سرفصل‌های این مبحث

استدلال ریاضی

استدلال برهان‌ خلف

آخرین ویرایش: 15 تیر 1403

دسته‌بندی: استدلال ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نوعی از استدلال که در مسایل ریاضی و هندسی از آن استفاده می‌شود، برهان خلف یا اثبات غیر مستقیم است.

در برهان خلف به‌جای این‌که به‌طور مستقیم از فرض شروع کنیم و به‌درستی حکم برسیم، فرض می‌کنیم حکم درست نباشد (فرض خلف) و به یک تناقض یا به یک نتیجه غیر ممکن می‌رسیم و به این‌ترتیب فرض خلف باطل و درستی حکم ثابت می‌شود.

به‌عنوان نمونه:

با استفاده از برهان خلف ثابت می‌کنیم حاصل جمع یک عدد گویا و یک عدد گنگ، عددی گنگ است.

فرض کنیم $r$ یک عدد گویا و $x$ یک عدد گنگ است، نشان می‌دهیم $r + x$ یک عدد گنگ است.

فرض خلف: اگر $r + x$ یک عدد گنگ نباشد، بنابراین عددی گویاست.

می‌دانیم که تفاضل دو عدد گویا،عددی گویا است، پس تفاضل $r + x$ و $r$ باید عددی گویا باشد یعنی:

$(r + x) - r \in Q \Rightarrow x \in Q$

$x \in Q$ با فرض ما در تناقض است، در نتیجه فرض خلف باطل است و حکم اثبات می‌گردد.

تمرین

درستی گزاره های زیر را با استفاده از برهان خلف ثابت کنید.

اگر $x$ یک عدد گنگ باشد، ثابت کنید $\frac{1}{x}$ نیز یک عدد گنگ است.

فرض خلف) اگر $\frac{1}{x}$ عدد گنگ نباشد، پس $\frac{1}{x}$ عددی گویا است.

وارون هر عدد گویای غیر صفر، عددی گویاست، پس وارون $\frac{1}{x}$ یعنی $x$ نیز گویاست که با فرض تمرین در تناقض است.

پس $\frac{1}{x}$ عددی گنگ است.

اگر تابع $f$ در نقطه $x = a$ پیوسته ولی تابع $g$ در $x = a$ ناپیوسته باشد، ثابت کنید $f + g$ در $x = a$ ناپیوسته است.

فرض خلف) اگر $f + g$ در $x = a$ ناپیوسته نباشد، پس $f + g$ در $x = a$ پیوسته است.

تفریق دو تابع پیوسته ،همواره تابعی پیوسته است:

$\begin{matrix} (f + g) - f = g \end{matrix}$

یعنی تابع $g$ در $x = a$ پیوسته است که با فرض تمرین در تناقض است، پس $f + g$ در $x = a$ ناپیوسته است.

تمرین

دستگاه های معادلات زیر را حل کنید.

$\{\begin{cases} x = \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} \\ y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \end{cases}$

در تساوی زیر نتیجه می‌گیریم که $x$ نامنفی است:

$x = \frac{y^{2}}{1 + y^{2}}$

در تساوی زیر نتیجه می‌گیریم که $y$ نامنفی است:

$y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

از ظاهر معادلات حدس می‌زنیم که $x$ و $y$ برابرند.

برای اثبات این حدس از برهان خلف استفاده می‌کنیم.

فرض کنیم $x > y > 0$ باشد:

$\begin{array}{l} x > y \\ \Rightarrow \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} > \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \\ \Rightarrow y^{2} + y^{2} x^{2} > x^{2} + y^{2} x^{2} \\ \Rightarrow y^{2} > x^{2} \\ \Rightarrow y > x \end{array}$

از تناقض حاصل، در می‌یابیم که $x = y$ است، داریم:

$\begin{array}{l} x = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} - x = 0 \\ \Rightarrow x (\frac{x}{1 + x^{2}} - 1) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow x = y = 0 \\ \frac{x}{1 + x^{2}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{1 + x^{2}} = 1 \Rightarrow 1 + x^{2} = x \Rightarrow x^{2} - x + 1 = 0; Δ < 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 1 \\ x^{4} + y^{4} = 1 \end{cases}$

اگر $x$ و $y$ متعلق به بازه $[- 1, 1]$ نباشند، معادله زیر برقرار نخواهد بود:

$x^{4} + y^{4} = 1$

پس $- 1 \leq x, y \leq 1$ می‌باشند.

