سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

پیوستگی تابع معكوس

آخرین ویرایش: 17 فروردين 1402

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

یادآوری می‌کنیم که اگر تابع $y = f (x)$ در دامنه اش اکیدا یکنوا باشد آن‌گاه یک به یک و معکوس پذیر می‌باشد.

اما عکس این مطلب همواره صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع در یک فاصله یا در دامنه اش یک به یک باشد یعنی معکوس پذیر باشد اما اکیدا یکنوا نباشد.

تمرین

تابع زیر، چنین تابع ناپیوسته ای است:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}; |x| > 1 \\ - \frac{1}{x}; |x| \leq 1 \\ 0; x = 0 \end{cases}$

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

اما در قضیه ای که مطرح می‌شود، خواهیم دید که با اضافه کردن شرط پیوستگی به تابع یک به یک در یک بازه، آن تابع اکیدا یکنوا خواهد شد.

قضیه

فرض کنیم $f : [a, b] \to B$ تابعی پیوسته و یک به یک باشد در این صورت $f$ روی $A = [a, b]$ اکیدا یکنواست.

اثبات

فرض کنیم $A = [a, b]$ و $f (a) < f (b)$ پس ثابت می‌کنیم $f$ اکیدا صعودی است.(اثبات حالت اکیدا نزولی شبیه آن است.)

$\forall x, y, z \in A; i f x < y < z \Rightarrow f (x) < f (y) < f (z)$

حالت اول:

$i f f (y) < f (x) \Rightarrow f (y) < f (x) < f (z)$

بنابر قضیه مقدار میانی $u \in (y, z)$ ای هست به‌طوری‌که $f (u) = f (x)$ که متناقض با یک به یک بودن $f$ است.

حالت دوم:

$i f f (z) < f (y) \Rightarrow f (x) < f (z) < f (y)$

بنابر قضیه مقدار میانی $v \in (x, y)$ ای هست به‌طوری‌که $f (v) = f (z)$ که متناقض با یک به یک بودن $f$ است.

بنابراین $f (x) \leq f (y) \leq f (z)$ و چون $f$ یک به یک است لذا $f (x) < f (y) < f (z)$ .

اکنون فرض می‌کنیم:

$\forall x_{1}, x_{2} \in A; x_{1} < x_{2}$

با به کار بردن بحث فوق برای $a$ و $x_{1}$ و $b$ داریم:

$f (a) < f (x_{1}) < f (b)$

با به کار بردن بحث فوق برای $b$ و $x_{2}$ و $x_{1}$ داریم:

$f (x_{1}) < f (x_{2}) < f (b)$

بنابراین $f$ روی $A$ اکیدا صعودی است.

قضیه پیوستگی تابع معکوس

فرض کنیم تابع $f$ از مجموعه $A$ به‌روی $B$ یک به یک و پیوسته باشد.

سؤالی که طبیعی به نظر می‌رسد آن است که آیا تابع $f^{- 1}$ از مجموعه $B$ به‌روی $A$ همواره پیوسته است؟ جواب مسلما منفی است.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \{\begin{cases} x; 0 \leq x \leq 2 \\ x - 1; 3 < x \leq 4 \end{cases}$ را در نظر می‌گیریم.

یک به یکی و پیوستگی تابع را در دامنه اش بررسی می‌کنیم:

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

این تابع یک به یک و در دامنه اش $A = [0, 2] \cup (3, 4]$ پیوسته است.

آیا معکوس تابع $f$ با ضابطه زیر در دامنه اش پیوسته است؟

$f^{- 1} (x) = \{\begin{cases} x; 0 \leq x \leq 2 \\ x + 1; 2 < x \leq 3 \end{cases}$

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

$f^{- 1}$ در دامنه اش $[0, 3]$ ناپیوسته است.

نکته

شرایطی وجود دارد که تحت آن شرایط معکوس یک تابع پیوسته و یک به یک می‌تواند تابعی پیوسته باشد.

دو حالت مهم زیر وجود دارد:

دامنه $f$ مجموعه ای بسته و کراندار است.

دامنه $f$ یک بازه باز باشد، این بازه می‌تواند باز یا بسته و یا حتی بی‌کران باشد.

قضیه

فرض کنیم $f : [a, b] \to R$ تابعی پیوسته و اکیدا صعودی روی $[a, b]$ باشد.

تابع $f^{- 1}$ معکوس $f$ روی $B = [f (a), f (b)]$ پیوسته و اکیدا صعودی است.

تابع $f^{- 1}$ معکوس $f$ روی $B = [f (b), f (a)]$ پیوسته و اکیدا نزولی است.

اثبات

ثابت می‌کنیم تابع $f^{- 1}$ معکوس $f$ روی $B = [f (a), f (b)]$ پیوسته و اکیدا صعودی است.

مرحله اول: ثابت می‌کنیم $f^{- 1}$ اکیدا صعودی است.

فرض کنیم $y_{1}$ و $y_{2}$ دو نقطه از $B$ باشند، به‌طوری‌که $y_{1} < y_{2}$ :

تعریف می‌کنیم $\{\begin{cases} x_{1} = f^{- 1} (y_{1}) \\ x_{2} = f^{- 1} (y_{2}) \end{cases}$ . واضح است که $x_{1} \neq x_{2}$ زیرا در غیر این صورت $y_{1} = y_{2}$ و هم‌چنین واضح است که نمی‌توان $x_{2} < x_{1}$ زیرا در این صورت از اکیدا صعودی بودن $f$ نتیجه می‌شود $y_{2} < y_{1}$ که خلاف فرض است پس $x_{1} < x_{2}$ در نتیجه $f^{- 1}$ اکیدا صعودی است.

