متغیر تصادفی (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 45 مرتبه

فضای نمونه هر آزمایش از چند پیشامد تشکیل شده است.

معمولا سعی بر این است که پیشامدهای یک آزمایش را به‌صورت توصیفی بیان نکنیم، بدین جهت تابعی از فضای نمونه به مجموعه اعداد حقیقی تعریف کرده و بیان توصیفی پیشامدها را به بیان عددی تبدیل می‌کنیم.

به‌عنوان نمونه:

اگر سکه‌ای را 2 بار پرتاب کنیم، فضای نمونه به‌صورت زیر خواهد بود:

S=HH,HT,TH,TT

اگر شخصی فقط به تعداد شیرها توجه داشته باشد، به نقاط نمونه فوق به‌ترتیب 2,1,1,0 را نسبت می‌دهد.

اعداد 2,1,0 اعدادی هستند که با نتیجه آزمایش مشخص می‌شوند.

تعریف متغیر تصادفی  

تابعی که از فضای نمونه یک آزمایش به اعداد حقیقی تعریف شود، را متغیر تصادفی گویند.

X:SR

متغیر تصادفی را با یکی از حروف بزرگ ...  ,  Z  ,  Y  ,  X نمایش می‌دهند و مقادیر آنها را با حروف کوچک متناظرشان نشان می‌دهیم.

مثلا برای نشان دادن مقداری از متغیر تصادفی X می‌نویسیم x.

تمرین

از جعبه‌ای که شامل 5 توپ سفيد و 4 توپ سياه است، 3 توپ را به‌تصادف و بدون جايگذاری خارج می‌کنيم، فرض کنيد متغير تصادفی X نشان دهنده تعداد توپ‎‌های سفيد در اين آزمايش باشد.

فضای نمونه آزمايش و مقادير متغير تصادفی X را مشخص کنيد. 

تعریف متغیر تصادفی - پیمان گردلو

S=WWW,WWB,WBW,BWW,BBW.BWB,WBB,BBBWWWWWBWBWBWWBBWBWBWBBBBB                   3   2   2   2   1   1   1    0


=Xتعداد توپ‌های سفيد

X=3,2,1,0


مقاديری که X به‌عنوان متغير تصادفی اختيار می‌کند مجموعه اعداد فوق است. 


برای مثال:

if   X=1A=BBW,BWB,WBB


اگر X=1 باشد، A نماينده پيشامد فقط يک توپ سفيد است از ميان سه توپ.  

يک جفت تاس را پرتاب می‌کنيم، فرض کنيد متغير تصادفی X نشان دهنده min دو عدد ظاهر شده باشد، مقادير متغير تصادفی X را مشخص کنيد.   

S=1,1,1,2,...,2,1,2,2,...,6,61,11,2...2,12,2...6,6             1   1   1   2   6


=X نشان دهنده min دو عدد ظاهر شده 

X=1,2,3,4,5,6

 
به‌طور مثال، اگر X=1 باشد، A پيشامد مجموعه زیر است:

if   X=1A=1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6

يک سکه همگن 4 بار پرتاب می‌شود. عناصر فضای نمونه ای را که بنا به فرض همشانس‌اند، مقادير متناظر x از متغير تصادفی X را که تعداد کل شيرهاست فهرست کنيد، سپس PX=1 را مشخص کنيد.  

S=HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTHT,HTTH,THHT,THTH,TTHH          ,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,TTTT


X=0,1,2,3,4if   x=3A=HHHT,HHTH,HTHH,THHHnA=4PX=3=nAnS=416=14

تمرین

يک سکه سالم را سه بار پرتاب می‌کنيم، متغير تصادفی X را تعداد شيرهای ظاهر شده می‌گيريم.

مقادير اين متغير تصادفی را مشخص کنيد.

S=HHH,HHT,HTH,THH,TTT,THT,TTH,HTTHHHHHTHTHTHHTTTTHTTTHHTT                   3   2   2   2   0   1   1   1


=Xتعداد شيرهای ظاهر شده:

X=0,1,2,3

مقدارهای PX=0 و PX=1 را مشخص کنيد. 

PX=xif   X=0A=TTTnA=1PX=0=nAnS=18if   X=1B=THT,TTH,HTTnB=3PX=1=nBnS=38

تمرین

دو تاس را می‌ريزيم، متغير تصادفی X را مجموع دو عدد رو شده می‌گيريم.  

مقدار PX=7 را به‌دست آوريد. 

S=26=36


=X مجموع دو عدد رو شده:

X=7A=1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1nA=6PX=7=nAnS=636=16

برای ارسال نظر وارد سایت شوید