تجزیه به‌ كمک ضرایب نامعین

آخرین ویرایش: 18 بهمن 1400
دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بعضی عبارات جبری را می‌توان به کمک ضرایب نامعین تجزیه کرد.

 چند جمله ای تجزیه پذیر را می‌توانیم به صورت حاصل ضرب چند جمله ای هایی با ضرایب نامعین در نظر بگیریم، سپس دو طرف را متحد یکدیگر قرار دهیم تا ضرایب محاسبه شوند .

این روش وقتی ممكن است كه بتوان دستگاه حاصل را حل كرد، زیرا این دستگاه ها همواره قابل حل نیستند. 

تمرین

چند جمله‌ای x4+x3+x−1 را در صورت امكان به حاصل ضرب دو عبارت درجه دوم تجزیه می‌کنیم كه یكی از عامل ها x2+1 باشد.

عبارت فوق از درجه چهارم است و اگر یکی از عامل های عبارت فوق x2+1 باشد، عامل دیگر بایستی یک عبارت از درجه دوم به صورت زیر باشد:


x4+x3+x−1≡(x2+1)(x2+ax+b)


بنابراین داریم:


x4+x3+x−1≡x4+ax3+bx2+x2+ax+b


x4+x3+x−1≡x4+ax3+(b+1)x2+ax+b


a=1b+1=0a=1b=−1


دستگاه فوق سازگار است، بنابراین داریم:


x4+x3+x−1≡(x2+1)(x2+x−1)

تمرین

چند جمله ‌ای x4+2x2+5 را در صورت امكان به حاصل ضرب دو عبارت درجه دوم تجزیه کنید.

فرض كنید می‌خواهیم عبارت زیر را به صورت ضرب دو عامل درجه دوم حقیقی تجزیه كنیم:


x4+2x2+5≡(x2+ax+b)(x2+αx+β)


x4+2x2+5≡x4+αx3+βx2+ax3+aαx2+aβx+bx2+bαx+bβ


x4+2x2+5≡x4+(a+α)x3+(b+β+aα)x2+(aβ+bα)x+bβ


a+α=0b+β+aα=2aβ+bα=0bβ=5


a+α=0⇒a=−α


aβ+bα=0⇒−αβ+bα=0⇒αb−β=0⇒α=0→a=−αa=0b−β=0⇒b=β


if    b=β→bβ=5β2=5⇒β=±5


if    b=β=−5→a=−αb+β+aα=2−5−5+−αα=2⇒α2=−25+1


α و α مقادیر موهومی خواهد شد: 


if   b=β=5→b+β+aα=25+5+−αα=2⇒α2=25−1


α2=25−1⇒α=±25−1⇒a=∓25−1


x4+2x2+5=x2+x2(5−1)+5x2−x2(5−1)+5

تمرین

عبارات زیر را به کمک ضرایب نامعین، تجزیه کنید. 

x4−8x3+13x2−24x+9

⇒x4−8x3+13x2−24x+9≡x2+ax+3x2+bx+3


⇒x4−8x3+13x2−24x+9≡x4+bx3+3x2+ax3+abx2+3ax+3x2+3bx+9


⇒x4−8x3+13x2−24x+9≡x4+x3b+a+x23+ab+3+x3a+3b+9


b+a=−8ab+6=13a=−1b=−7


x4−8x3+13x2−24x+9=x2−x+3x2−7x+3

x5+x4−4x3−7x2−7x−2

عبارت فوق به ازای x=-2 صفر می‌شود، بنابراین عبارت فوق بر x+2 بخش پذیر است.


x5+x4−4x3−7x2−7x−2=x+2x4−x3−2x2−3x−1


عبارت پرانتز دومی را به کمک ضرایب نامعین تجزیه می‌کنیم:

x4−x3−2x2−3x−1≡x2+ax+1x2+bx−1


⇒x4−x3−2x2−3x−1≡x4+bx3−x2+ax3+abx2−ax+x2+bx−1


⇒x4−x3−2x2−3x−1≡x4+x3b+a+x2−1+ab+1+⋯


b+a=−1ab=−2a=1b=−2


x4−x3−2x2−3x−1=x2+x+1x2−2x−1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید