سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

رادیكال مركب

آخرین ویرایش: 17 آبان 1403

دسته‌بندی: رادیکال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

فرض كنیم $A, B > 0$ دو عدد حقیقی باشند، هر عبارت به صورت $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ را یک رادیكال مركب گویند.

منظور از ساده کردن یک رادیکال مرکب، نوشتن آن به‌صورت زیر است.

$\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$

تبدیل رادیکال‌های مرکب به رادیکال ساده

قضیه

رادیکال‌های مرکب $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ با توجه به فرمول‌های زیر، به رادیکال‌های ساده تبدیل می‌شوند:

$\begin{array}{l} \sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} + \sqrt{\frac{A - C}{2}} \\ \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} - \sqrt{\frac{A - C}{2}} \end{array}$

عدد ثابت $C$ در فرمول‌های بالا از $C = \sqrt{A^{2} - B}$ به‌دست می‌آید.

اثبات

رادیکال مرکب $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ با فرض آن‌که $A^{2} - B$ مربع کامل باشد و با در نظر گرفتن $C = \sqrt{A^{2} - B}$ می‌خواهیم ثابت کنیم:

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} + \sqrt{\frac{A - C}{2}}$

فرض کنیم $\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ و $x \geq y$ باشد:

$\begin{array}{l} \sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \\ \Rightarrow {(\sqrt{A + \sqrt{B}})}^{2} = {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2} \\ \Rightarrow A + \sqrt{B} = x + y + 2 \sqrt{x y} \\ \Rightarrow A + \sqrt{B} = (x + y) + \sqrt{4 x y} \end{array}$

با مقایسه طرفین این تساوی:

$\{\begin{cases} x + y = A \\ 4 x y = B \end{cases}〉 {(x + y)}^{2} = A^{2} \Rightarrow A^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

$\begin{array}{l} i f C = \sqrt{A^{2} - B} \\ \Rightarrow C^{2} = A^{2} - B \\ \Rightarrow C^{2} = (x^{2} + y^{2} + 2 x y) - 4 x y \\ \Rightarrow C^{2} = (x^{2} + y^{2} - 2 x y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C^{2} = {(x - y)}^{2} \\ \Rightarrow C = |x - y|; i f x \geq y \\ \Rightarrow x - y = C \end{array}$

$\{\begin{cases} x - y = C \\ x + y = A \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = \frac{A + C}{2} \\ y = \frac{A - C}{2} \end{cases}〉 \sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} + \sqrt{\frac{A - C}{2}}$

هم‌چنین می‌توان ثابت کرد:

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} - \sqrt{\frac{A - C}{2}}$

تمرین

راديكال های مركب زير را ساده كنيد.

$\begin{array}{l} \sqrt{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} A = 2, B = 3 \overset{C = \sqrt{A^{2} - B}}{\to} C = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} + \sqrt{\frac{A - C}{2}} \end{array}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

$\begin{array}{l} \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 - \sqrt{4^{2} \times 3}} = \sqrt{7 - \sqrt{48}} \end{array}$

$\begin{array}{l} A = 7, B = 48 \overset{C = \sqrt{A^{2} - B}}{\to} C = \sqrt{49 - 48} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} - \sqrt{\frac{A - C}{2}} \end{array}$

$\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{\frac{7 + 1}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 1}{2}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$

$\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} C^{2} = 4^{2} - 7 = 16 - 7 = 9 \overset{C > 0}{\to} C = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 2}{2 \times 2}} + \sqrt{\frac{1 \times 2}{2 \times 2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{2} = (\frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} = 0$

نکته

برای ساده کردن رادیکال مرکب به‌فرم زیر، داریم:

$\sqrt{A + B \sqrt{C}}$

فرض کنید می‌خواهیم رادیکال مرکب زیر را ساده کنیم:

$\sqrt{24 + 6 \sqrt{7}}$

ابتدا ضریب $\sqrt{7}$ یعنی عدد $6$ را به‌نحوی تبدیل به عدد $(2)$ می‌کنیم:

$\sqrt{24 + 6 \sqrt{7}} = \sqrt{24 + (2 \times 3) \sqrt{7}} = \sqrt{24 + 2 \sqrt{3^{2} \times 7}} = \sqrt{24 + 2 \sqrt{63}}$

دو رادیکال در نظر می‌گیریم و بینشان علامت داخل رادیکال را قرار می‌دهیم:

$\sqrt{24 + 2 \sqrt{63}} = \sqrt{.} + \sqrt{.}$

به دنباله دو عدد می‌گردیم که ضربشان عدد $63$ و جمعشان عدد $24$ باشد.

