استدلال با اثبات مستقیم

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: استدلال ریاضی
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

روش مستقیم اثبات، روشی است که به کرات در ریاضیات به‌کار می‌رود، در واقع هر دفعه که معادلاتی حل می‌کنیم یا تعادل بین سمت راست و چپ یک اتحاد را نشان می‌دهیم ، موارد ساده ای از اثبات مستقیم را به‌کار می‌بریم.

برای اثبات گزاره‌ای با استفاده از روش مستقیم، ابتدا به جمع آوری گزاره‌های درستی که ممکن است با مساله مورد بحث در ارتباط باشند، می‌پردازیم.

این گزاره‌ها می‌توانند گزاره‌هایی قبلا محقق شده باشند، با شروع با این گزاره‌ها شخص می‌تواند با استفاده از قوانین جبر و سایر اعمال درست از مرحله‌ای به مرحله‌ای دیگر قدم بگذارد، گزاره نهایی چنین جریانی، پاسخ مساله است.

اثبات‌های مستقیم غالبا بسیار مشکل هستند و به‌دست آوردن تخصص کافی در این مسیر، تنها پس از تمرینات بسیار مسیر می‌شود.

قاعده استلزام یا اثبات مستقیم (برهان مستقیم) را می‌توان به موارد خاص تقسیم بندی کرد که همگی حالتی از این روش اثبات مستقیم می‌باشند.

تمرین

درستی یا نادرستی گزاره زیر را بررسی کنید:

مجموع سه عدد طبیعی متوالی، بر عدد 3 بخش‌پذیر است.

برای درستی یا نادرستی گزاره فوق، مثال‌هایی را نشان می‌دهیم:

5+6+7=18=3610+11+12=33=31131+32+33=96=332


در مورد گزاره فوق هر چقدر مثال ارائه کنیم، مشاهد خواهیم کرد که گزاره برقرار است و نمی‌توانیم مثال نقضی ارائه کنیم، اما درستی گزاره با ارائه مثال، کافی نیست.

برای ارائه اثبات، کافی است سه عدد طبیعی متوالی را با n+2,n+1,n نمایش دهیم:

n+n+1+n+2=3n+3=3n+1


که نشان می‌دهد گزاره فوق در حالت کلی درست است.


این نوع اثبات کردن را اثبات مستقیم می‌نامیم.

دریافت مثال

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها 

گاهی برای اثبات یک گزاره، لازم است همه موارد ممکن در مورد مسئله را در نظر بگیریم.

تمرین

گزاره زیر را ثابت کنید:

برای هر عدد طبیعی n سه‌جمله‌ای n25n+7 عددی فرد است.

روش اول-


حالت اول) فرض کنیم n زوج باشد:

n=2k   ;    k

n25n+7=2k252k+7=4k210k+7=4k210k+6+1


حاصل یک عدد فرد است.


حالت دوم) فرض کنیم n فرد باشد:

n=2k-1   ;    k


n25n+7=2k1252k1+7=4k24k+110k+5+7=4k214k+13=4k214k+12+1=22k27k+6+1


حاصل یک عدد فرد است.


به‌عبارت دیگر، زوج یا فرد بودن n فرد بودن n25n+7 را نتیجه می‌دهد. 


روش دوم-

pn زوج است.

qn فرد است.

rn25n+7 فرد است.


حکم را می‌توان به‌صورت گزاره pqr نمایش داد. ثابت می‌کنیم که:

pqrprqr


pqr~pqrr~p~qr~pr~q~pr~qrprqr

دریافت مثال

اثبات مستقیم قضایای یک‌شرطی

در این روش معمولا مساله به‌صورت یک حکم شرطی است و دارای یک فرض و یک حکم است که با استفاده از مفاهیم و قضایایی که قبلا ثابت یا پذیرفته شده‌اند و با توجه به شرط مساله که فرض است به اثبات مساله پرداخته، درستی حکم را ثابت می‌کنیم.

قضایای یک شرطی را به‌صورت pq  نمایش می‌دهند و آن را به‌صورت اگر p آن‌گاه q می‌خوانند.

در این ترکیب شرطی p را مقدم و نقش فرض مسئله را دارد و q را تالی و نقش حکم را خواهد داشت.

تمرین

ثابت کنید:

اگر k حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آن‌گاه 4k+1 مربع کامل است.

اگر n و n+1 دو عدد طبیعی متوالی باشند و k=nn+1 داریم: 

4k+1=4nn+1+1=4n2+4n+1=2n+12


با اثبات مستقیم ثابت کردیم که گزاره فوق درست است.

اگر a و b دو عدد حقیقی باشند و ab=0 باشد، آن‌گاه a=0 یا b=0 است.

حالت اول) اگر a=0 باشد، در این حالت حکم برقرار است: 

ab=0a=0b=0


حالت دوم) اگر a0 باشد، در این حالت طرفین تساوی ab=0 را در 1a ضرب می‌کنیم:

ab=01a×ab=1a×0b=0


بنابراین در هر دوحالت حکم برقرار است.

نکته

1- در ترکیب شرطی pq می‌توان جای فرض و حکم را عوض کرد و عکس ترکیب شرطی را به‌دست آورد.

عکس ترکیب شرطی pq را به‌صورت qp نمایش می‌دهند. توجه کنید که عکس ترکیب شرطی هم می‌تواند برقرار باشد و هم برقرار نباشد. 

به‌عنوان نمونه:

if  x=1x2=1if  x2=1x=1


2- اگر عکس یک ترکیب شرطی برقرار باشد، می‌توان آن را به‌صورت دو‌شرطی pq بیان کرد.


