سرفصل‌های این مبحث

تجزیه عبارات جبری

تجزیه به‌ كمک خاصیت دوری بودن عبارات

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402

دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بعضی عبارات جبری را می‌توان به کمک خاصیت دوری بودن آن عبارت، تجزیه کرد.

تعریف خاصیت دوری بودن عبارات جبری

تبدیل دوری یک عبارت جبری نسبت به $n$ حرف $k, l, ....., c, b, a$ عبارت است از :

تبدیل آن به عبارت دیگری كه از عبارت اول، با تبدیل $a$ به $b$ و $b$ به $c$ و....... و $k$ به $a$ به دست آمده باشد.

مثلا عبارت زیر در تبدیل دوری نسبت به $a$ و $b$ به عبارت $b^{2} + a$ تبدیل می‌شود.

$a^{2} + b$

$a$ به $b$ و $b$ به $a$ تبدیل شده است.

واضح است كه اگر عبارت $b^{2} + a$ را دوباره تبدیل دوری كنیم به همان عبارت اصلی خواهیم رسید.

تمرین

تبدیل های دوری عبارت زیر را نسبت به چهار حرف $t, z, y, x$ به دست آورید.

$x^{2} + 3 x y + 4 z^{2}$

$x^{2} + 3 x y + 4 z^{2}$ : عبارت اصلی

$y^{2} + 3 y z + 4 t^{2}$ : تبدیل اول

$z^{2} + 3 z t + 4 x^{2}$ : تبدیل دوم

$t^{2} + 3 t x + 4 y^{2}$ : تبدیل سوم

اگر تبدیل سوم را تبدیل دوری كنیم، همان عبارت اصلی به دست می‌آید.

عبارت های دوری

عبارتی را نسبت به $n$ حرف زی دوری گوییم كه در اولین تبدیل دوری نسبت به این حروف به خودش تبدیل شود.

$k, l, ....., c, b, a$

عبارت $a b$ نسبت به $a$ و $b$ عبارت دوری است، زیرا در اولین تبدیل دوری، این عبارت به خودش تبدیل می‌شود.

عبارت زیر نسبت به $z, y, x$ عبارت دوری است، زیرا در اولین تبدیل دوری، این عبارت به خودش تبدیل می‌شود.

$(x - y) (y - z) (z - x)$

تذکر

اگر عبارتی نسبت به $n$ حرف غیر دوری باشد، دارای $n - 1$ تبدیل دوری خواهد بود.

خاصیت اصلی یک عبارت دوری

خاصیت اصلی یک عبارت دوری در این است كه آن را به هر شكلی بنویسیم باز هم یک عبارت دوری خواهد بود.

هرگز با عملیاتی از قبیل ساده كردن، باز كردن پرانتز ها، تجزیه كردن، تبدیل اتحادها و غیره نمی‌توان یک عبارت دوری را به یک عبارت غیر دوری و یا برعكس تبدیل كرد.

تمرین

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$x^{2} y + x y^{2} + x^{2} z + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + 2 x y z$

عبارت مفروض، نسبت به $z, y, x$ متقارن است و به ازای $x = - y$ برابر صفر می‌شود، بنابراین به سادگی به صورت زیر در می‌آید:

$\begin{array}{l} x^{2} y + x y^{2} + x^{2} z + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + 2 x y z \end{array}$

$\begin{array}{l} = (y^{2} z + x y z + y z^{2} + x z^{2}) + (x y^{2} + x^{2} y + x y z + x^{2} z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = z (y^{2} + x y + y z + x z) + x (y^{2} + x y + y z + x z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (y^{2} + x y + y z + x z) (z + x) \\ = [y^{2} + (x + z) y + x z] (z + x) \\ = (y + x) (y + z) (z + x) \end{array}$

تمرین

آيا تساوی زير اتحاد است؟

${(a + b - c)}^{3} + {(a b + 2 c)}^{3} = {(a b - 2 c)}^{3} + {(a + b + c)}^{3} + 3 a^{2} b c$

سمت چپ تساوی نسبت به دو حرف $a$ و $b$ يک عبارت دوری است. (يعنی با تبديل $a$ و $b$ به يک‌ديگر، تغيير نمی‌كند)

درحالی كه عبارت سمت راست تساوی، نسبت به‌همين دو حرف غير دوری است (زيرا جمله $3 a^{2} b c$ با تبديل $a$ و $b$ به يک‌ديگر تغيير می‌كند) و بنابراين نمی‌تواند يک اتحاد باشد.

توضیح آن‌که كه اگر هر دو طرف يک تساوی نسبت به چند حرف دوری باشد، به معنای اين نيست كه تساوی حتما يک اتحاد است.

تمرین

عبارات زیر را تجزیه کنید.

$x y (x + y) + y z (y - z) - x z (x + z)$

$\begin{array}{l} = x^{2} y + x y^{2} + y^{2} z - y z^{2} - x^{2} z - x z^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} y - x^{2} z) + (x y^{2} - x z^{2}) + (y^{2} z - y z^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{2} (y - z) + x (y^{2} - z^{2}) + y z (y - z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (y - z) [x^{2} + x (y + z) + y z] \\ = (y - z) (x^{2} + x y + x z + y z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (y - z) [x (x + y) + z (x + y)] \\ = (y - z) [(x + y) (x + z)] \\ = (y - z) (x + y) (x + z) \end{array}$

${(x - y)}^{5} + {(y - z)}^{5} + {(z - x)}^{5}$

اگر $x = y$ باشد، عبارت برابر صفر است، پس در عبارت، عامل $(x - y)$ وجود دارد، چون نسبت به حروف متقارن است پس بر عبارت زیر بخش‌پذير است:

$(x - y) (y - z) (z - x)$

در نتيجه خارج قسمت چند‌جمله‌ای از درجه دوم و متقارن است، يعنی:

${(x - y)}^{5} + {(y - z)}^{5} + {(z - x)}^{5} = (x - y) (y - z) (z - x) [A (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + B (x y + x z + y z)]$

ضريب $x^{4}$ در دو طرف تساوی به‌ترتيب $- 5 (y - z)$ و $- A (y - z)$ است، يعنی $A = 5$ .

با قراردادن سه عدد دل‌خواه مثلا $z = 0, y = 1, x = 2$ نتيجه می‌شود $B = - 5$ ، بنابراین:

${(x - y)}^{5} + {(y - z)}^{5} + {(z - x)}^{5} = 5 (x - y) (y - z) (z - x) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z)$

$4 {(x^{2} + x y + y^{2})}^{3} - 27 x^{2} y^{2} {(x + y)}^{2}$

عبارت نسبت به $x$ و $y$ متقارن است:

$i f y = x \Rightarrow A = 0$

بنابراين $A$ بر ${(x - y)}^{2}$ قابل قسمت است.

$i f x = - 2 y \Rightarrow A = 0$

بنابراين $A$ بر ${(x + 2 y)}^{2}$ قابل قسمت است.

$i f y = - 2 x \Rightarrow A = 0$

بنابراين $A$ بر ${(y + 2 x)}^{2}$ قابل قسمت است.

$A = {[(x + 2 y) (2 x + y) (x - y)]}^{2}$

${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

عبارت نسبت به $a, b, c$ دوری است و به‌ازای $a = - b$ برابر صفر می‌شود، بنابراين به‌صورت زير در می‌آيد:

توجه شود که به‌واسطه دوری بودن، به‌ازای $a = - c$ و $b = - c$ عبارت صفر می‌شود.

$\begin{array}{l} {(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (a + b) (b + c) (c + a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {[(a + b) + c]}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (a b + a c + b^{2} + b c) (c + a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(a + b)}^{3} + 3 {(a + b)}^{2} c + 3 (a + b) c^{2} + c^{3}] - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (a b c + a^{2} b + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b^{2} a + b c^{2} + a b c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [(a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3}] - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (2 a b c + a^{2} b + a c^{2} + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + b c^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} c + 6 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (2 a b c + a^{2} b + a c^{2} + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + b c^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 a^{2} c + 6 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} = λ (2 a b c + a^{2} b + a c^{2} + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + b c^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 (a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + 2 a b c + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) = λ (a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + 2 a b c + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow λ = 3 \end{array}$

بنابراین داریم:

${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = λ (a + b) (b + c) (c + a) = 3 (a + b) (b + c) (c + a)$

${(x + y + z)}^{5} - x^{5} - y^{5} - z^{5}$

عبارت نسبت به $x, y, z$ دوری است و به‌ازای $x = - y$ برابر صفر است، بنابراين بر $(x + y)$ و تبديل‌های دوری آن یعنی $(y + z)$ و $(z + x)$ قابل قسمت است و داريم:

${(x + y + z)}^{5} - x^{5} - y^{5} - z^{5} = M (x + y) (y + z) (z + x)$

سمت چپ تساوی نسبت به $x, y, z$ متجانس و متقارن و ضمنا از درجه پنجم است، از طرف ديگر عبارت زیر، هم متجانس و متقارن و از درجه سوم است.

$(x + y) (y + z) (z + x)$

بنابراين $M$ بايد نسبت به $x, y, z$ عبارتی متقارن و متجانس و از درجه دوم باشد، يعنی:

$\begin{array}{l} M = A (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + B (x y + y z + x z) \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x + y + z)}^{5} - x^{5} - y^{5} - z^{5} = (x + y) (y + z) (z + x) \times [A (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + B (x y + y z + z x)] \end{array}$

اتحاد فوق بايد به‌ازای همه مقادير $x, y, z$ برقرار باشد، فرض كنيد:

$\begin{array}{l} x = y = z = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} 240 = 8 (3 A + 3 B) \Rightarrow A + B = 10 \\ i f x = y = 1, z = 0 \Rightarrow 30 = 2 (2 A + B) \Rightarrow 2 A + B = 15 \end{array}〉 A = B = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x + y + z)}^{5} - x^{5} - y^{5} - z^{5} = (x + y) (y + z) (z + x) \times [5 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 5 (x y + y z + z x)] \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تجزیه عبارات جبری

تجزیه به‌ كمک خاصیت دوری بودن عبارات

تعریف خاصیت دوری بودن عبارات جبری

عبارت های دوری

خاصیت اصلی یک عبارت دوری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