سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

پیوستگی روی یک بازه

آخرین ویرایش: 17 فروردين 1402

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تابع $y = f (x)$ را در فاصله بسته $[a, b]$ پیوسته گویند، هرگاه:

پیوستگی روی یک بازه - پیمان گردلو

1- تابع $f$ در هر نقطه از بازه $(a, b)$ پیوسته است:

$\forall x_{0} \in (a, b) \Rightarrow \lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

2- تابع $f$ در نقطه $x = a$ از راست پیوسته است:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$

3- تابع $f$ در نقطه $x = b$ از چپ پیوسته است:

$\lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$

با این روش می‌توان پیوستگی در بازه های زیر را تعریف کرد:

$(- \infty, b], [a, + \infty), [a, b), (a, b]$

نقاط $(b, f (b)), (a, f (a))$ را نقاط توقف گویند.

تذکر

وقتی تابعی در تمام نقاط یک بازه پیوسته است، گوئیم این تابع در آن بازه پیوسته است اما اگر تابعی در یک نقطه از بازه ای ناپیوسته باشد، گوئیم تابع در آن بازه ناپیوسته است.

مجموع نقاط پیوستگی یک تابع، زیر مجموعه ای از دامنه آن تابع است.

تمرین

پیوستگی تابع با ضابطه زیر را در هر نقطه از فاصله $[0, 2]$ بررسی کنید.

$f (x) = \{\begin{matrix} 2 x; & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x; & 1 < x \leq 2 \end{matrix}$

نمودار تابع فوق را رسم می‌کنیم:

پیوستگی روی یک بازه - پیمان گردلو

فاصله $[0, 2]$ به دو زیر بازه $[0, 1], (1, 2]$ تبدیل می‌شود.

حالت اول: بررسی پیوستگی $f$ در بازه $[0, 1]$

1- بایستی ثابت کنیم که $f$ در بازه $(0, 1)$ پیوسته است.

توجه شود چون ضابطه $f$ در این فاصله یک کثیرالجمله است به راحتی می‌توان دریافت که در فاصله $(0, 1)$ پیوسته است.

2- باید ثابت کنیم که $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی از راست دارد.

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) = 0$

3- باید ثابت کنیم که $f$ در نقطه $x = 1$ پیوستگی از چپ دارد.

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) = 2$

هر سه شرط فوق برقرار است پس تابع $f$ در بازه $[0, 1]$ پیوسته است.

حالت دوم: بررسی پیوستگی $f$ در بازه $(1, 2]$

1- بایستی ثابت کنیم که $f$ در بازه $(1, 2)$ پیوسته است.

توجه شود چون ضابطه $f$ در این فاصله یک کثیرالجمله است به راحتی می‌توان دریافت که در فاصله $(1, 2)$ پیوسته است.

2- باید ثابت کنیم که $f$ در نقطه $x = 2$ پیوستگی از چپ دارد.

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2) = 0$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

پیوستگی روی یک بازه

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

پیوستگی

پیوستگی روی یک بازه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