3- اگر ترکیب یک‌شرطی ارزش درست داشته باشد یعنی pqT می‌توانیم آن را به‌صورت‌های زیر بخوانیم:

q یک شرط لازم است برای برقراری p.

p یک شرط کافی است برای برقراری q.

دریافت مثال

اثبات مستقیم قضایای دو‌شرطی

گزاره‌های به‌صورت pq را ترکیب دوشرطی می‌نامند و آنها را به‌صورت اگر p آن‌گاه q و برعکس می‌خوانند.

یک ترکیب دوشرطی، هم‌ارز ترکیب شرطی pq و عکس ترکیب شرطی یعنی qp می‌باشد:

pqpqqp

بدیهی است با توجه به هم‌ارزی فوق برای اثبات قضایایی که به‌صورت دوشرطی بیان می‌شوند، روش کلی آن است که هم خود قضیه و هم عکس آن ثابت شوند.

به‌عنوان نمونه:

اگر بخواهیم ترکیب دوشرطی ABAB=A را ثابت کنیم:

  • باید یک‌بار ترکیب شرطی ABAB=A را ثابت کنیم.
  • باید یک‌بار ترکیب شرطی AB=AAB را ثابت کنیم.

اثبات مستقیم قضایای دو شرطی را اثبات‌های بازگشتیِ گزاره‌های هم‌ارز می‌گویند.

تمرین

کدام‌یک از ترکیب‌های دوشرطی زیر درست است؟

a=ba3=b3

a=ba3=b3a3=b3a=b


ترکیب دوشرطی درست است، زیرا گزاره‌های فوق هر دو درست هستند.

a=ba2=b2

a=ba2=b2a2=b2a=b


ترکیب دوشرطی درست نیست، زیرا حداقل یکی از گزاره‌های فوق درست نیست:

دریافت مثال

نکته

1- اگر ترکیب دوشرطی ارزش درست داشته باشد یعنی pqT می‌توانیم آنها را به صورت‌های زیر بخوانیم:

p شرط لازم و کافی است برای برقراری q

q شرط لازم و کافی است برای برقراری p

p اگر و تنها اگر q

q اگر و تنها اگر p

تمرین

عبارت AB  ,  BA چه شرطی برای A=B است؟

می‌دانیم دو شرطی زیر همیشه برقرار است:

AB  ,  BAA=B


پس AB و BAشرط لازم و کافی برای A=B می‌باشد و A=B هم شرط لازم و کافی برای  AB و BAمی‌باشد.     

نکته

2- اگر ترکیب دوشرطی PQ درست باشد، آن‌گاه P و Q دو گزاره هم ارز خواهند بود و اگر ارزش یکی از آنها را بدانیم، ارزش دیگری همان خواهد بود.

به‌کمک این موضوع می‌توانیم درستی یا نادرستی یک گزاره را بررسی کنیم و در عمل به‌طور معمول درستی یا نادرستی گزاره‌ای که معمولا ساده‌تر است را انتخاب می‌کنیم.

تمرین

اگر a>0 باشد، ثابت کنید a+1a2.

a+1a2a2+12a   ;    a>0


این ترکیب دو شرطی بیان نمی‌کند که کدام گزاره درست است، بلکه تنها بیان‌گر آن است که دو گزاره هم‌ارز هستند:


a+1a2a2+12a    ;    a>0a22a+10a120


گزاره a120 همواره درست است، بنابراین گزاره a+1a2 با شرط a>0 همواره درست است.   

دریافت مثال

برهان عکس نقیض

ترکیب شرطی pq با عکس نقیض آن یعنی ~q~p هم‌ارز است یعنی:

pq~q~p

 برای اثبات یک قضیه می‌توان عکس نقیض آن قضیه را ثابت کرد و این برای زمانی است که اثبات خود قضیه مشکل‌تر از اثبات عکس نقیض آن باشد.

تمرین

در مثلث ABC که AB و AC نابرابرند، ارتفاع AH را رسم می‌کنیم، ثابت کنید BH و CH نابرابرند. 

در این قضیه فرض و حکم به‌صورت زیر مطرح می‌شوند:

 p  :  ABAC (فرض

q  :  BHCH (حکم


ولی طبق آن‌چه که گفتیم می‌توان قضیه زیر را که عکس نقیض فوق است برای راحت‌تر بودن اثبات آن انتخاب کرد و اثبات نمود و با اثبات این قضیه عملا قضیه اصلی را که هم‌ارز آن است اثبات کرده‌ایم.


~q  :  BH=CH (فرض

~p  :  AB=AC (حکم

قضیه اخیر در درس هندسه اثبات شده است.

ثابت کنید که اگر مربع عددی فرد باشد آن‌گاه آن عدد فرد است.

این گزاره، هم‌ارز گزاره زیر است:


اگر عددی زوج باشد آن‌گاه مربع آن نیز زوج است.


اثبات گزاره دوم که عکس و نقیض گزاره اول است آسان‌تر می‌باشد.


اگر a عدد مفروض باشد:

a=2k(فرض

a2=2k'(حکم


a=2ka2=2k2a2=4k2a2=22k2    ;    k'=2k2a2=2k'    ;    k,k'Z


چون عکس نقیض گزاره را ثابت کردیم و از آنجا که هر گزاره با عکس نقیض خودش هم‌ارز می‌باشد، پس عملا خود گزاره را اثبات کرده‌ایم.

مثال‌ها و جواب‌ها

استدلال با اثبات مستقیم

2,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید