سرفصل‌های این مبحث

استدلال ریاضی

استدلال با اثبات مستقیم

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: استدلال ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

روش مستقیم اثبات، روشی است که به کرات در ریاضیات به‌کار می‌رود، در واقع هر دفعه که معادلاتی حل می‌کنیم یا تعادل بین سمت راست و چپ یک اتحاد را نشان می‌دهیم ، موارد ساده ای از اثبات مستقیم را به‌کار می‌بریم.

برای اثبات گزاره‌ای با استفاده از روش مستقیم، ابتدا به جمع آوری گزاره‌های درستی که ممکن است با مساله مورد بحث در ارتباط باشند، می‌پردازیم.

این گزاره‌ها می‌توانند گزاره‌هایی قبلا محقق شده باشند، با شروع با این گزاره‌ها شخص می‌تواند با استفاده از قوانین جبر و سایر اعمال درست از مرحله‌ای به مرحله‌ای دیگر قدم بگذارد، گزاره نهایی چنین جریانی، پاسخ مساله است.

اثبات‌های مستقیم غالبا بسیار مشکل هستند و به‌دست آوردن تخصص کافی در این مسیر، تنها پس از تمرینات بسیار مسیر می‌شود.

قاعده استلزام یا اثبات مستقیم (برهان مستقیم) را می‌توان به موارد خاص تقسیم بندی کرد که همگی حالتی از این روش اثبات مستقیم می‌باشند.

تمرین

درستی یا نادرستی گزاره زیر را بررسی کنید:

مجموع سه عدد طبیعی متوالی، بر عدد $3$ بخش‌پذیر است.

برای درستی یا نادرستی گزاره فوق، مثال‌هایی را نشان می‌دهیم:

$\begin{array}{l} 5 + 6 + 7 = 18 = (3) (6) \\ 10 + 11 + 12 = 33 = (3) (11) \\ 31 + 32 + 33 = 96 = (3) (32) \end{array}$

در مورد گزاره فوق هر چقدر مثال ارائه کنیم، مشاهد خواهیم کرد که گزاره برقرار است و نمی‌توانیم مثال نقضی ارائه کنیم، اما درستی گزاره با ارائه مثال، کافی نیست.

برای ارائه اثبات، کافی است سه عدد طبیعی متوالی را با $n + 2, n + 1, n$ نمایش دهیم:

$(n) + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$

که نشان می‌دهد گزاره فوق در حالت کلی درست است.

این نوع اثبات کردن را اثبات مستقیم می‌نامیم.

تمرین

هر یک از گزاره های زیر را با اثبات مستقیم ثابت کنید.

مجموع هر دو عدد فرد، عددی زوج است.

فرض کنیم $2 n + 1$ و $2 n - 1$ دو عدد فرد باشند و $n \in Z$ :

$(2 n + 1) + (2 n - 1) = 4 n$

با اثبات مستقیم ثابت کردیم که گزاره فوق درست است.

مجموع هر دو عدد گویا، عددی گویا است.

دو عدد گویای زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{a}{b}, \frac{c}{d}; b, d \neq 0$

$\begin{matrix} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d} \end{matrix}$

با اثبات مستقیم ثابت کردیم که گزاره فوق درست است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها

گاهی برای اثبات یک گزاره، لازم است همه موارد ممکن در مورد مسئله را در نظر بگیریم.

تمرین

گزاره زیر را ثابت کنید:

برای هر عدد طبیعی $n$ سه‌جمله‌ای $n^{2} - 5 n + 7$ عددی فرد است.

روش اول-

حالت اول) فرض کنیم $n$ زوج باشد:

$n = 2 k; k \in ℕ$

$n^{2} - 5 n + 7 = {(2 k)}^{2} - 5 (2 k) + 7 = 4 k^{2} - 10 k + 7 = (4 k^{2} - 10 k + 6) + 1$

حاصل یک عدد فرد است.

