احتمال (فضای نمونه پیوسته)

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مدل احتمال روی فضای نمونه پیوسته نامتناهی غیر قابل شمارش را فرموله می‌کنیم.

در این حالت فضای نمونه به‌صورت $S = [a, b]$ از اعداد حقیقی (یا سطح در صفحه دو بعدی، یا حجم در فضای سه بعدی و ...) می‌باشد.

در این فضا هر پیشامد به‌صورت یک زیر فاصله یا اجتماعی از زیر فاصله‌ها (یا یک زیر سطح در صفحه دو بعدی یا یک زیر حجم از فضای سه بعدی و ... ) می‌باشد.

احتمال هر پیشامد $A$ در این فضای نمونه به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

تمرین

از داخل فاصله اعداد حقیقی $1$ تا $4$ عددی را به تصادف انتخاب می‌کنیم، مطلوب است:

تعیین احتمال این‌که عدد انتخابی در فاصله $[2, 3 / 5]$ باشد.

فضای نمونه این آزمایش تصادفی $S = [1, 4]$ است.

$P (A)$ مساوی است با طول فاصله $A$ به طول فاصله $S$ :

$P (A) = \frac{3 / 5 - 2}{4 - 1} = \frac{1 / 5}{3} = \frac{1}{2}$

تعیین احتمال این‌که عدد انتخابی دقیقا عدد $2$ باشد.

$P (B)$ مساوی است با طول فاصله $B$ به طول فاصله $S$ :

$\{\begin{cases} B = \{2\} \\ C = (2 - ε, 2 + ε) \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} P (C) = \frac{(2 + ε) - (2 - ε)}{4 - 1} = \frac{2 ε}{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} P (B) = \lim_{ε \to 0} P (C) = \lim_{ε \to 0} \frac{2 ε}{3} = \frac{0}{3} = 0 \end{array}$

این بدان معنا است که احتمال انتخاب عدد $2$ از بین بی‌نهایت نقطه در فاصله $[1, 4]$ صفر است.

به‌طور کلی احتمال هر پیشامد تک عضوی در یک فضای نمونه پیوسته صفر است.

تمرین

از داخل دایره‌ای به‌شعاع $R$ نقطه‌ای به‌تصادف انتخاب می‌کنیم:

احتمال این‌که نقطه انتخابی روی دایره‌ای با نصف شعاع $R$ واقع شود، چقدر است؟

مدل احتمال فضای نمونه پیوسته - پیمان گردلو

فضای نمونه، مساحت دایره‌ای به‌شعاع $R$ یعنی $S = π R^{2}$ می‌باشد.

$A$ پیشامد این‌که نقطه انتخابی روی دایره‌ای با نصف شعاع $R$ واقع شود.

$A = π {(\frac{R}{2})}^{2}$

$P (A)$ مساوی است با سطح $A$ به سطح $S$ :

$P (A) = \frac{π {(\frac{R}{2})}^{2}}{π R^{2}} = \frac{1}{4}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات