سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

قدرمطلق و رادیکال

آخرین ویرایش: 10 بهمن 1402

دسته‌بندی: رادیکال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر $a$ عددی حقیقی باشد، $\sqrt{a^{2}}$ را قدرمطلق $a$ نامیده و با نماد $|a|$ نشان می‌دهند.

$\sqrt{a^{2}} = |a| = \{\begin{cases} a; a \geq 0 \\ - a; a < 0 \end{cases}$

درستی تساوی $\sqrt{a^{2}} = |a|$ را به‌ازای چند مقدار مثبت یا منفی برای $a$ بررسی می‌کنیم:

$a = 3 \Rightarrow \{\begin{array}{l} \sqrt{a^{2}} = \sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ |a| = |3| = 3 \end{array}〉 \sqrt{a^{2}} = |a|$

$a = - 2 \Rightarrow \{\begin{array}{l} \sqrt{a^{2}} = \sqrt{{(- 2)}^{2}} = \sqrt{4} = 2 \\ |a| = |- 2| = 2 \end{array}〉 \sqrt{a^{2}} = |a|$

تمرین

حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

$\sqrt[]{8^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{8^{2}} \\ = |8| \\ = + (8) \\ = 8 \end{array}$

$\sqrt[]{{(- 6)}^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{{(- 6)}^{2}} \\ = |- 6| \\ = - (- 6) \\ = 6 \end{array}$

$\sqrt[]{{(- \frac{3}{5})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{{(- \frac{3}{5})}^{2}} \\ = |- \frac{3}{5}| \\ = - (- \frac{3}{5}) \\ = \frac{3}{5} \end{array}$

$\sqrt[]{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} \\ = |1 - \sqrt{2}| \\ = - (1 - \sqrt{2}) \\ = \sqrt{2} - 1 \end{array}$

$\sqrt[]{{(2 - 9)}^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{{(2 - 9)}^{2}} \\ = |2 - 9| \\ = - (2 - 9) \\ = 9 - 2 \\ = 7 \end{array}$

$\sqrt[]{{(1 - \frac{1}{3})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[]{{(1 - \frac{1}{3})}^{2}} \\ = |1 - \frac{1}{3}| \\ = + (1 - \frac{1}{3}) \\ = \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} |- 7 x^{5}| |2 x| \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = |- 7 x^{5}| |2 x| |- 2 x^{2}| \\ = |- 7| |x^{5}| |2| |x| |- 2| |x^{2}| \\ = 7 \times 2 \times 2 |x^{5} x x^{2}| \\ = 28 |x^{8}| \\ = 28 x^{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{|1 - x^{4}|}{|x^{2} + 1|} - |x^{2} - 1| \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{|1 - x^{4}| - |x^{2} + 1| |x^{2} - 1|}{|x^{2} + 1|} \\ = \frac{|1 - x^{4}| - |(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)|}{|x^{2} + 1|} \\ = \frac{|1 - x^{4}| - |x^{4} - 1|}{|x^{2} + 1|} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{|1 - x^{4}| - |1 - x^{4}|}{|x^{2} + 1|} \\ = \frac{0}{|x^{2} + 1|} \\ = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{|- 2|}{|x^{5}|} \frac{|- x^{4}|}{|2|} |- x| \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2}{|x^{5}|} \frac{x^{4}}{2} |x| \frac{1}{|x|} \\ = \frac{x^{4}}{|x^{5}|} \\ = \frac{|x^{4}|}{|x^{5}|} \\ = \frac{1}{|x|} \end{array}$

نکته

تساوی $\sqrt{x^{2}} = {(\sqrt{x})}^{2}$ به ازای $x \geq 0$ همیشه درست است:

$\{\begin{cases} \sqrt{x^{2}} = |x| \overset{x \geq 0}{\to} \sqrt{x^{2}} = x \\ {(\sqrt{x})}^{2} = (\sqrt{x}) (\sqrt{x}) = \sqrt{x^{2}} = |x| \overset{x \geq 0}{\to} {(\sqrt{x})}^{2} = x \end{cases}〉 \sqrt{x^{2}} = {(\sqrt{x})}^{2}; x \geq 0$

برای هر $a$ و $b$ حقیقی، همیشه داریم:

$\begin{array}{l} \sqrt{{(a b)}^{2}} = \sqrt{a^{2} b^{2}} \Rightarrow \sqrt{{(a b)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} . \sqrt{b^{2}} \Rightarrow |a . b| = |a| . |b| \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}} \Rightarrow \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}} \Rightarrow |\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|} \end{array}$

$\sqrt{a^{2 n}} = \sqrt{{(a^{n})}^{2}} \Rightarrow \sqrt{a^{2 n}} = {(\sqrt{a^{2}})}^{n} \Rightarrow |a^{n}| = {|a|}^{n}; n \in N$

تمرین

حاصل عبارت $\sqrt[]{x^{2}} + \sqrt{y^{2}}$ را در هر یک از حالات زیر به‌دست آورید.

$(x > 0, y > 0)$

$\sqrt{x^{2}} + \sqrt{y^{2}} = |x| + |y| = x + y$

$(x > 0, y < 0)$

$\sqrt{x^{2}} + \sqrt{y^{2}} = |x| + |y| = x + (- y) = x - y$

$(x < 0, y > 0)$

$\sqrt{x^{2}} + \sqrt{y^{2}} = |x| + |y| = (- x) + y = y - x$

$(x < 0, y < 0)$

$\sqrt{x^{2}} + \sqrt{y^{2}} = |x| + |y| = (- x) + (- y) = - (x + y)$

تمرین

تساوی های زير به‌ازای چه مقدار حقيقی $x$ همواره درست است.

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- x)}^{2}} = - x \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- x)}^{2}} \\ = |- x| \\ = |x|; i f x \leq 0 \\ = - x \end{array}$

به ازای $x \leq 0$ تساوی درست است.

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- x^{4})}^{2}} = x^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{{(- x^{4})}^{2}} \\ = |- x^{4}| \\ = |x^{4}| \\ = x^{4} \end{array}$

به ازای $x \in R$ تساوی درست است.

$x \sqrt{x^{2}} . \sqrt{x^{4}} = x^{4}$

$\begin{array}{l} x \sqrt{x^{2}} \sqrt{x^{4}} \\ = x |x| |x^{2}| \\ = x x^{2} |x|; i f x \geq 0 \\ = x x^{2} (x) \\ = x^{4} \end{array}$

به ازای $x \geq 0$ تساوی درست است.

تمرین

اگر $y < 0, x > 0$ باشد، حاصل زیر را ساده می‌کنیم و آن را بدون قدرمطلق می‌نویسیم:

$\sqrt{x^{2}} - \sqrt{y^{2}}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2}} - \sqrt{y^{2}} \\ = |x| - |y|; x > 0, y < 0 \\ = + (x) - (- y) \\ = x + y \end{array}$

اگر $x < 0$ باشد، حاصل عبارت زیر را به‌دست می‌آوریم:

$2 \sqrt{x^{2}} - x$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{x^{2}} - x \\ = 2 |x| - x; x < 0 \\ = 2 (- x) - x \\ = - 3 x \end{array}$

شکل زیر یک مثلث متساوی‌الاضلاع را به ضلع $a$ را نشان می‌دهد. اندازه ارتفاع را بر حسب $a$ به‌دست می‌آوریم:

در مثلث قائم‌الزاویه $A B H$ طبق رابطه فیثاغورس داریم:

$\begin{array}{l} a^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} \\ \Rightarrow h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ \Rightarrow h^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \\ \Rightarrow h = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} \end{array}$