تجزیه به‌ كمک بعضی اتحادها

آخرین ویرایش: 01 تیر 1403
دسته‌بندی: تجزیه عبارات جبری
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بعضی عبارات جبری را می‌توان به کمک اتحادهای پیشرفته تجزیه کرد.

یادآوری می‌كنیم كه:

an−bn=a−ban−1+an−2.b+⋯+bn−1

an+bn=a+ban−1−an−2.b+⋯+bn−1   ;   n=2k+1

تمرین

چند جمله‌ای های زیر را تجزیه می‌کنیم:

a5−1

=a5−15

=a−1a4+a311+a212+a13+14

=a−1a4+a3+a2+a+1

a5+32

=a5+25

=a+2a4−a3.2+a2.22−a.23+24

=a+2a4−2a3+4a2−8a+16

x6-64

=x6−26

=x−2x5+x421+x322+x223+x124+25

=x−2x5+2x4+4x3+8x2+16x+32

تمرین

از تقسیم xn-an بر x-a نشان دهید که xn-an به‌صورت زیر تجزیه می‌شود.

xn-an=x-axn-1+axn-2+a2xn-3+⋯+an-2x+an-1

با شرط این‌که a یک عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی و عبارت زیر مفروض باشد:


S=1+a+a2+a3+⋯+an−1


عبارت aS-S را حساب می‌کنیم و اتحاد زیر را از آن نتیجه می‌گیریم:


an−1=a−1an−1+⋯+a3+a2+a+1


aS−S=a1+a+a2+a3+⋯+an−1−1+a+a2+⋯+an−1

⇒aS−S=a+a2+a3+a4+⋯+an−1+a+a2+⋯+an−1

⇒aS−S=an−1

⇒an−1=a−1S    ;    S=1+a+a2+a3+⋯+an−1

⇒an−1=a−1an−1+⋯+a3+a2+a+1


به کمک اتحاد فوق ، اتحاد زیر را ثابت می‌کنیم:


xn−an=x−axn−1+xn−2a1+⋯+x2an−3+xan−2+an−1


بنابراین داریم:


an−1=a−1an−1+an−2+⋯+a2+a+1

an−1n=a−1an−1+an−211+⋯+a21n−3+a1n−2+1n−1


در تساوی فوق به‌جای a مقدار x به جای عدد 1 مقدار a را قرار می‌دهیم:


xn−an=x−axn−1+xn−2a1+⋯+x2an−3+xan−2+an−1

تمرین

اتحاد زیر را در نظر بگیرید:

xn−an=x−axn−1+xn−2a1+⋯+x2an−3+xan−2+an−1

در اتحاد فوق اگر n فرد باشد، با تغییر a به -a اتحاد زیر را نتیجه بگیرید.

xn+an=x+axn−1-xn−2a1+⋯+x2an−3-xan−2+an−1

xn-an=x-axn−1+xn−2a1+⋯+x2an−3+xan−2+an−1    ;   n=2k+1a→−a

xn-−an=x-−axn−1+xn−2−a1+⋯+x2−an−3+x−an−2+−an−1

xn+an=x+axn−1-xn−2a+⋯+x2an−3-xan−2+an−1

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

معادله زیر چند جواب دارد؟

x+11383+x+11382x−2+⋯+x+1x−21382+x−21383=0

  1. دو جواب
  2. یک جواب
  3. سه جواب
  4. جواب ندارد
مشاهده پاسخ تست بستن

1Oa3T

برای ارسال نظر وارد سایت شوید