سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ضرب عدد حقیقی در ماتریس

آخرین ویرایش: 25 دی 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

ضرب عدد حقیقی $k$ در ماتریس

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

برای ضرب عدد حقیقی $k$ در ماتریس فوق، باید $k$ را در تمام عضوهای ماتریس ضرب کرد:

$k \times A = k \times [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} k a & k b \\ k c & k d \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس زیر را محاسبه کنید.

$\frac{1}{2} \times [\begin{matrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 7 \\ \sqrt{2} & - 1 & 2 & 8 \end{matrix}]$

$\frac{1}{2} \times [\begin{matrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 7 \\ \sqrt{2} & - 1 & 2 & 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \times \frac{1}{2} & 6 \times \frac{1}{2} & 8 \times \frac{1}{2} & 1 \times \frac{1}{2} \\ 0 \times \frac{1}{2} & 3 \times \frac{1}{2} & 5 \times \frac{1}{2} & 7 \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{2} \times \frac{1}{2} & - 1 \times \frac{1}{2} & 2 \times \frac{1}{2} & 8 \times \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 4 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$A_{3 \times 3} = [\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 5 & 9 & 1 \end{matrix}]$

ماتریس های زیر را مشخص کنید.

$- 3 A$

$- 3 A = (- 3) \times [\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 5 & 9 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \times (- 3) & - 3 \times (- 3) & 2 \times (- 3) \\ 2 \times (- 3) & 4 \times (- 3) & 5 \times (- 3) \\ 5 \times (- 3) & 9 \times (- 3) & 1 \times (- 3) \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 & 9 & - 6 \\ - 6 & - 12 & - 15 \\ - 15 & - 27 & - 3 \end{matrix}]$

$5 A$

$5 A = (5) \times [\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 5 & 9 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \times 5 & - 3 \times 5 & 2 \times 5 \\ 2 \times 5 & 4 \times 5 & 5 \times 5 \\ 5 \times 5 & 9 \times 5 & 1 \times 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & - 15 & 10 \\ 10 & 20 & 25 \\ 25 & 45 & 5 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید.

$A = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}]$

ماتریس های زیر را به‌دست آورید.

$2 A$

$2 A = 2 \times [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \times 2 & 5 \times 2 \\ 0 \times 2 & 1 \times 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 10 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$

$3 C$

$3 C = 3 \times [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \times 3 & - 1 \times 3 \\ 2 \times 3 & 5 \times 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 6 & 15 \end{matrix}]$

$2 A + B$

$2 A + B = 2 [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \times 2 & 5 \times 2 \\ 0 \times 2 & 1 \times 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 10 \\ 0 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 + 3 & 10 + 1 \\ 0 + 2 & 2 + 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 & 11 \\ 2 & 7 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید.

$A = [\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$

ماتریس زیر را به‌دست آورید.

$3 A - 2 B$

$3 A - 2 B = 3 [\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - 2 [\begin{matrix} 5 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 & 9 \\ 0 & 3 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 10 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 & 9 \\ 2 & - 1 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید.

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

ماتریس زیر را به‌دست آورید.

$2 A + 3 B$

$2 A + 3 B = 2 [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] + 3 [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 1 \\ 6 & 11 \end{matrix}]$

تمرین

معادلات ماتریسی زیر را حل کنید.

$\begin{array}{l} X + [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} X + [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] \\ \Rightarrow X = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow X = [\begin{matrix} 2 - 0 & 0 - 1 \\ 0 - 1 & 2 - 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow X = [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \end{array}$

$[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}] + 2 X = [\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}] + 2 X = [\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] \\ \Rightarrow 2 X = [\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}] \\ \Rightarrow 2 X = [\begin{matrix} 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow X = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{matrix}] \\ \Rightarrow X = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ \frac{- 1}{2} & \frac{- 3}{2} \end{matrix}] \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خواص مهم ضرب عدد در ماتریس

اگر $A = {[a_{i j}]}_{m n}$ و $B = {[b_{i j}]}_{m n}$ دو ماتریس هم مرتبه و $k \in R$ باشند، داریم:

$\begin{array}{l} 1) k (A \pm B) = k A \pm k B \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) k_{1} (k_{2} A) = (k_{1} k_{2}) A \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) k_{1} A \pm k_{2} A = (k_{1} \pm k_{2}) A \end{array}$

$\begin{array}{l} 4) k A = k B, k \neq 0 \Rightarrow A = B \end{array}$

$5) A = B \Rightarrow k A = k B$

تمرین

تساوی ‌های زیر را ثابت کنید.

$k (A + B) = k A + k B$

$\begin{array}{l} k (A + B) \\ = k ({[a_{i j}]}_{m n} + {[b_{i j}]}_{m n}) \\ = k {[a_{i j} + b_{i j}]}_{m n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[k a_{i j} + k b_{i j}]}_{m n} \\ = {[k a_{i j}]}_{m n} + {[k b_{i j}]}_{m n} \\ = k {[a_{i j}]}_{m n} + k {[b_{i j}]}_{m n} \\ = k A + k B \end{array}$

$k_{1} (k_{2} A) = (k_{1} k_{2}) A$

$\begin{array}{l} k_{1} (k_{2} A) \\ = k_{1} (k_{2} {[a_{i j}]}_{m n}) \\ = k_{1} ({[k_{2} a_{i j}]}_{m n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (k_{1} {[k_{2} a_{i j}]}_{m n}) \\ = {[(k_{1} k_{2}) a_{i j}]}_{m n} \\ = (k_{1} k_{2}) {[a_{i j}]}_{m n} \\ = (k_{1} k_{2}) A \end{array}$

$k_{1} A + k_{2} A = (k_{1} + k_{2}) A$

$\begin{array}{l} k_{1} A + k_{2} A \\ = k_{1} {[a_{i j}]}_{m n} + k_{2} {[a_{i j}]}_{m n} \\ = {[k_{1} a_{i j}]}_{m n} + {[k_{2} a_{i j}]}_{m n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[k_{1} a_{i j} + k_{2} a_{i j}]}_{m n} \\ = {[(k_{1} + k_{2}) a_{i j}]}_{m n} \\ = (k_{1} + k_{2}) {[a_{i j}]}_{m n} \\ = (k_{1} + k_{2}) A \end{array}$