رادیكال مركب

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:
بازدید: 70 مرتبه

فرض كنیم A,B>0 دو عدد حقیقی باشند، هر عبارت به صورت A±B را یک رادیكال مركب گویند.

منظور از ساده کردن یک رادیکال مرکب، نوشتن آن به‌صورت زیر است.

x±y

تبدیل رادیکال‌های مرکب به رادیکال ساده

قضیه

رادیکال‌های مرکب A±B با توجه به فرمول‌های زیر، به رادیکال‌های ساده تبدیل می‌شوند:

A+B=A+C2+AC2AB=A+C2AC2

عدد ثابت C در فرمول‌های بالا از C=A2B به‌دست می‌آید.

اثبات

رادیکال مرکب A+B با فرض آن‌که A2-B مربع کامل باشد و با در نظر گرفتن C=A2B می‌خواهیم ثابت کنیم:

A+B=A+C2+AC2

فرض کنیم A+B=x+y و xy باشد:

A+B=x+yA+B2=x+y2A+B=x+y+2xyA+B=x+y+4xy

با مقایسه طرفین این تساوی:

x+y=A4xy=B  x+y2=A2A2=x2+2xy+y2

if   C=A2BC2=A2BC2=x2+y2+2xy4xyC2=x2+y22xyC2=xy2C=xy      ;    if  xyxy=C

xy=Cx+y=A  x=A+C2y=AC2A+B=x+y=A+C2+AC2

هم‌چنین می‌توان ثابت کرد:

AB=A+C2AC2

دریافت مثال

نکته

اعداد گنگ یا اصم

هر عدد را که شامل یک یا چند ریشگی و غیر قابل تبدیل به عدد گویا باشد، عدد گنگ یا اصم می‌نامیم، مانند:

5,3  ,  2

هر دو عدد به صورت xy,x+y را اعداد گنگ مزدوج گوییم.

تذکر

هرگاه دو عبارت شامل جزء‌های گویا و گنگ باشند، شرط لازم و کافی برای آن‌که دو عبارت مساوی باشند آن است که اجزاء گویا با هم و اجزای گنگ نظیر نیز با هم برابر باشند.

if   x+y=x'+y'x=x'y=y'if   x+y+z3=x'+y'+z'3x=x'  ,  y=y'  ,  z=z'


اگر بخواهیم یک رادیکال مرکب مانند رادیکال زیر را به‌صورت حاصل جمع چند رادیکال ساده بنویسیم:  

x+aym+bzk+...n

آن را مساوی عبارتی مانند عبارت زیر قرار داده و طرفین را به توان n می‌رسانیم، پس از مساوی قرار دادن اجزاء گنگ و گویای متناظر، مقادیر ...,b',a',x' را پیدا می‌کنیم. 

x'+a'ym+b'zk

نکته

تبدیل رادیکال‌های A+BCmn به رادیکال ساده

برای تبدیل چنین رادیکال‌هایی در صورت امکان می‌توان از روش ضرایب نامعین استفاده کرد، بدین ترتیب که نتیجه آن را برابر α+βCm می‌گیریم و با هم متحد قرار می‌دهیم.

در حالتی که برای β,α جواب‌های گویا وجود داشته باشد، رادیکال قابل تبدیل است. 

تمرین

رادیکال‌های مرکب زیر را با استفاده از روش ضرایب نامعین به رادیکال ساده تبدیل می‌کنیم:

38+1753

38+1753=α+β538+175=α+β5338+175=α3+15αβ2+3α2β+5β35αα2+15β2=38β3α2+5β2=17=1×17


17 عددی اول است، بنابراین تنها می‌توان به صورت 1×17 نوشته شود، بنابراین داریم:

β3α2+5β2=17=1×17β=13α2+5β2=17α=2


این مقادیر در معادله اول دستگاه هم صدق می‌کنند، بنابراین خواهیم داشت:

38+1753=2+5

75443

75443=752243=7523


فرض کنیم عبارت به جمع جبری دو عبارت زیر تبدیل می‌شود. 

7523=x+y275233=x+y23752=x3+3x2y2+6xy2+2y32752=x3+6xy2+3x2y+2y32


از مقایسه دو طرف مساوی، دستگاه زیر به‌دست می‌آید:

x3+6xy2=73x2y+2y3=5  xx2+6y2=1×7y3x2+2y2=1×5


اگر y,x عددهای درست باشند، آنگاه x=1y=-1 می‌توانند جوب باشد. این مقادیر در دستگاه صدق می‌کنند، پس:

75443=12

تذکر

استفاده از تبدیل‌های اتحادی و جذر گرفتن

در مواردی که نتوان از روش‌های مذکور برای تبدیل رادیکال مرکب به رایکال ساده استفاده کرد، باید تلاش را در جهت تجزیه زیر رادیکال و یا در مواردی که فرجه زوج است، یا جذر گرفتن از آن گذاشت.

تمرین

عبارت زیر را ساده می‌کنیم:

A=4xx34xx2y3+x2y23+y44y2x23+2xy2y3

برای سهولت کار فرض می‌کنیم:

x3=ax=a3y3=by=b3

A=4a3a334a3a32b33+a32b323+b344b32a323+2a3b32b33=4a44a5b+a6b2+b124a2b6+2a3b7=a6b24a5b+4a4+2a3b74a2b6+b12=a3b2a2+b62=a3b2a2+b6=xy32x23+y2

مثال‌ها و جواب‌ها

رادیكال مركب

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید