سرفصل‌های این مبحث

استدلال ریاضی

استدلال استقرایی

آخرین ویرایش: 09 اسفند 1402

دسته‌بندی: استدلال ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

احکام ممکن است کلی و ممکن است جزیی باشند.

به‌عنوان نمونمه چند نمونه از احکام کلی را ذکر می‌کنیم:

همه مردم کشور آموزش صحیح دارند.
در هر متوازی‌الاضلاع، اقطار یک‌دیگر را نصف می‌کنند.
هر عددی که به صفر ختم شده باشد، بر $5$ قابل قسمت است.

به‌عنوان نمونمه چند نمونه از احکام جزیی یا خاص متناظر با نمونه‌های فوق را ذکر می‌کنیم:

شروین آموزش صحیح دارد.

در متوازی‌الاضلاع $A B C D$ اقطار منصف یک‌دیگرند.
عدد $140$ بر $5$ قابل قسمت است.

نکته

از حکم کلی به طرف حکم جزیی رفتن را قیاس گویند.

وقتی که از احکام جزیی به احکام کلی برسیم، روش نتیجه‌گیری را استقرا گویند.

تذکر

استقرا ممکن است ما را به نتیجه درست و هم ممکن است به نتیجه نادرست برساند.

تمرین

$(1)$ عدد $140$ بر $5$ قابل قسمت است.

$(2)$ هر عددی که به صفر ختم شود بر $5$ قابل قسمت است.

آیا از حکم جزیی $(1)$ می‌توان به حکم کلی $(2)$ رسید؟

از حکم جزیی $(1)$ حکم کلی $(2)$ را نتیجه گرفتیم، پس حکم $(2)$ صحیح است.

تمرین

$(1)$ عدد $140$ بر $5$ قابل قسمت است.

$(2)$ هر عدد سه رقمی بر قابل قسمت است.

آیا از حکم جزیی $(1)$ می‌توان به حکم کلی $(2)$ رسید؟

از حکم جزیی $(1)$ حکم کلی $(2)$ را نتیجه نگرفتیم، پس حکم $(2)$ صحیح نیست.

تذکر

در ریاضی، استقرا را چگونه به‌کار بریم تا فقط نتیجه صحیح به‌دست آید؟

در این‌جا نمونه‌هایی از این‌گونه احکام را که در چند حالت خاص، صحیح و در حالت کلی نادرست هستند، ذکر می‌کنیم.

تمرین

عدد زیر را در نظر بگیرید:

$A = 2^{2^{n}} + 1$

این عدد را به‌ازای مقادیر $n = 0, 1, 2, 3, 4$ به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} n = 0 \Rightarrow A = 2^{2^{0}} + 1 = 3 \\ n = 1 \Rightarrow A = 2^{2^{1}} + 1 = 5 \\ n = 2 \Rightarrow A = 2^{2^{2}} + 1 = 17 \\ n = 3 \Rightarrow A = 2^{2^{3}} + 1 = 257 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 \Rightarrow A = 2^{2^{4}} + 1 = 65537 \end{array}$

آیا اعداد فوق همگی اول هستند؟

در همه این موارد، نتیجه مساوی یک عدد اول است.

آیا می‌توان نتیجه گرفت $A$ به‌ازای هر $n$ عدد اول تولید می‌کند؟

ریاضی‌دان مشهور فرانسوی فرما گمان می‌کرد که این عدد به‌ازای همه مقادیر $n$ عددی اول است، اما در قرن هجدهم، اولر ثابت کرد این عدد به‌ازای $n = 5$ عددی اول نیست.

$\begin{array}{l} n = 5 \end{array}$

$\begin{matrix} A = 2^{2^{5}} + 1 = 4 / 294 / 967 / 297 = 641 \times 6 / 700 / 417 \end{matrix}$

تمرین

ریاضی‌دان مشهور قرن هفدهم آلمان و یکی از پایه گذاران ریاضیات عالی یعنی لایپ‌نیتز ثابت کرد که به‌ازای همه مقادیر صحیح و مثبت $n$ :

عدد $n^{3} - n$ بر $3$ قابل قسمت است.

عدد $n^{5} - n$ بر $5$ قابل قسمت است.

عدد $n^{7} - n$ بر $7$ قابل قسمت است.

آیا به‌ازای هر مقدار فرد $k$ و هر مقدار صحیح و مثبت $n$ عدد $n^{k} - n$ بر $k$ قابل قسمت است؟

خیر.

به‌ازای $k = 9$ عدد $2^{9} - 2 = 510$ بر $9$ قابل قسمت نیست.

یادآوری

استدلال استقرایی روش نتیجه‌گیری کلی بر مبنای مجموعه محدودی از مشاهدات است.

اگر وارد روستایی شوید و اولین فردی که با او برخورد می‌کنید چشمان آبی داشته باشد و نیز در ادامه مسیر متوجه شوید که رنگ چشمان افرادی که با آنها در این روستا مواجه شدید آبی است ممکن است نتیجه بگیرید که رنگ چشمان تمامی افراد روستا آبی است.

وقتی در یک جعبۀ میوه، چند تا میوه گندیده می‌بینیم، حکم می‌کنیم که میوه‌های آن جعبه خرابند.

وقتی که تعدادی از مردم یک منطقه خسیس باشند، می‌گوییم که مردم آن منطقه خسیس هستند.

دانشمندان علوم تجربی با روشی مشابه به مشاهدات و برداشت‌های خود نظم داده و با توجه به نظم حاکم بر آنها، قوانین نجومی طبیعت را کشف می‌کنند، در علوم تجربی به این نوع استدلال روش تجربی یا علمی و در ریاضی به آن استدلال استقرایی گفته می‌شود.

روش مذکور روش مستقیمی است که اغلب در تحقیق قضایای ریاضی خاص به کار می‌رود و به‌عنوان یک روش اثبات هم امتیازات و هم محدودیت‌های جدی دارد.

استقرا در حل مسائل خاص که در آنها سایر روش‌ها یا علمی نیستند یا بسیار مشکل‌ هستند، مفید است.

امتیاز دیگر این روش این است که از آنجا که روشی شناخته شده است، می‌تواند بدون نیاز به ابتکارهای اضافی، مفید باشد و به‌عبارت دیگر شخص تنها لازم دارد که برای اثبات، از جریان مشخصی پیروی کند و برای این‌کار به بینش خاصی نیاز نیست.

عدم امتیاز آن محدود بودن استقرا به قضایایی که با اعداد صحیح سروکار دارند، می‌باشد.

این روش اساسا یک روش تحقیق است و تنها می‌تواند در اثبات نتایجی که درستی آنها را معلوم کرده یا حدس زده‌ایم به‌کار رود و به این ترتیب به‌طور ساده در جریان پیشرفت معارف جدید ریاضی قرار نمی‌گیرد.

ضعف‌های اساسی چنین استدلالی این است که همیشه این احتمال وجود دارد که شواهد بیشتری کشف شوند تا نادرستی نتیجه‌گیری کلی انجام شده که بر مبنای مجموعه محدودی از مشاهدات بوده است را نشان می‌دهد.

تمرین

می‌دانیم که آب آن‌قدر می‌جوشد تا چیزی از آن باقی نماند و یا برف آن‌قدر می‌جوشد تا چیزی از آن باقی نماند و یا یخ آن‌قدر می‌جوشد تا آن‌که چیزی از آن باقی نماند.

آیا درست است که بگوییم هر چیزی آن‌قدر می‌جوشد تا آن‌که چیزی از آن باقی نماند؟

خیر.

همیشه این احتمال وجود دارد که شواهد بیشتری کشف شوند تا نادرست بودن نتیجه‌گیری ما را نسبت به تعداد محدودی از مشاهدات اولیه، نشان می‌دهد.

استقرای ریاضی

شیوه‌ای از نتیجه‌گیری است که براساس آن، از یک یا چند گزاره جزیی می‌توان به یک گزاره عام یا کلی دست یافت.

اساس این روش بر قضیه زیر استوار است:

قضیه

هرگاه $S \subset N$ بوده و داشته باشیم:

$(1$ $1 \in S$

$k \in S \Rightarrow k + 1 \in S (2$

ثابت می‌کنیم که $S = N$ است.

اثبات

اعداد طبیعی که در $S$ وجود ندارند، مجموعه $S^{'}$ را تشکیل داده و ثابت می‌کنیم $S^{'} = \emptyset$ است.

می‌گوییم اگر $S^{'} \neq \emptyset$ باشد، در نتیجه $S^{'} \subset N$ بوده و $N$ خوش‌ترتیب است در نتیجه مجموعه $S^{'}$ دارای عضو ابتدا مانند $n_{0}$ بوده و داریم:

$n_{0} \in S^{'}, n_{0} \notin S, 1 \in S \Rightarrow 1 \notin S^{'}$

در نتیجه عضو ابتدای $S^{'}$ از یک بزرگ‌تر بوده و داریم:

$n_{0} > 1 \Rightarrow n_{0} - 1 > 0 \Rightarrow n_{0} - 1 < n_{0}$

$n_{0}$ عضو ابتدای $S^{'}$ است:

$\begin{array}{l} n_{0} - 1 \notin S^{'} \\ \Rightarrow n_{0} - 1 \in S \end{array}$

بنا به‌شرط دوم:

$\Rightarrow (n_{0} - 1) + 1 = n_{0} \in S$

و این امکان ندارد در نتیجه $S^{'} = \emptyset$ است.

