سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

متغیر تصادفی (گسسته)

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف متغیرهای تصادفی گسسته

متغیر تصادفی $X$ که روی فضای نمونه گسسته تعریف می‌شود را متغیر تصادفی گسسته گویند.

تابع توزیع احتمال گسسته

یک متغیر تصادفی گسسته هر یک از مقادیر خود را با احتمالی معین اختیار می‌کند.

تمرین

اگر سکه‌ای را دو مرتبه پرتاب کرده و متغیر تصادفی $X$ نشان دهنده تعداد شیرها در این آزمایش باشد، این متغیر تصادفی مقادیر $2, 1, 0$ را با چه احتمال هایی اختیار می‌کند؟

$\begin{array}{l} S = \{H H, H T, T H, T T\} \\ 2 1 1 0 \end{array}$

$X$ : نشان دهنده تعداد شیرها

$\begin{array}{l} X = \{0, 1, 2\} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow f (0) = P (X = 0) = P (\{T T\}) = \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow f (1) = P (X = 1) = P (\{H T, T H\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 2 \Rightarrow f (2) = P (X = 2) = P (\{H H\}) = \frac{1}{4} \end{array}$

متغیرهای تصادفی گسسته - پیمان گردلو

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید در جدول بالا داریم:

$f (x) = P (X = x)$

که دامنه‌اش مقادیر متغیر تصادفی و برد آن، احتمال را مشخص می‌کند.

جدول یا فرمولی که تمام مقادیر متغیر تصادفی را همراه با احتمال های مربوط نشان می‌دهد (تابع احتمال) می‌نامیم.

در حالتی که متغیر تصادفی گسسته باشد، تابع احتمال را (توزیع احتمال) می‌نامیم.

تعریف تابع توزیع احتمال

تابع $f (x)$ را یک تابع توزیع احتمال برای متغیر تصادفی گسسته $X$ گوییم، اگر:

$\begin{array}{l} 1) \forall x_{i}; f (x_{i}) \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) \sum_{i} f (x_{i}) = 1 \end{array}$

$3) P (X = x_{i}) = f (x_{i})$

$X$ مقادیر $. . ., x_{2}, x_{1}$ را انتخاب می‌کند.

تذکر

به جای این‌که احتمال های وابسته به مقادیر یک متغیر تصادفی را در یک جدول نشان دهیم، معمولا بهتر است برای آن فرمولی ارائه دهیم.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تابع توزیع تجمعی $X$

در مسائل زیادی، دانستن احتمال این‌که مقداری از متغیر تصادفی، کوچک‌تر از یک مقدار حقیقی $x$ یا برابر با آن باشد، مورد توجه است لذا احتمال این را که $X$ مقداری کوچک‌تر از $x$ یا برابر آن اختیار کند به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$F_{X} (x) = P (X \leq x)$

این تابع را که برای تمام اعداد حقیقی $x$ تعریف شده است، تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی $X$ می‌نامیم.

اگر $X$ یک متغیر تصادفی گسسته با توزیع احتمال $f (x)$ باشد، تابع توزیع تجمعی $X$ که با نماد $F_{X} (x)$ نشان داده می‌شود، عبارت است از تابع زیر:

$\begin{array}{l} F_{X} : R \mapsto R \end{array}$

$F_{X} (x) = P (X \leq x) = \sum_{t \leq x} f (t); - \infty < x < + \infty$

قضیه

مقادیر $F_{X} (x)$ تابع توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ در شرایط زیر صدق می‌کنند:

1- تساوی های $F (+ \infty) = 1$ و $F (- \infty) = 0$ برقرار است.

2- به‌ازای هر دو عدد حقیقی $a$ و $b$ با شرط $a < b$ آن‌گاه:

$F (a) \leq F (b)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر برد متغیر تصادفی $X$ متشکل از مقادیر $x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{n}$ باشد ، آن‌گاه $f (x) = F (x_{1})$ و داریم:

$f (x_{i}) = F (x_{i}) - F (x_{i - 1}); i = 2, 3, ..., n$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

توزیع برنولی

آزمایشی را در نظر می‌گیریم که با یکی از دو پیشامد $S$ (پیروزی) یا $F$ (شگست) منتهی شود یعنی از یک آزمایش، وقوع توام آنها یکی نباشد و الزاما یکی از آنها رخ دهد.

اگر برای پیروزی عدد $(1)$ و برای شکست عدد $(0)$ را در نظر بگیریم، احتمال پیشامد $S$ را با $P (S)$ و احتمال پیشامد $F$ را با $P (F)$ به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\begin{array}{l} P (S) = θ \\ P (F) = 1 - θ \end{array}$

اگر متغیر تصادفی $X$ نشان دهنده تعداد موفقیت در یک آزمایش باشد:

$\begin{array}{l} X = \{0, 1\} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = P (X = x) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow f (1) = P (X = 1) = θ \end{array}$

$i f x = 0 \Rightarrow f (0) = P (X = 0) = 1 - θ$

جدول توزیع احتمال برنولی به‌صورت زیر می‌باشد:

متغیرهای تصادفی گسسته - پیمان گردلو

حال نشان می‌دهیم که $f (x) \geq 0$ زیرا $0 \leq θ \leq 1$ :

$\sum_{x} f (x) = f (0) + f (1) = (1 - θ) + θ = 1$

تعریف- متغیر تصادفی $X$ توزیع برنولی دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی برنولی داده می‌شود، اگر و تنها اگر توزیع احتمالش به‌صورت زیر باشد:

$f (x; θ) = θ^{x} {(1 - θ)}^{1 - x}; x = 0, 1$

خرید پاسخ‌ها

متغیر تصادفی (گسسته)

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

متغیر تصادفی (گسسته)

تعریف متغیرهای تصادفی گسسته

تابع توزیع احتمال گسسته

تعریف تابع توزیع احتمال

تابع توزیع تجمعی $X$

توزیع برنولی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

احتمالات

متغیر تصادفی (گسسته)

تعریف متغیرهای تصادفی گسسته

تابع توزیع احتمال گسسته

تعریف تابع توزیع احتمال

تابع توزیع تجمعی X

توزیع برنولی

تابع توزیع تجمعی $X$