حالت دوم) فرض کنیم $n$ فرد باشد:

$n = 2 k - 1; k \in ℕ$

$\begin{array}{l} n^{2} - 5 n + 7 \\ = {(2 k - 1)}^{2} - 5 (2 k - 1) + 7 \\ = (4 k^{2} - 4 k + 1) - 10 k + 5 + 7 \\ = 4 k^{2} - 14 k + 13 \\ = (4 k^{2} - 14 k + 12) + 1 \\ = 2 (2 k^{2} - 7 k + 6) + 1 \end{array}$

حاصل یک عدد فرد است.

به‌عبارت دیگر، زوج یا فرد بودن $n$ فرد بودن $n^{2} - 5 n + 7$ را نتیجه می‌دهد.

روش دوم-

$p$ : $n$ زوج است.

$q$ : $n$ فرد است.

$r$ : $n^{2} - 5 n + 7$ فرد است.

حکم را می‌توان به‌صورت گزاره $p \lor q \Rightarrow r$ نمایش داد. ثابت می‌کنیم که:

$p \lor q \Rightarrow r \equiv (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r)$

$\begin{array}{l} p \lor q \Rightarrow r \\ \equiv ~ (p \lor q) \lor r \\ \equiv r \lor (~ p \land ~ q) \\ \equiv (r \lor ~ p) \land (r \lor ~ q) \\ \equiv (~ p \lor r) \land (~ q \lor r) \\ \equiv (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \end{array}$

تمرین

$A = \{3, 4\}$ یک زیر مجموعه از مجموعه $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ است و $n \in S$ .

اگر $\frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ یک عدد زوج باشد:

ثابت کنید $n \in A$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} n = 1; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{1 (1 + 1)}{2}]}^{2} = 1 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} n = 2; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{2 (2 + 1)}{2}]}^{2} = 9 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} n = 3; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{3 (3 + 1)}{2}]}^{2} = 36 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} n = 4; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{4 (4 + 1)}{2}]}^{2} = 100 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} n = 5; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{5 (5 + 1)}{2}]}^{2} = 225 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} n = 6; \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = {[\frac{6 (6 + 1)}{2}]}^{2} = 441 \end{matrix}$

به ازای $n = 3, 4$ عبارت $\frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ زوج است و $n \in A$ است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اثبات مستقیم قضایای یک‌ شرطی

در این روش معمولا مساله به‌صورت یک حکم شرطی است و دارای یک فرض و یک حکم است که با استفاده از مفاهیم و قضایایی که قبلا ثابت یا پذیرفته شده‌اند و با توجه به شرط مساله که فرض است به اثبات مساله پرداخته، درستی حکم را ثابت می‌کنیم.

قضایای یک شرطی را به‌صورت $p \Rightarrow q$ نمایش می‌دهند و آن را به‌صورت اگر $p$ آن‌گاه $q$ می‌خوانند.

در این ترکیب شرطی $p$ را مقدم و نقش فرض مسئله را دارد و $q$ را تالی و نقش حکم را خواهد داشت.

تمرین

ثابت کنید:

اگر $k$ حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آن‌گاه $4 k + 1$ مربع کامل است.

اگر $n$ و $n + 1$ دو عدد طبیعی متوالی باشند و $k = n (n + 1)$ داریم:

$4 k + 1 = 4 [n (n + 1)] + 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1 = {(2 n + 1)}^{2}$

با اثبات مستقیم ثابت کردیم که گزاره فوق درست است.

اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $a b = 0$ باشد، آن‌گاه $a = 0$ یا $b = 0$ است.

حالت اول) اگر $a = 0$ باشد، در این حالت حکم برقرار است:

$a b = 0 \overset{a = 0}{\to} b = 0$

حالت دوم) اگر $a \neq 0$ باشد، در این حالت طرفین تساوی $a b = 0$ را در $\frac{1}{a}$ ضرب می‌کنیم:

$a b = 0 \Rightarrow \frac{1}{a} \times (a b) = \frac{1}{a} \times 0 \Rightarrow b = 0$

بنابراین در هر دوحالت حکم برقرار است.

