تعریف معادلی برای پیوستگی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

مقدمه: قضیه ای را در زیر ثابت می‌کنیم که شرطی لازم و کافی برای پیوستگی است. 

از این قضیه می‌توان استفاده کرد و بعضی از قضایای پیوستگی را ثابت کرد، حتی این قضیه، کاربرد در پیوستگی معادلات تابعی دارد.

قضیه

شرط لازم و کافی برای آنکه تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد آن است که: 

limh0fa+h=fa

اثبات

روش اول:

ifgh=h+alimh0gh=a

اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد، بنابر قضیه پیوستگی توابع مرکب:

limh0fa+h=limh0fgh=flimh0gh=fa


روش دوم:

limxafx=limxa0fa+xa=limh0fa+h=fa

نکته

اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد، آنگاه:

limh0fa+hfah=0

البته عکس آن همواره صحیح نمی‌باشد.

تمرین

تابع y=fx به ازای هر x و y حقیقی در معادلات زیر صدق می‌کند. اگر y=fx در نقطه x=0 پیوسته باشد، ثابت کنید در R پیوسته است:  

fx+y=fx+fy

if  x=y=0f0+0=f0+f0f0=2f02f0f0=0f0=0


اگر a عدد حقیقی باشد، آن‌گاه:

limh0fa+h=limh0fa+fhlimh0fa+h=limh0fa+limh0fhlimh0fa+h=fa+f0    ;    f0=0limh0fa+h=fa+0limh0fa+h=fa


تابع y=fx در صفر پیوسته است لذا:

limh0fh=f0


بنابر قضیه مطرح شده، y=fx در هر نقطه a پیوسته است. 

fx+y=fx.fy

if  x=y=0f0+0=f0.f0f0=f20f20f0=0f0f01=0f0=0f01=0f0=1


حالت اول: اگر f0=0 باشد، داریم:

xR    ;    fx+0=fx.f0fx+0=fx.0fx+0=0fx=0

یعنی f تابع ثابت صفراست، پس در R پیوسته است.


حالت دوم: اگر f0=1 باشد، داریم:


f در صفر پیوسته است:

limh0fh=f0=1

limh0fa+h=limh0fa.fhlimh0fa+h=limh0fa.limh0fhlimh0fa+h=fa.f0limh0fa+h=fa.1limh0fa+h=fa

f در هر نقطه a پیوسته است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید