پیوستگی تابع علامت

آخرین ویرایش: 17 فروردين 1402

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

تابع $g$ با ضابطه زیر را تابع علامت می‌نامند و $g : R \to \{- 1, 0, 1\}$ تعریف می‌شود.

$g (x) = sgn x = \{\begin{cases} 1; x > 0 \\ 0; x = 0 \\ - 1; x < - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} D_{f} = R \\ R_{f} = \{- 1, 0, 1\} \end{cases}$

پیوستگی تابع علامت - پیمان گردلو

اکنون تابع با ضابطه $g (x) = sgn f (x)$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$g (x) = sgn f (x) = \{\begin{cases} 1; f (x) > 0 \\ 0; f (x) = 0 \\ - 1; f (x) < 0 \end{cases}$

با استفاده از تعریف فوق می‌توان هر تابع علامت را رسم کرد.

فرض کنید نمودار $y = f (x)$ رسم شده باشد:

تمام نمودار $f (x)$ را که بالای محور $x$ ها واقع است، روی خط $y = 1$ تصویر می‌کنیم.
تمام نمودار $f (x)$ را که زیر محور $x$ ها واقع است، روی خط $y = - 1$ تصویر می‌کنیم.
هر نقطه از نمودار $f (x)$ را که روی محور $x$ ها واقع است، روی خود آن تصویر می‌کنیم.

به این ترتیب نمودار $g (x) = sgn f (x)$ رسم می‌شود.

پیوستگی تابع علامت - پیمان گردلو

تعریف

فرض کنیم $y = f (x)$ در بازه $[a, b]$ تابعی پیوسته باشد، در این صورت تابع $g (x) = sgn f (x)$ در تمام نقاط $[a, b]$ به جز نقاطی از این فاصله، مانند $c$ که $f (c) = 0$ اما $f (c + α) \neq 0$ یا $f (c - α) \neq 0$ پیوسته است.

اگر $y = f (x)$ پیوسته باشد، برای تعیین نقاط ناپیوستگی $g (x) = sgn f (x)$ معادله $f (x) = 0$ را حل می‌کنیم ، ریشه های آن نقاط ناپیوستگی می‌باشند ،به شرطی که تابع $f$ حداقل در یک همسایگی محذوف راست یا چپ از این ریشه مخالف صفر باشد.

در شکل فوق $x_{3}$ و $x_{4}$ نقاط ناپیوستگی $g (x) = sgn f (x)$ می‌باشند اما در هر نقطه از بازه $(x_{3}, x_{4})$ تابع $g (x) = sgn f (x)$ پیوسته است.

تمرین

نقاط ناپيوستگی تابع زیر را در دامنه تعریفش بررسی کنید.

$g (x) = sgn (x^{3} - x)$

تابع $y = x^{3} - x$ كثيرالجمله و در $R$ پيوسته است.

$\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ \Rightarrow x^{3} - x = 0 \\ \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{cases} \end{array}$