اگر $a, b$ دو عدد صحیح باشند و $a \times b$ عددی فرد باشد، آن‌‌گاه ثابت کنید $a^{2} + b^{2}$ زوج است.

وقتی $a \times b$ فرد است یعنی هر دو عدد $a, b$ فرد است.

فرض کنیم $a = 2 k + 1$ و $b = 2 k - 1$ باشد، آن‌گاه داریم:

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} \\ = {(2 k + 1)}^{2} + {(2 k - 1)}^{2} \\ = (4 k^{2} + 4 k + 1) + (4 k^{2} - 4 k + 1) \\ = 8 k^{2} + 2 \\ = 2 (4 k^{2} + 1) \end{array}$

با اثبات مستقیم ثابت کردیم که گزاره فوق درست است.

نکته

1- در ترکیب شرطی $p \Rightarrow q$ می‌توان جای فرض و حکم را عوض کرد و عکس ترکیب شرطی را به‌دست آورد.

عکس ترکیب شرطی $p \Rightarrow q$ را به‌صورت $q \Rightarrow p$ نمایش می‌دهند. توجه کنید که عکس ترکیب شرطی هم می‌تواند برقرار باشد و هم برقرار نباشد.

به‌عنوان نمونه:

$\{\begin{cases} i f x = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \\ i f x^{2} = 1 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

2- اگر عکس یک ترکیب شرطی برقرار باشد، می‌توان آن را به‌صورت دو‌شرطی $p \Leftrightarrow q$ بیان کرد.

3- اگر ترکیب یک‌شرطی ارزش درست داشته باشد یعنی $(p \Rightarrow q \equiv T)$ می‌توانیم آن را به‌صورت‌های زیر بخوانیم:

$q$ یک شرط لازم است برای برقراری $p$ .

$p$ یک شرط کافی است برای برقراری $q$ .

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اثبات مستقیم قضایای دو‌ شرطی

گزاره‌های به‌صورت $p \Leftrightarrow q$ را ترکیب دوشرطی می‌نامند و آنها را به‌صورت اگر $p$ آن‌گاه $q$ و برعکس می‌خوانند.

یک ترکیب دوشرطی، هم‌ارز ترکیب شرطی $p \Rightarrow q$ و عکس ترکیب شرطی یعنی $q \Rightarrow p$ می‌باشد:

$p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$

بدیهی است با توجه به هم‌ارزی فوق برای اثبات قضایایی که به‌صورت دوشرطی بیان می‌شوند، روش کلی آن است که هم خود قضیه و هم عکس آن ثابت شوند.

به‌عنوان نمونه:

اگر بخواهیم ترکیب دوشرطی $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A$ را ثابت کنیم:

باید یک‌بار ترکیب شرطی $A \subset B \Rightarrow A \cap B = A$ را ثابت کنیم.
باید یک‌بار ترکیب شرطی $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$ را ثابت کنیم.

اثبات مستقیم قضایای دو شرطی را اثبات‌های بازگشتیِ گزاره‌های هم‌ارز می‌گویند.

تمرین

اگر $a, b \in R$ کدام‌یک از ترکیب‌های دوشرطی زیر درست است؟

$a = b \Leftrightarrow a^{3} = b^{3}$

$\{\begin{cases} a = b \Rightarrow a^{3} = b^{3} \\ a^{3} = b^{3} \Rightarrow a = b \end{cases}$

ترکیب دوشرطی درست است، زیرا گزاره‌های فوق هر دو درست هستند.

