سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

قانون سوم رادیکال

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: رادیکال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

خارج کردن عدد از زیر رادیکال، وارد کردن عدد به زیر رادیکال

اگر $n$ زوج باشد ، $a$ و $b$ اعداد غیر منفی باشند، آن‌گاه:

$a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^{n} b}$

اثبات

$a \sqrt[n]{b}$

$= a \times b^{\frac{1}{n}}$

$= a^{\frac{n}{n}} \times b^{\frac{1}{n}}$

$= {(a^{n})}^{\frac{1}{n}} \times b^{\frac{1}{n}}$

$= {(a^{n} \times b)}^{\frac{1}{n}}$

$= \sqrt[n]{a^{n} b}$

نکته

اگر $n$ فرد باشد، به‌ازای هر دو عدد حقیقی $a$ و $b$ داریم:

$a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^{n} b}$

اگر $n$ زوج باشد و $a$ عددی منفی باشد و بخواهیم $a$ را زیر رادیکال ببریم، باید جلوی رادیکال یک منفی قرار دهیم:

$i f a < 0; \{\begin{cases} a \sqrt[n]{b} = - \sqrt[n]{a^{n} b} \\ \sqrt[n]{a^{n} b} = |a| \sqrt[n]{b} = - a \sqrt[n]{b} \end{cases}$

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$\sqrt{2} \times \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{32}$

$\begin{array}{l} \sqrt{2} \times \sqrt[4]{8} \\ = \sqrt[4]{{(\sqrt{2})}^{4} \times 8} \\ = \sqrt[4]{\sqrt{2^{4}} \times 8} \\ = \sqrt[4]{\sqrt{16} \times 8} \\ = \sqrt[4]{4 \times 8} \\ = \sqrt[4]{32} \end{array}$

$- 2 \sqrt{3} = - \sqrt{12}$

$\begin{array}{l} - 2 \sqrt{3} \\ = - (2 \sqrt{3}) \\ = - (\sqrt{2^{2} \times 3}) \\ = - (\sqrt{4 \times 3}) \\ = - \sqrt{12} \end{array}$

$\sqrt[4]{32 x^{9} y^{5} z^{12}} = 2 x^{2} y z^{3} \sqrt[4]{2 x y}$

$\sqrt[4]{32 x^{9} y^{5} z^{12}}$

$= \sqrt[4]{16 x^{8} y^{4} z^{12} (2 x y)}$

$= \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}} \sqrt[4]{y^{4}} \sqrt[4]{{(z^{3})}^{4}} \sqrt[4]{2 x y}$

$= 2 x^{2} y z^{3} \sqrt[4]{2 x y}$

$\sqrt[5]{x^{12} y^{4} z^{24}} = x^{2} z^{4} \sqrt[5]{x^{2} y^{4} z^{4}}$

$\sqrt[5]{x^{12} y^{4} z^{24}}$

$= \sqrt[5]{x^{10} z^{20} (x^{2} y^{4} z^{4})}$

$= \sqrt[5]{{(x^{2})}^{5}} \sqrt[5]{{(z^{4})}^{5}} \sqrt[5]{x^{2} y^{4} z^{4}}$

$= x^{2} z^{4} \sqrt[5]{x^{2} y^{4} z^{4}}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{64} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[5]{2} \\ = \sqrt[5]{2^{5} \times 2} \\ = \sqrt[5]{32 \times 2} \\ = \sqrt[5]{64} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{24} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{3} \\ = \sqrt[3]{2^{3} \times 3} \\ = \sqrt[3]{8 \times 3} \\ = \sqrt[3]{24} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{243} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 \sqrt[4]{3} \\ = \sqrt[4]{3^{4} \times 3} \\ = \sqrt[4]{81 \times 3} \\ = \sqrt[4]{243} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 5 \sqrt{2} = - \sqrt{50} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 5 \sqrt{2} \\ = - (5 \sqrt{2}) \\ = - (\sqrt{5^{2} \times 2}) \\ = - \sqrt{25 \times 2} \\ = - \sqrt{50} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 2 \sqrt[4]{3} = - \sqrt[4]{48} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 2 \sqrt[4]{3} \\ = - (2 \sqrt[4]{3}) \\ = - (\sqrt[4]{2^{4} \times 3}) \\ = - \sqrt[4]{16 \times 3} \\ = - \sqrt[4]{48} \end{array}$

$\begin{array}{l} x \sqrt[5]{x^{3}} = \sqrt[5]{x^{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x \sqrt[5]{x^{3}} \\ = \sqrt[5]{x^{5} x^{3}} \\ = \sqrt[5]{x^{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x y^{2} \sqrt[7]{x^{3} y^{4}} = \sqrt[7]{x^{10} y^{18}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x y^{2} \sqrt[7]{x^{3} y^{4}} \\ = \sqrt[7]{{(x y^{2})}^{7} x^{3} y^{4}} \\ = \sqrt[7]{x^{7} y^{14} x^{3} y^{4}} \\ = \sqrt[7]{x^{10} y^{18}} \end{array}$

$\begin{array}{l} - a^{2} \sqrt[4]{2 a^{2}} = - \sqrt[4]{2 \times a^{10}} \end{array}$

$\begin{array}{l} - a^{2} \sqrt[4]{2 a^{2}} \\ = - (a^{2} \sqrt[4]{2 a^{2}}) \\ = - \sqrt[4]{{(a^{2})}^{4} \times 2 a^{2}} \\ = - \sqrt[4]{2 a^{8} a^{2}} \\ = - \sqrt[4]{2 \times a^{10}} \end{array}$

تمرین

کدام‌یک از اعداد زیر از دیگری بزرگ‌تر است؟

$\{\begin{cases} 2^{\sqrt{7}} \\ 3^{\frac{13}{8}} \end{cases}$

$\begin{array}{l} 3 \sqrt{7} = \sqrt{3^{2} \times 7} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \sqrt{7} = \sqrt{63} < 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \sqrt{7} < 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 \sqrt{7}) \times \sqrt{7} < 8 \times \sqrt{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 21 < 8 \times \sqrt{7} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} {(21)}^{2} < {(8 \sqrt{7})}^{2} \Rightarrow 441 < 448 \\ \sqrt{7} > \frac{21}{8} \Rightarrow 2^{\sqrt{7}} > 2^{\frac{21}{8}} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2^{21} = 2 / 097 / 152 \\ 3^{13} = 1 / 594 / 323 \end{cases}〉 2^{21} > 3^{13} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2^{21} > 3^{13} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2^{21})}^{\frac{1}{8}} > {(3^{13})}^{\frac{1}{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{\frac{21}{8}} > 3^{\frac{13}{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{\sqrt{7}} > 2^{\frac{21}{8}} > 3^{\frac{13}{8}} \end{array}$

$\Rightarrow 2^{\sqrt{7}} > 3^{\frac{13}{8}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

قانون سوم

2,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

رادیکال

قانون سوم رادیکال

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