نکته

نتیجه استقرای ریاضی

این نتیجه می‌توان در اثبات بسیاری از مسایل ریاضی که به‌صورت گزاره‌نماهایی در $N$ مطرح می‌شوند، استفاده کرد.

گزاره‌‌نمای زیر را فرض کنید:

$\forall n \in N; p (n)$

الف) اگر $p (1)$ درست باشد.

ب) هرگاه $p (k)$ درست باشد، آن‌گاه $p (k + 1)$ نیز درست باشد، نتیجه می‌گیریم $p (n)$ به‌ازای جمیع مقادیر $n \in N$ درست است.

تمرین

تساوی‌ های زیر را به‌روش استقراء ثابت کنید.

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}; n \in N$

$p (1) : n = 1 \Rightarrow (1) = \frac{1 (1 + 1)}{2} \Rightarrow 1 = 1$

برقرار است.

فرض استقراء)

$p (k) : n = k \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2}$

حکم استقراء)

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}$

اگر از فرض به حكم بتوانيم برسيم به‌ازاء جميع مقادير $n$ تساوی را ثابت كرده‌ايم.

برای حل اين‌گونه استقراء ها كه به‌صورت مجموع هستند بايد جمله عمومی (آخرين جمله مجموع، جمله عمومی است)

حكم را به طرفين فرض اضافه می‌كنيم:

$\begin{array}{l} 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k^{2} + k + 2 k + 2}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k^{2} + 3 k + 2}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \end{array}$

چون حكم برقرار است، طبق اصل استقراء اين رابطه به ازاء جميع مقادير $(n \in N)$ برقرار می‌باشد.

$(1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times 4) + \dots n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$

$p (1) : n = 1 \Rightarrow 1 (1 + 1) = \frac{1 (1 + 1) (1 + 2)}{3} \Rightarrow 2 = 2$

برقرار است.

فرض استقراء)

$p (k) : n = k \Rightarrow (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots k (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}$

حکم استقراء)

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3}$

$\begin{array}{l} (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots + k (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + (k + 1) (k + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (\frac{k}{3} + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 \times 2) + (2 \times 3) + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3} \end{array}$

چون حكم برقرار است، طبق اصل استقراء اين رابطه به ازاء جميع مقادير $(n \in N)$ برقرار می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

استقرای ریاضی تعمیم یافته

در اثبات به روش استقرای ریاضی استاندارد از $n = 1$ شروع کردیم، یعنی درستی حکم مورد نظر را برای $n = 1$ نشان دادیم.

اما گاهی اوقات لازم است که اولین مرحله استقرا را از یک عدد طبیعی $n > 1$ آغاز کنیم.

به‌طور جامع‌تر می‌توان اصل استقرای تعمیم یافته را به‌صورت زیر تعریف نمود:

تعریف

فرض کنید $p (n)$ حکمی درباره عدد طبیعی $n$ باشد، اگر $p (m)$ برای $m > 1$ درست باشد و از درستی $p (k)$ برای هر عدد طبیعی $k \geq m$ درستی $p (k + 1)$ نتیجه شود، آن‌گاه $p (n)$ برای هر عدد طبیعی $n \geq m$ درست است.

دقت کنید که در هر مساله یا $m$ را می‌دهند یا این‌که باید $m$ مناسب را پیدا کنیم.

تذکر

برای استفاده از اصل استقرای تعمیم یافته، گام‌های زیر را برمی‌داریم:

1- $m$ مناسب را به‌دست می‌آوریم، درصورتی‌که $m$ را معلوم نکرده باشند.

2- ثابت می‌کنیم حکم برای $n = m$ درست است.

3- ثابت می‌کنیم که اگر حکم برای $n = k \geq m$ درست باشد آن‌گاه حکم برای $n = k + 1$ درست است.

تمرین

به استقراء ثابت كنيد:

$(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) \dots (1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n}$

$p (1) : n = 1 \Rightarrow (1 - \frac{1}{1}) = \frac{1}{1} \Rightarrow 0 \neq 1$

پس $n = 1$ شروع خوبی برای اثبات اين استقراء نيست.

$p (2) : n = 2 \Rightarrow (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

برقرار است.

فرض استقراء)

$p (k) : n = k \Rightarrow (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{k}) = \frac{1}{k}$

حکم استقراء)

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{k}) (1 - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{k + 1}$

$\begin{array}{l} (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{k}) (1 - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{k} (1 - \frac{1}{k + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{k}) (1 - \frac{1}{k + 1}) = (\frac{1}{k}) (\frac{k}{k + 1}) \end{array}$