$a = b \Leftrightarrow a^{2} = b^{2}$

$\{\begin{cases} a = b \Rightarrow a^{2} = b^{2} \\ a^{2} = b^{2} \Rightarrow a = b \end{cases}$

ترکیب دوشرطی درست نیست، زیرا حداقل یکی از گزاره‌های فوق درست نیست:

$a < b \Leftrightarrow a^{2} < b^{2}$

اگر گزاره های زیر هر دو درست باشند، ترکیب دوشرطی فوق درست است:

$\begin{matrix} \{\begin{cases} a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2} \\ a^{2} < b^{2} \Rightarrow a < b \end{cases} \end{matrix}$

گزاره $a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2}$ با شرط $0 < a < b$ همواره صحیح است.

اگر $a < 0 < b$ در نظر گرفته شود، گزاره صحیح نیست، به عنوان مثال:

$\begin{matrix} - 4 < 3 \Rightarrow {(- 4)}^{2} < {(3)}^{2} \end{matrix}$

بنابراین ترکیب دو شرطی فوق نادرست است.

$a < b \Leftrightarrow a^{3} < b^{3}$

گزاره های زیر هردو درست می‌باشند و ترکیب دوشرطی فوق همواره درست است:

$\begin{matrix} \{\begin{cases} a < b \Rightarrow a^{3} < b^{3} \\ a^{3} < b^{3} \Rightarrow a < b \end{cases} \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- اگر ترکیب دوشرطی ارزش درست داشته باشد یعنی $(p \Leftrightarrow q \equiv T)$ می‌توانیم آنها را به صورت‌های زیر بخوانیم:

$p$ شرط لازم و کافی است برای برقراری $q$

$q$ شرط لازم و کافی است برای برقراری $p$

$p$ اگر و تنها اگر $q$

$q$ اگر و تنها اگر $p$

تمرین

عبارت $A \subset B, B \subset A$ چه شرطی برای $A = B$ است؟

می‌دانیم دو شرطی زیر همیشه برقرار است:

$A \subset B, B \subset A \Leftrightarrow A = B$

پس $A \subset B$ و $B \subset A$ شرط لازم و کافی برای $A = B$ می‌باشد و $A = B$ هم شرط لازم و کافی برای $A \subset B$ و $B \subset A$ می‌باشد.

نکته

2- اگر ترکیب دوشرطی $P \Leftrightarrow Q$ درست باشد، آن‌گاه $P$ و $Q$ دو گزاره هم ارز خواهند بود و اگر ارزش یکی از آنها را بدانیم، ارزش دیگری همان خواهد بود. (روش بازگشتی)

به‌کمک این موضوع می‌توانیم درستی یا نادرستی یک گزاره را بررسی کنیم و در عمل به‌طور معمول درستی یا نادرستی گزاره‌ای که معمولا ساده‌تر است را انتخاب می‌کنیم.

تمرین

اگر $a > 0$ باشد، ثابت کنید $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

$a + \frac{1}{a} \geq 2 \Leftrightarrow a^{2} + 1 \geq 2 a; a > 0$

این ترکیب دو شرطی بیان نمی‌کند که کدام گزاره درست است، بلکه تنها بیان‌گر آن است که دو گزاره هم‌ارز هستند:

$\begin{array}{l} a + \frac{1}{a} \geq 2 \\ \Leftrightarrow a^{2} + 1 \geq 2 a; a > 0 \\ \Leftrightarrow a^{2} - 2 a + 1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} \geq 0 \end{array}$

گزاره ${(a - 1)}^{2} \geq 0$ همواره درست است، بنابراین گزاره $a + \frac{1}{a} \geq 2$ با شرط $a > 0$ همواره درست است.

تمرین

گزاره های زیر را به روش بازگشتی (گزاره های هم ارز) ثابت کنید.

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2; x y > 0$

طرفین نامساوی فوق را در $x y$ ضرب می‌کنیم، جهت نامساوی عوض نمی‌شود:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \\ \Leftrightarrow x y (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \geq 2 x y; x y > 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} \geq 0 \end{array}$

گزاره ${(x - y)}^{2} \geq 0$ همواره درست است.