$R_{f} = [f (a), f (b)]$ یعنی $f$ تابعی پوششی روی $B$ است و چون اکیدا صعودی است $f$ یک تناظر یک به یک است.

مرحله دوم:

ثابت می‌کنیم $f^{- 1}$ پیوسته است، اثبات این قسمت را در مبحث دنباله مشاهده کنید.

تذکر

اگر تابع $f$ در نقطه $c$ از دامنه اش پیوسته نباشد، گوئیم $c$ یک نقطه ناپیوسته $f$ است.

اگر تابع $f$ در نقطه ای تعریف نشده باشد آن نقطه را نقطه ناپیوستگی $f$ به حساب نمی‌آوریم، زیرا برای بررسی پیوستگی توابع فقط خودمان را به دامنه تابع محدود می‌کنیم ، یعنی نقاطی که تابع در آن تعریف شده باشد.

به طور کلی بررسی پیوستگی در نقاطی که تابع تعریف نشده است بی معنی است، پس اگر تابعی در یک نقطه تعریف نشده باشد، بحث از پیوستگی یا ناپیوستگی در این نقطه بیهوده است.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \frac{1}{x}$ را در نظر می‌گیریم.

پیوستگی تابع فوق را در دامنه اش بررسی کنید:

دامنه تابع $R - \{0\}$ است و تابع در دامنه اش پیوسته است.

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

نباید نقطه $x = 0$ را یک نقطه ناپیوستگی برای $f$ به حساب آوریم، زیرا تابع در $x = 0$ تعریف نشده است، یعنی تابع در $x = 0$ نامعین است نه ناپیوسته.

زمانی می‌توانیم از پیوسته بودن و یا ناپیوسته بودن تابع فوق در $x = 0$ بحث کنیم که مثلا تابع به صورت زیر تعریف شده باشد:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}; x \neq 0 \\ 1; x = 0 \end{cases}$

تمرین

پيوستگی معكوس توابع زیر را بررسی كنيد.

$y = \sin x : x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

تابع در فاصله فوق اكيدا صعودی و پيوسته است.

یادآوری می‌کنیم که در توابع اكيدا صعودی داریم:

$i f y = f (x), x \in [a, b] \overset{}{\to} \{\begin{cases} D_{f} = [a, b] \\ R_{f} = [f (a), f (b)] \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (x) = \sin x \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ R_{f} = [f (- \frac{π}{2}), f (\frac{π}{2})] = [- 1, 1] \end{cases} \\ f^{- 1} (x) = A r c \sin x \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f^{- 1}} = R_{f} = [- 1, 1] \\ R_{f^{- 1}} = D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{cases} \end{array}$

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

$f^{- 1} (x)$ هم در فاصله $[- 1, 1]$ اكيدا صعودی و پيوسته است.

$y = \cos x : x \in [0, π]$

تابع در فاصله فوق اكيدا نزولی و پيوسته است.

یادآوری می‌کنیم که در توابع اكيدا نزولی داریم:

$i f y = f (x), x \in [a, b] \overset{}{\to} \{\begin{cases} D_{f} = [a, b] \\ R_{f} = [f (b), f (a)] \end{cases}$

$\begin{array}{l} f (x) = \cos x \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f} = [0, π] \\ R_{f} = [f (π), f (0)] = [- 1, 1] \end{cases} \\ f^{- 1} (x) = A r c \cos x \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f^{- 1}} = R_{f} = [- 1, 1] \\ R_{f^{- 1}} = D_{f} = [0, π] \end{cases} \end{array}$

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

$f^{- 1} (x)$ هم در فاصله $[- 1, 1]$ اكيدا نزولی و پيوسته است.

تمرین

تابع $f$ با ضابطه زیر مفروض است. تابع $f^{- 1}$ در چند نقطه از دامنه‌اش ناپيوسته است؟

$f (x) = \{\begin{cases} x; 0 \leq x \leq 1 \\ x - 1; 2 < x \leq 3 \end{cases}$

$f^{- 1} (x) = \{\begin{cases} x; 0 \leq x \leq 1 \\ x + 1; 1 < x \leq 2 \end{cases}$

$f^{- 1}$ در $x = 1$ ناپيوسته است.

تمرین

تابع $f$ با ضابطه زیر مفروض است. تابع با ضابطه $f (f^{- 1} (x))$ در چند نقطه ناپيوسته است.

$f (x) = \{\begin{cases} - x; x \geq 0 \\ - \frac{1}{x}; x < 0 \end{cases}$

یادآوری می‌کنیم که:

تركيب $f$ با معكوس خودش همواره یک تابع همانی است:

$(f \cdot f^{- 1}) (x) = x$

بنابراين تابع فوق همواره پيوسته است و نقطه ناپيوسته ندارد.

تمرین

معکوس تابع با ضابطه زیر و با شرط $x \neq 0$ در چند نقطه از دامنه‌اش ناپيوسته است؟

$f (x) = (1 + x^{2}) sgn x$

$f (x) = \{\begin{array}{l} 1 + x^{2}; x > 0 \\ - (1 + x^{2}); x < 0 \end{array}〉 f^{- 1} (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x - 1}; x > 1 \\ - \sqrt{- x - 1}; x < - 1 \end{cases}$

پیوستگی تابع معكوس - پیمان گردلو

$f^{- 1}$ در دامنه‌اش پيوسته است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

پیوستگی

پیوستگی تابع معكوس

مقدمه

قضیه پیوستگی تابع معکوس

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