$\{\begin{cases} 21 \times 3 = 63 \\ 21 + 3 = 24 \end{cases}$

عدد بزرگ تر یعنی $(21)$ را زیر رادیکال اولی و عدد کوچکتر یعنی $(3)$ را زیر رادیکال دومی قرار می‌دهیم:

$\sqrt{24 + 2 \sqrt{63}} = \sqrt{21} + \sqrt{3}$

تمرین

رادیکال های مرکب زیر را ساده کنید.

$\sqrt{7 + \sqrt{45}}$

$\begin{array}{l} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{7 + \sqrt{45}}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{14 + 2 \sqrt{45}}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{9} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}} \end{array}$

$\sqrt{2 x + 3 - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 x + 3 - 2 \sqrt{x (x + 3)}} \\ = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اعداد گنگ یا اصم

هر عدد را که شامل یک یا چند ریشگی و غیر قابل تبدیل به عدد گویا باشد، عدد گنگ یا اصم می‌نامیم، مانند:

$\sqrt{5}, - \sqrt{3}, \sqrt{2}$

هر دو عدد به صورت $(\sqrt{x} - \sqrt{y}), (\sqrt{x} + \sqrt{y})$ را اعداد گنگ مزدوج گوییم.

تذکر

هرگاه دو عبارت شامل جزء‌های گویا و گنگ باشند، شرط لازم و کافی برای آن‌که دو عبارت مساوی باشند آن است که اجزاء گویا با هم و اجزای گنگ نظیر نیز با هم برابر باشند.

$\begin{array}{l} i f x + \sqrt{y} = x^{'} + \sqrt{y^{'}} \Rightarrow \{\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \end{cases} \end{array}$

$i f x + \sqrt{y} + \sqrt[3]{z} = x^{'} + \sqrt{y^{'}} + \sqrt[3]{z^{'}} \Rightarrow x = x^{'}, y = y^{'}, z = z^{'}$

اگر بخواهیم یک رادیکال مرکب مانند رادیکال زیر را به‌صورت حاصل جمع چند رادیکال ساده بنویسیم:

$\sqrt[n]{x + a \sqrt[m]{y} + b \sqrt[k]{z} + ...}$

آن را مساوی عبارتی مانند عبارت زیر قرار داده و طرفین را به توان $n$ می‌رسانیم، پس از مساوی قرار دادن اجزاء گنگ و گویای متناظر، مقادیر $..., b^{'}, a^{'}, x^{'}$ را پیدا می‌کنیم.

$x^{'} + a^{'} \sqrt[m]{y} + b^{'} \sqrt[k]{z}$

نکته

تبدیل رادیکال‌های $\sqrt[n]{A + B \sqrt[m]{C}}$ به رادیکال ساده

برای تبدیل چنین رادیکال‌هایی در صورت امکان می‌توان از روش ضرایب نامعین استفاده کرد، بدین ترتیب که نتیجه آن را برابر $α + β \sqrt[m]{C}$ می‌گیریم و با هم متحد قرار می‌دهیم.

در حالتی که برای $β, α$ جواب‌های گویا وجود داشته باشد، رادیکال قابل تبدیل است.

تمرین

رادیکال‌های مرکب زیر را با استفاده از روش ضرایب نامعین به رادیکال ساده تبدیل می‌کنیم:

$\sqrt[3]{38 + 17 \sqrt{5}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{38 + 17 \sqrt{5}} = α + β \sqrt{5} \\ \Rightarrow 38 + 17 \sqrt{5} = {(α + β \sqrt{5})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 38 + 17 \sqrt{5} = (α^{3} + 15 α β^{2}) + (3 α^{2} β + 5 β^{3}) \sqrt{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} α (α^{2} + 15 β^{2}) = 38 \\ β (3 α^{2} + 5 β^{2}) = 17 = 1 \times 17 \end{cases} \end{array}$

$17$ عددی اول است، بنابراین تنها می‌توان به صورت $1 \times 17$ نوشته شود، بنابراین داریم:

$β (3 α^{2} + 5 β^{2}) = 17 = 1 \times 17 \Rightarrow \{\begin{cases} β = 1 \\ 3 α^{2} + 5 β^{2} = 17 \end{cases}〉 α = 2$

این مقادیر در معادله اول دستگاه هم صدق می‌کنند، بنابراین خواهیم داشت:

$\sqrt[3]{38 + 17 \sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}$

$\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt[4]{4}}$

$\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt[4]{4}} = \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt[4]{2^{2}}} = \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}}$

فرض کنیم عبارت به جمع جبری دو عبارت زیر تبدیل می‌شود.

