لیست

تجزیه كسر به مجموع كسرهای ساده

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری
امتیاز:

تجزیه کسرها

تبدیل یک كسر به مجموع یا تفاضل چند كسر ساده تر را تجزیه كسر می‌نامیم.

تمرین

برای ورود به بحث فوق، هر یک از عبارات گویای زیر را به مجموع یا تفاضل دو عبارت گویا می‌نویسیم:

x+2y=xy+2yx+1x2+1=xx2+1+1x2+1a5b=ab5b2b3b3=2bb33b3

نکته

برای تجزیه كسر: 
ابتدا آن را ساده می‌كنیم و فرض می‌كنیم كسری باشد كه درجه صورت آن از درجه مخرجش كوچکتر است. 
اگر چنین نبود می‌توانیم صورت را بر مخرج تقسیم كنیم و آن را به صورت مجموع یک چند جمله‌ای و یک كسر كه درجه صورتش كمتر از درجه مخرج باشد، تبدیل كنیم.

 برای تجزیه كسری كه درجه صورت آن از درجه مخرجش كمتر است، آن را به ضرب عامل‌های اول تجزیه می‌كنیم، سپس با توجه به قانون زیر آنها را تجزیه می‌کنیم:

فرض كنید كسری به صورت f(x)g(x) داشته باشیم، به طوری كه:

gx=(xa)k(xb)t...(x2+αx+β)r(x2+γx+λ)s...

كه در آن عبارت های دو جمله‌ای متمایز و عبارت های سه جمله‌ای متمایز باشند و عبارت های سه جمله‌ای ریشه حقیقی نداشته باشند. 

پس در این صورت می‌نویسیم.

f(x)g(x)=A1(xa)+A2(xa)2++Ak(xa)k+B1(xb)1+B2(xb)2++Bt(xb)t+M1x+N1(x2+αx+β)1+M2x+N2(x2+αx+β)2++Mrx+Nr(x2+αx+β)r                                    +R1x+L1(x2+γx+λ)1+R2x+L2(x2+γx+λ)2++Rsx+Ls(x2+γx+λ)s                                     

 پس از مخرج گیری از كسرهای سمت راست و متحد قراردادن صورت آن با fx مقادیر زیر به دست می‌آید:

....,L2,L1,...,R2,R1,...,N2,N1,...,M2,M1,...,B2,B1,...,A2,A1

یادآوری

مطالب فوق را به‌صورت خلاصه در جدول زیر مشاهده می‌کنید: 

تجزیه - پیمان گردلو

تمرین

بدون محاسبه ضرایب صورت، کسرهای زیر را به کسرهای جزئی، تجزیه کنید.

8x42x2+3x18

8x42x2+3x18=Ax+6+Bx3

4x2(x1)(x2)2

4x2(x1)(x2)2=Ax1+Bx2+C(x2)2

9x+25(x+3)2

9x+25(x+3)2=Ax+3+B(x+3)2

8x212x(x2+2x6)

8x212x(x2+2x6)=Ax+Bx+Cx2+2x6

3x3+7x4(x2+2)2

3x3+7x4(x2+2)2=Ax+Bx2+2+Cx+D(x2+2)2

125+4x9x2(x1)(x+3)(x+4)

125+4x9x2(x1)(x+3)(x+4)=Ax1+Bx+3+Cx+4

تمرین

كسر زير را تجزيه كنيد:

1(k+4)(k+6)

1(k+4)(k+6)=Ak+4+Bk+6    ;    Ι1(k+4)(k+6)=A(k+6)+B(k+4)(k+4)(k+6)1(k+4)(k+6)=(A+B)k+(6A+4B)(k+4)(k+6)    ;    A+B=06A+4B=1A=12B=12Ι1(k+4)(k+6)=12k+412k+61(k+4)(k+6)=12(1k+41k+6)

8x42x2+3x18

8x42x2+3x18=8x42(x+6)(x3)


8x42x2+3x18=Ax+6+Bx3 ; 1


8x42x2+3x18=A(x3)(x+6)(x3)+B(x+6)(x+6)(x3)


8x42x2+3x18=A(x3)+B(x+6)(x+6)(x3)


8x42x2+3x18=A+Bx+6B-3A(x+6)(x3)


A+B=86B-3A=-42


A=10B=-2


18x42x2+3x18=10x+6+2x3


8x42x2+3x18=10x+62x3

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تجزیه كسر به مجموع كسرهای ساده

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید