سرفصل‌های این مبحث

استدلال ریاضی

استدلال مثال نقض

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: استدلال ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نوع دیگری از استدلال، استدلال با مثال نقض است.

اگر فردی ادعا کند که:

همه اعداد فرد، اول هستند.

این یک حکم کلی درباره تمام اعداد فرد است و نمایش عدد $9$ به‌عنوان عددی که فرد و غیر اول است، برای رد این ادعا کافی است.

به‌چنین مثالی که برای رد یک حکم کلی استفاده می‌شود، مثال نقض می‌گوییم.

تعریف

استدلالی که به‌صورت معمول برای رد کردن یک حکم کلی به کار می‌رود، استدلال به کمک مثال نقض نامیده می‌شود.

تمرین

فرض کنیم شخصی ادعا می‌کند که:

هیچ فرد ایرانی تا به حال مدال فیلدز (جایزه جهانی ریاضی) نگرفته است.

در این‌صورت شما برای رد ادعای او چه می‌توانید بگویید؟

اگر شما حتی یک فرد ایرانی را که مدال فیلدز گرفته است(مریم میرزا خانی)برای او مثال بزنید، در این‌صورت ادعای او باطل شده است و در واقع شما با استفاده از یک مثال نقض، ادعای او را باطل کرده‌اید.

با دقت در ادعای مطرح شده خواهیم دید که کلمه هیچ در این حکم باعث می‌شود که این ادعا یک حکم کلی برای تمام اعضای یک مجموعه (که در این‌جا مجموعه افراد ایرانی است) باشد.

بنابراین در این مورد نیز آوردن یک مثال نقض کافی است تا آن حکم رد شود و به‌عبارتی غلط بودن آن حکم اثبات گردد.

در ادامه نمونه‌هایی از حکم‌های کلی آمده‌اند:

الف) همه اعداد اول، فردند. (حکم کلی درباره تمام اعداد اول)
ب) در هر مستطیل اندازه قطرها با هم برابر است. (حکم کلی درباره تمام مستطیل‌ها)
پ) به‌ازای هر عدد طبیعی $n$ ، مقدار عبارت $n^{2} + n + 41$ عددی اول است. (حکم کلی در مورد تمام اعداد طبیعی)

درباره درستی یا نادرستی حکم (الف) چه حدسی می‌زنید؟ چگونه می‌توانید حدس خود را ثابت کنید؟

می‌دانیم که $2$ یک عدد اول و زوج است بنابراین حکم کلی (الف) با ارایه همین مثال نقض رد می‌شود.

برای قسمت (ب) مثال نقض وجود ندارد، اما این برای پذیرش این حکم کافی نیست و باید توجه کرد که برای نشان دادن درستی یک حکم کلی باید آن را اثبات کنیم.

درباره گزینه (پ) چه می‌توان گفت؟

اگر درستی یا نادرستی یک حکم کلی بر ما مشخص نباشد و برای رد آن مثال نقض نیز نتوانیم ارائه دهیم، نمی‌توان درباره درستی یا نادرستی آن حکم کلی نتیجه‌ای گرفت.

تمرین

گزاره زیر را در نظر بگیرید:

$A = 2^{2^{n}} + 1$

درستی یا نادرستی جمله زیر را بررسی کنید.

عدد فوق به‌ازای همه اعداد طبیعی $n$ عددی اول است.

برای درستی یا نادرستی گزاره فوق، مثال‌هایی را ارایه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow A = 2^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{1}} + 1 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 2 \Rightarrow A = 2^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{2}} + 1 = 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 \Rightarrow A = 2^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{3}} + 1 = 257 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 \Rightarrow A = 2^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{4}} + 1 = 65 / 537 \end{array}$

عدد $A = 2^{2^{n}} + 1$ به‌ازای $n = 1, 2, 3, 4$ اول است و ظاهرا به درستی گزاره فوق دلالت می‌کند.

اما اگر $n = 5$ در نظر گرفته شود، داریم:

$\begin{array}{l} n = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} A = 2^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{5}} + 1 = 4 / 294 / 967 / 297 = 641 \times 6 / 700 / 417 \end{array}$

که به‌وضوح نشان می‌دهد، حاصل یک عدد اول نیست.

همین مثال نقض نشان می‌دهد که گزاره فوق در حالت کلی درست نیست.

تمرین

گزاره زیر را در نظر بگیرید:

$\sqrt{x + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$

درستی یا نادرستی جمله زیر را بررسی کنید.

برای هر دو عدد حقیقی $x$ و $y$ تساوی فوق برقرار است.

فرض کنیم $x = 16$ و $y = 9$ باشد:

$\begin{array}{l} \sqrt{x + y} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array}$

$\begin{matrix} \sqrt{x + y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y} \end{matrix}$

با مثال نقض ثابت کردیم که گزاره فوق درست نیست.

تمرین

درستی یا نادرستی گزاره زیر را بررسی کنید:

برای هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از $1$ عدد $2^{n} - 1$ اول است.

فرض کنیم $n = 4$ باشد:

$2^{n} - 1 = 2^{4} - 1 = 16 - 1 = 15$

با مثال نقض ثابت کردیم که گزاره فوق درست نیست.

تمرین

درستی یا نادرستی گزاره زیر را بررسی کنید:

اگر برای سه‌مجموعه $C, B, A$ داشته باشیم $A \cup B = A \cup C$ آن‌گاه $B = C$ .

$\begin{array}{l} A = \{2, 3, 4\} \\ B = \{3, 5\} \\ C = \{5\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} A \cup B = \{2, 3, 4, 5\} \\ A \cup C = \{2, 3, 4, 5\} \end{array}〉 A \cup B = A \cup C \Rightarrow B \neq C \end{array}$

مثال نقض ثابت کردیم که گزاره فوق درست نیست.

تذکر

یافتن مثال نقض ممکن است کار بسیار دشواری باشد.

گاهی سال‌ها وقت برای یافتن مثال نقض لازم بوده است.

به‌عنوان نمونه:

عبارت $991 n^{2} + 1$ را برای $n$ های طبیعی در نظر بگیرید.

اگر حاصل این عبارت را برای $n = 1, 2, ....., 1000$ به‌دست آورید، هیچ کدام مجذور کامل نمی‌باشند.

آیا می‌توان حکم کرد که برای $n$ های طبیعی عبارت $991 n^{2} + 1$ هیچ‌گاه مجذور کامل نیست.

پاسخ منفی است.

ریاضی‌دانان معاصر، کوچک‌ترین عدد طبیعی که به‌ازای آن $991 n^{2} + 1$ مجذور کامل باشد را ارایه داده‌اند.

این عدد $29$ رقم دارد:

$n = 12 / 055 / 735 / 790 / 331 / 359 / 447 / 442 / 538 / 737$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیرماه 1403

برای کدام گزاره، می‌توان مثال نقض ارائه کرد؟

هر چهار ضلعی که قطرها یکدیگر را نصف کنند، متوازی الاضلاع است.
اندازه میانه های وارد بر اضلاع مساوی در هر مثلث باهم برابرند.
هر چهار ضلعی با قطرهای برابر و عمود برهم، مربع است.
نیمسازهای زاویه های داخلی هر مثلث، همرسند.

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

استدلال ریاضی

استدلال مثال نقض

تعریف

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