سرفصل‌های این مبحث

تجزیه عبارات جبری

تجزیه كسر به مجموع كسرهای ساده

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402

دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

تبدیل یک كسر به مجموع یا تفاضل چند كسر ساده تر را تجزیه كسر می‌نامیم.

برای ورود به بحث فوق، هر یک از عبارات گویای زیر را به مجموع یا تفاضل دو عبارت گویا می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{y} = \frac{x}{y} + \frac{2}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a - 5}{b} = \frac{a}{b} - \frac{5}{b} \end{array}$

$\frac{2 b - 3}{b - 3} = \frac{2 b}{b - 3} - \frac{3}{b - 3}$

تجزیه کسر

ابتدا آن کسر را ساده می‌كنیم و فرض می‌كنیم كسری باشد كه درجه صورت آن از درجه مخرجش كوچک تر است.

اگر چنین نبود می‌توانیم صورت را بر مخرج تقسیم كنیم و آن را به صورت مجموع یک چند جمله‌ای و یک كسر كه درجه صورتش كمتر از درجه مخرج باشد، تبدیل كنیم.

برای تجزیه كسری كه درجه صورت آن از درجه مخرجش كمتر است، آن را به ضرب عامل‌های اول تجزیه می‌كنیم، سپس با توجه به قانون زیر آنها را تجزیه می‌کنیم:

فرض كنید كسری به صورت $\frac{f (x)}{g (x)}$ داشته باشیم، به طوری كه:

$g (x) = {(x - a)}^{k} {(x - b)}^{t} ... {(x^{2} + α x + β)}^{r} {(x^{2} + γ x + λ)}^{s} ...$

كه در آن عبارت های دو جمله‌ای متمایز و عبارت های سه جمله‌ای متمایز باشند و عبارت های سه جمله‌ای ریشه حقیقی نداشته باشند.

پس در این صورت می‌نویسیم.

$\begin{array}{r} \frac{f (x)}{g (x)} = [\frac{A_{1}}{(x - a)} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}}] + [\frac{B_{1}}{{(x - b)}^{1}} + \frac{B_{2}}{{(x - b)}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{B_{t}}{{(x - b)}^{t}}] \end{array}$

$\begin{array}{r} + [\frac{M_{1} x + N_{1}}{{(x^{2} + α x + β)}^{1}} + \frac{M_{2} x + N_{2}}{{(x^{2} + α x + β)}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{M_{r} x + N_{r}}{{(x^{2} + α x + β)}^{r}}] \end{array}$

$+ [\frac{R_{1} x + L_{1}}{{(x^{2} + γ x + λ)}^{1}} + \frac{R_{2} x + L_{2}}{{(x^{2} + γ x + λ)}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{R_{s} x + L_{s}}{{(x^{2} + γ x + λ)}^{s}}]$

پس از مخرج گیری از كسرهای سمت راست و متحد قراردادن صورت آن با $f (x)$ مقادیر زیر به دست می‌آید:

$...., L_{2}, L_{1}, ..., R_{2}, R_{1}, ..., N_{2}, N_{1}, ..., M_{2}, M_{1}, ..., B_{2}, B_{1}, ..., A_{2}, A_{1}$

یادآوری

مطالب فوق را به‌صورت خلاصه در جدول زیر مشاهده می‌کنید:

تجزیه - پیمان گردلو

تمرین

بدون محاسبه ضرایب صورت، کسرهای زیر را به کسرهای جزئی، تجزیه کنید.

$\frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 3}$

$\frac{4 x^{2}}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{4 x^{2}}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$

$\frac{9 x + 25}{{(x + 3)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{9 x + 25}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{{(x + 3)}^{2}}$

$\frac{8 x^{2} - 12}{x (x^{2} + 2 x - 6)}$

$\Rightarrow \frac{8 x^{2} - 12}{x (x^{2} + 2 x - 6)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x - 6}$

$\frac{3 x^{3} + 7 x - 4}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{3 x^{3} + 7 x - 4}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{A x + B}{x^{2} + 2} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

$\frac{125 + 4 x - 9 x^{2}}{(x - 1) (x + 3) (x + 4)}$

$\Rightarrow \frac{125 + 4 x - 9 x^{2}}{(x - 1) (x + 3) (x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x + 4}$

تمرین

كسر زير را تجزيه كنيد:

$\frac{1}{(k + 4) (k + 6)}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{(k + 4) (k + 6)} = \frac{A}{k + 4} + \frac{B}{k + 6}; (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(k + 4) (k + 6)} = \frac{A (k + 6) + B (k + 4)}{(k + 4) (k + 6)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(k + 4) (k + 6)} = \frac{(A + B) k + (6 A + 4 B)}{(k + 4) (k + 6)}; \{\begin{cases} A + B = 0 \\ 6 A + 4 B = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} A = \frac{1}{2} \\ B = - \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \overset{(Ι)}{\to} \frac{1}{(k + 4) (k + 6)} = \frac{\frac{1}{2}}{k + 4} - \frac{\frac{1}{2}}{k + 6} \\ \Rightarrow \frac{1}{(k + 4) (k + 6)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k + 4} - \frac{1}{k + 6}) \end{array} \end{matrix}$

$\frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{8 x - 42}{(x + 6) (x - 3)}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 3}; (1)$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{A (x - 3)}{(x + 6) (x - 3)} + \frac{B (x + 6)}{(x + 6) (x - 3)}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{A (x - 3) + B (x + 6)}{(x + 6) (x - 3)}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{(A + B) x + (6 B - 3 A)}{(x + 6) (x - 3)}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} A + B = 8 \\ 6 B - 3 A = - 42 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} A = 10 \\ B = - 2 \end{cases}$

$\overset{(1)}{\to} \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{10}{x + 6} + \frac{- 2}{x - 3}$

$\Rightarrow \frac{8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 18} = \frac{10}{x + 6} - \frac{2}{x - 3}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تجزیه كسر به مجموع كسرهای ساده

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تجزیه عبارات جبری

تجزیه كسر به مجموع كسرهای ساده

مقدمه

تجزیه کسر

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