آن همواره صحیح نمی‌باشد.

تمرین

تابع $y = f (x)$ به ازای هر $x$ و $y$ حقیقی در معادلات زیر صدق می‌کند. اگر $y = f (x)$ در نقطه $x = 0$ پیوسته باشد، ثابت کنید در $R$ پیوسته است:

$f (x + y) = f (x) + f (y)$

$\begin{array}{l} i f x = y = 0 \\ \Rightarrow f (0 + 0) = f (0) + f (0) \\ \Rightarrow f (0) = 2 f (0) \\ \Rightarrow 2 f (0) - f (0) = 0 \\ \Rightarrow f (0) = 0 \end{array}$

اگر $a$ عدد حقیقی باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} f (a + h) = \lim_{h \to 0} [f (a) + f (h)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = \lim_{h \to 0} f (a) + \lim_{h \to 0} f (h) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) + f (0); f (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) + 0 \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) \end{array}$

تابع $y = f (x)$ در صفر پیوسته است لذا:

$\lim_{h \to 0} f (h) = f (0)$

بنابر قضیه مطرح شده، $y = f (x)$ در هر نقطه $a$ پیوسته است.

$f (x + y) = f (x) . f (y)$

$\begin{array}{l} i f x = y = 0 \\ \Rightarrow f (0 + 0) = f (0) . f (0) \\ \Rightarrow f (0) = f^{2} (0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{2} (0) - f (0) = 0 \\ \Rightarrow f (0) (f (0) - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} f (0) = 0 \\ f (0) - 1 = 0 \Rightarrow f (0) = 1 \end{cases} \end{array}$

حالت اول: اگر $f (0) = 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \forall x \in R; f (x + 0) = f (x) . f (0) \\ \Rightarrow f (x + 0) = f (x) . (0) \\ \Rightarrow f (x + 0) = 0 \\ \Rightarrow f (x) = 0 \end{array}$

یعنی $f$ تابع ثابت صفراست، پس در $R$ پیوسته است.

حالت دوم: اگر $f (0) = 1$ باشد، داریم:

$f$ در صفر پیوسته است:

$\lim_{h \to 0} f (h) = f (0) = 1$

$\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} f (a + h) = \lim_{h \to 0} f (a) . f (h) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = \lim_{h \to 0} f (a) . \lim_{h \to 0} f (h) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) . f (0) \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) . (1) \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a) \end{array}$

$f$ در هر نقطه $a$ پیوسته است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

پیوستگی

تعریف معادلی برای پیوستگی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع