احتمال (فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش‌ پذیر)

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

احتمال فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش پذیر

مدل احتمال روی فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش پذیر را فرموله می‌کنیم.

در این حالت فضای نمونه یک مجموعه شمارش پذیر مانند $S = \{e_{1}, ..., e_{n}, ...\}$ که به هر یک از نقاط $e_{i}$ احتمالات $0 \leq P_{i} \leq 1$ را به‌گونه‌ای نسبت می‌دهیم که:

$\sum_{i = 1}^{+ \infty} P_{i} = 1$

در این فضا هر پیشامد، زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است، احتمال هر پیشامد مانند حالت فضای نمونه متناهی محاسبه می‌شود.

تمرین

سکه‌ای را آن‌قدر پرتاب می‌کنیم تا اولین شیر را مشاهده کنیم، سپس پرتاب‌ها را متوقف می‌سازیم.

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

احتمال فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش پذیر - پیمان گردلو

$\sum_{i = 1}^{+ \infty} P_{i} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 1 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

احتمال این‌که تعداد فردی پرتاب لازم باشد، چقدر است؟

A پیشامد این‌که تعداد فردی پرتاب لازم باشد:

$A = \{H, T T H, T T T T H, ...\}$

در دنباله هندسی $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ می‌باشد:

$P (A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ... = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}$

احتمال این‌که حداقل $5$ پرتاب لازم باشد، چقدر است؟

$B$ پیشامد این‌که حداقل $5$ پرتاب لازم باشد:

$\begin{array}{l} B = \{T T T T H, T T T T T H, ...\} \end{array}$

$\begin{array}{l} P (B) = \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ... = \frac{\frac{1}{32}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{16} \end{array}$

تمرین

اگر $. . . ., O_{3}, O_{2}, O_{1}$ دنباله‌ای نامتناهی از برآمدهای یک آزمایش مفروض باشد، تحقیق کنید که تساوی زیر واقعا یک اندازه احتمال است.

$P (O_{i}) = {(\frac{1}{2})}^{i}; i = 1, 2, 3, ...$

چون احتمال ها همگی مثبت‌اند، فقط باید نشان می‌دهیم که $P (S) = 1$ است.

$P (S) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...$

اگر فرمول تعیین مجموع جملات یک دنباله هندسی را به‌کار بریم، داریم:

$P (S) = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

تمرین

سکه‌ای را $6$ مرتبه پرتاب می‌کنیم، احتمال آوردن حداقل یک شیر چقدر است؟

فصای نمونه این آزمایش تصادفی به‌صورت زیر است:

$S = \{H H H H H H, ..., T T T T T T\} \Rightarrow n (S) = 2^{6} = 64$

$A$ پیشامد این‌که حداقل یک شیر ظاهر شود: (فقط $T T T T T T$ عضو مجموعه نیست)

$\begin{array}{l} n (A) = 63 \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{63}{64} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

احتمال (فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش‌ پذیر)

احتمال فضای نمونه گسسته نامتناهی و شمارش پذیر

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