اگر یکی از متغیرها مثلا $x$ منفی باشد، یعنی $- 1 \leq x < 0$ آن‌گاه:

$x^{3} + y^{3} = 1 \Rightarrow y^{3} = 1 - x^{3}$

در این حالت $y^{3}$ بزرگ‌تر از یک می‌شود که با شرط $- 1 \leq x, y \leq 1$ در تناقض است.

پس $x$ و $y$ نمی‌توانند منفی باشند، یعنی داریم:

$\begin{array}{l} 0 \leq x, y \leq 1 \end{array}$

$\{\begin{cases} x^{3} \geq x^{4} \\ y^{3} \geq y^{4} \end{cases}〉 x^{3} + y^{3} \geq x^{4} + y^{4} \Rightarrow 1 \geq 1$

بنابراین نامساوی های زیر بایستی به تساوی تبدیل شوند:

$\{\begin{cases} x^{4} \leq x^{3} \\ y^{4} \leq y^{3} \end{cases}$

یعنی $x, y \in \{0, 1\}$ پس دو دسته جواب به صورت زیر داریم:

$\{\begin{cases} x = 1, y = 0 \\ x = 0, y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = y + z + t \\ y = z + t + x \\ z = x + y + t \\ t = x + y + z \end{cases}$

از ظاهر متقارن مساله حدس می‌زنیم:

$x = y = z = t$

برای اثبات حدسمان از برهان خلف استفاده می‌کنیم:

اگر $x$ بزرگ‌ترین متغیر باشد، داریم:

$x > y \Rightarrow y + z + t > z + t + x \Rightarrow y > x$

از تناقض حاصل می‌فهمیم تمام متغیرها برابرند.

$\{\begin{cases} x = y + z + t \\ x = y = z = t \end{cases}$

$x = 3 x \Rightarrow 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow x = y = z = t = 0$

تمرین

اگر $a, b, c$ اعداد درست و فرد باشند، ثابت كنيد معادله زیر ريشه گويا ندارد.

$a x^{2} + b x + c = 0$

از برهان خلف استفاده می‌كنيم:

فرض می‌كنيم تساوی زیر برقرار باشد:

$b^{2} - 4 a c = d^{2}; d \in N$

چون $a, b, c$ اعداد فردند، بنابراين $d$ عدد فرد است:

$\begin{array}{l} d = 2 k + 1 \\ \Rightarrow d^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 \\ \Rightarrow d^{2} = 4 k (k + 1) + 1 \end{array}$

چون يكی از دو عدد $k$ یا $k + 1$ زوج است، بنابراين $d^{2}$ در تقسيم بر $8$ به باقيمانده واحد می‌رسد.

از طرف ديگر چون $(a c)$ عددی فرد است و داریم:

$\begin{array}{l} a c = 2 m + 1 \\ \Rightarrow - 4 a c = - 8 m - 4 \\ \Rightarrow - 4 a c = - 8 (m + 1) + 4 \end{array}$

يعنی $- 4 a c$ در تقسيم بر $8$ به باقيمانده $4$ می‌رسد و چون $b^{2}$ مجذور يک عدد فرد است و در تقسيم بر $8$ به باقيمانده واحد می‌رسد، بنابراين $b^{2} - 4 a$ يعنی $d^{2}$ در تقسيم بر $8$ بايد به باقيمانده $5$ برسد که تناقض حاصل، درستی حكم را ثابت می‌كند.

تمرین

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$a a^{'} = 2 (b + b^{'})$

ثابت كنيد با شرط فوق، دست كم يكی از دو معادله زیر ريشه های حقيقی دارد.

$\{\begin{cases} x^{2} + a x + b = 0 \\ x^{2} + a^{'} x + b^{'} = 0 \end{cases}$

با برهان خلف، اثبات می‌كنيم:

$\{\begin{cases} x^{2} + a x + b = 0 \\ x^{2} + a^{'} x + b^{'} = 0 \end{cases}$

اگر هيچ‌كدام از معادله های فوق ريشه حقيقی نداشته باشد، بايد داشته باشيم:

$\begin{array}{l} Δ < 0 \Rightarrow b^{2} - 4 a c < 0 \Rightarrow a^{2} - 4 b < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ^{'} < 0 \Rightarrow b^{2} - 4 a c < 0 \Rightarrow {a^{'}}^{2} - 4 b^{'} < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} + {a^{'}}^{2} - 4 (b + b^{'}) < 0; b + b^{'} = \frac{1}{2} a a^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} + {a^{'}}^{2} - 4 (\frac{1}{2} a a^{'}) < 0 \\ \Rightarrow (a^{2} + {a^{'}}^{2} - 2 a a^{'}) < 0 \\ \Rightarrow {(a - a^{'})}^{2} < 0 \end{array}$