بنابراین گزاره $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2; x y > 0$ همواره درست است.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x; x, y, z \in R$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x \\ \Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + z x) \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 y z - 2 z x \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x z + z^{2}) + (y^{2} - 2 y z + z^{2}) \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - z)}^{2} + {(y - z)}^{2} \geq 0 \end{array}$

گزاره فوق همواره درست است بنابراین گزاره تمرین مورد نظر همواره درست است.

$x^{2} + y^{2} + 1 \geq x y + x + y; x, y \in R$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + 1 \geq x y + x + y \\ \Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + 1) \geq 2 (x y + x + y) \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 - 2 x y - 2 x - 2 y \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \geq 0 \end{array}$

گزاره فوق همواره درست است بنابراین گزاره تمرین مورد نظر همواره درست است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

برهان عکس نقیض

ترکیب شرطی $p \Rightarrow q$ با عکس نقیض آن یعنی $~ q \Rightarrow ~ p$ هم‌ارز است یعنی:

$p \Rightarrow q \equiv ~ q \Rightarrow ~ p$

برای اثبات یک قضیه می‌توان عکس نقیض آن قضیه را ثابت کرد و این برای زمانی است که اثبات خود قضیه مشکل‌تر از اثبات عکس نقیض آن باشد.

تمرین

در مثلث $A B C$ که $A B$ و $A C$ نابرابرند، ارتفاع $A H$ را رسم می‌کنیم، ثابت کنید $B H$ و $C H$ نابرابرند.

در این قضیه فرض و حکم به‌صورت زیر مطرح می‌شوند:

$p : A B \neq A C$ (فرض

$q : B H \neq C H$ (حکم

ولی طبق آن‌چه که گفتیم می‌توان قضیه زیر را که عکس نقیض فوق است برای راحت‌تر بودن اثبات آن انتخاب کرد و اثبات نمود و با اثبات این قضیه عملا قضیه اصلی را که هم‌ارز آن است اثبات کرده‌ایم.

$~ q : B H = C H$ (فرض

$~ p : A B = A C$ (حکم

قضیه اخیر در درس هندسه اثبات شده است.

ثابت کنید که اگر مربع عددی فرد باشد آن‌گاه آن عدد فرد است.

این گزاره، هم‌ارز گزاره زیر است:

اگر عددی زوج باشد آن‌گاه مربع آن نیز زوج است.

اثبات گزاره دوم که عکس و نقیض گزاره اول است آسان‌تر می‌باشد.

اگر $a$ عدد مفروض باشد:

$a = 2 k$ (فرض

$a^{2} = 2 k^{'}$ (حکم

$\begin{array}{l} a = 2 k \\ \Rightarrow a^{2} = {(2 k)}^{2} \\ \Rightarrow a^{2} = 4 k^{2} \\ \Rightarrow a^{2} = 2 (2 k^{2}); k^{'} = 2 k^{2} \\ \Rightarrow a^{2} = 2 k^{'}; (k, k^{'} \in Z) \end{array}$

چون عکس نقیض گزاره را ثابت کردیم و از آنجا که هر گزاره با عکس نقیض خودش هم‌ارز می‌باشد، پس عملا خود گزاره را اثبات کرده‌ایم.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

معمای چارگوش

مقدار علامت سوال کدام یک از گزینه های زیر است؟

$19 c m^{2}$
$20 c m^{2}$
$21 c m^{2}$
$22 c m^{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

در شکل زیر زاویه $C A D$ کدام است؟

$80 °$
$70 °$
$75 °$
$85 °$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

استدلال با اثبات مستقیم

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

استدلال ریاضی

استدلال با اثبات مستقیم

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها

اثبات مستقیم قضایای یک‌ شرطی

اثبات مستقیم قضایای دو‌ شرطی

برهان عکس نقیض

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