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}} = x + y \sqrt{2} \\ \Rightarrow {(\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt{2}})}^{3} = {(x + y \sqrt{2})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 7 - 5 \sqrt{2} = x^{3} + 3 x^{2} y \sqrt{2} + 6 x y^{2} + 2 y^{3} \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 7 - 5 \sqrt{2} = x^{3} + 6 x y^{2} + (3 x^{2} y + 2 y^{3}) \sqrt{2} \end{array}$

از مقایسه دو طرف مساوی، دستگاه زیر به‌دست می‌آید:

$\{\begin{cases} x^{3} + 6 x y^{2} = 7 \\ 3 x^{2} y + 2 y^{3} = - 5 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x (x^{2} + 6 y^{2}) = 1 \times 7 \\ y (3 x^{2} + 2 y^{2}) = (- 1) \times 5 \end{cases}$

اگر $y, x$ عددهای درست باشند، آنگاه $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ می‌توانند جوب باشد. این مقادیر در دستگاه صدق می‌کنند، پس:

$\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt[4]{4}} = 1 - \sqrt{2}$

تذکر

استفاده از تبدیل‌های اتحادی و جذر گرفتن

در مواردی که نتوان از روش‌های مذکور برای تبدیل رادیکال مرکب به رایکال ساده استفاده کرد، باید تلاش را در جهت تجزیه زیر رادیکال و یا در مواردی که فرجه زوج است، یا جذر گرفتن از آن گذاشت.

تمرین

عبارت زیر را ساده می‌کنیم:

$A = \sqrt{4 x \sqrt[3]{x} - 4 x \sqrt[3]{x^{2} y} + x^{2} \sqrt[3]{y^{2}} + y^{4} - 4 y^{2} \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x y^{2} \sqrt[3]{y}}$

برای سهولت کار فرض می‌کنیم:

$\{\begin{cases} \sqrt[3]{x} = a \Rightarrow x = a^{3} \\ \sqrt[3]{y} = b \Rightarrow y = b^{3} \end{cases}$

$\begin{array}{l} A = \sqrt{4 (a^{3}) \sqrt[3]{a^{3}} - 4 a^{3} \sqrt[3]{{(a^{3})}^{2} b^{3}} + {(a^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(b^{3})}^{2}} + {(b^{3})}^{4} - 4 {(b^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(a^{3})}^{2}} + 2 a^{3} {(b^{3})}^{2} \sqrt[3]{b^{3}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{4 a^{4} - 4 a^{5} b + a^{6} b^{2} + b^{12} - 4 a^{2} b^{6} + 2 a^{3} b^{7}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{a^{6} b^{2} - 4 a^{5} b + 4 a^{4} + 2 a^{3} b^{7} - 4 a^{2} b^{6} + b^{12}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{{(a^{3} b - 2 a^{2} + b^{6})}^{2}} \\ = |a^{3} b - 2 a^{2} + b^{6}| \\ = |x \sqrt[3]{y} - 2 \sqrt[3]{x^{2}} + y^{2}| \end{array}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

نسبت $\sqrt{15}$ به عدد زیر برابر کدام گزینه است؟

$\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} + \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3}$
$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مقدار عبارت رادیکالی زیر کدام گزینه است؟

$\sqrt[3]{\sqrt{50} + 7} - \sqrt[3]{\sqrt{50} - 7}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

المپیاد ریاضی

مقدار عبارت رادیکالی زیر کدام گزینه است؟

$\sqrt[6]{99 + 70 \sqrt{2}}$

$1 + \sqrt{2}$
$2 + \sqrt{3}$
$4$
$4 + \sqrt{5}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

رادیكال مركب

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

رادیکال

رادیكال مركب

مقدمه

تبدیل رادیکال‌های مرکب به رادیکال ساده

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