سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

دایره مثلثاتی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 63 مرتبه

تعریف دایره مثلثاتی

در صفحه مختصات ملاحظه شد که اگر P نقطه ای غیر از مبدا باشد، می‌توان نیم‌خط به راس مبدا مختصات را که از P می‌گذرد، اختیار کرده و برای زاویه‌ای که بین شعاع حامل نقطه P و جهت مثبت محور طول‌ها در جهت مثلثاتی ساخته می‌شود، نسبت‌های مثلثاتی را نوشت.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو   

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yrcosθ=OH¯OPcosθ=xrtanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxcotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xyr=OP=x2+y2

مهم‌ترین نکته‌ای که با آن برخوردیم این بود که فاصله نقطه P بر روی این نیم‌خط از نقطه O در محاسبات مهم نبود.

به این دلیل می‌توانیم P را طوری بر این نیم‌خط اختیار کنیم که داشته باشیم:

r=OP=1

از دوران کامل OP حول O دایره‌ای به شعاع واحد به‌دست می‌آید که آن را دایره مثلثاتی می‌نامند. 

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

بر روی این دایره، نقطه A را مبدا شروع کمان‌ها در نظر می‌گیریم.

اگر کمانی از نقطه A و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن کمان که با خود کمان برابر است، مثبت و اگر کمان از نقطه A و در جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن منفی در نظر گرفته می‌شود.  

در شکل θ عددی مثبت و α عددی منفی می‌باشد. در شکل فوق: 

  • B'0,1,A'1,0,B0,1,A1,0 است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه A شروع حرکت باشد، اندازه θ برابر 0 یا صفر رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه B باشد، اندازه θ برابر 90 یا π2 رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه A' باشد، اندازه θ برابر 180 یا π رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه B' باشد، اندازه θ برابر 270 یا 3π2 رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ یک دوران کامل انجام داده و به نقطه A رسیده باشد، اندازه θ برابر 360 یا 2π رادیان است.  

تمرین

در اشکال زیر تعدادی از زوایای مثبت و منفی در دایره مثلثاتی را مشاهده می‌کنید:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

تمرین

در اشکال زیر، مشخص می‌کنیم، زوایای مختلف در چه نواحی قرار گرفته است:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

الف) زاویه 270 در ناحیه مشخصی قرار ندارد و بین دو ناحیه سوم و چهارم قرار دارد.


ب) زاویه 225 در ناحیه سوم قرار دارد.


پ) زاویه -125 در ناحیه‌ سوم قرار دارد.


ت) زاویه 185 در ناحیه سوم قرار دارد.‌    

دریافت مثال

طول کمان

در دایره‌ای به شعاع r طول کمانی که اندازه زاویه مرکزی آن α رادیان باشد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

AB=α.r

در واقع طول یک کمان نسبت مستقیم با شعاع دایره و زاویه مرکزی روبرو بر حسب rad دارد.

با توجه به AB=α.r محیط یک دایره به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

=2πrمحیط دایره

نکته

در دایره، طول کمان روبرو به زاویه 1 rad مساوی شعاع دایره است و هر 1 rad تقریبا مساوی 57 است.  

Rπ=D1801π=D180D=180πD=1803/1457/32

دریافت مثال

مساحت قطاع دایره

قطاع، قسمتی از دایره است که بین دو شعاع دایره محصور است.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اگر مساحت دایره‌ای را به 360 قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر تیکه πr2360 می‌باشد، در واقع πr2 مساحت دایره است.

برای یافتن مساحت قطاع داریم:

S=πr2360×αS=πr2360×180παradS=r2α2rad

نکته

در دایره‌ای به شعاع r، مساحت قطاع α رادیان برابر با:  

S=12r2α

مساحت قطعه دایره  

قطعه قسمتی از دایره است که بین وتر و کمان مربوط به وتر محصور شده باشد. 

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اگر S1 قطاع دایره و S2 مساحت مثلث باشد، S مساحت قطعه، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

S=S1S2S=12r2α12OCODsinαS=12r2α12rrsinαS=12r2α12r2sinαS=12r2αsinα

دریافت مثال

نسبت‌های مثلثاتی یک زاویه در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی را که مرکز آن مبدا مختصات و A نقطه شروع کمان‌ها می‌باشد را در نظر بگیرید.

برای هر یک از نسبت‌های مثلثاتی، محوری اختصاص داده شده است.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

  • محور عمودی y'Oy محور سینوس‌ها است.
  • محور افقی x'Ox محور کسینوس‌ها است.
  • محور t'At که در نقطه A بر دایره مماس است، محور تانژانت‌ها است.
  • محور c'Bc که در نقطه B بر دایره مماس است، محور کتانژانت‌ها است.

در اشکال زیر نسبت‌های مثلثاتی زوایا در حالات مختلف نشان داده شده است، دایره را دایره مثلثاتی در نظر گرفته‌ایم:

ناحیه اول در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

نقطه M انتهای کمان مقابل به θ در ناحیه اول است:

sinθ   =OF¯>0cosθ=OH¯>0tanθ=AN¯>0cotθ=BP¯>0

فرض کنید M نقطه ای دل‌خواه بر محیط دایره به غیر از نقاط B',A',B,A باشد و θ زاویه‌ای باشد که شعاع OM با OA در جهت مثلثاتی می‌سازد.

شعاع OM را از طرف M امتداد داده‌ایم تا محور تانژانت ها و کتانژانت ها را به‌ترتیب در نقاط N و P قطع کند.

از M عمودهای MF و MH را به‌ترتیب بر محورهای سینوس و کسینوس فرود می‌آوریم.

ملاحظه می‌شود که:

sinθ=OF¯cosθ=OH¯tanθ=AN¯cotθ=BP¯

تساوی های بالا نشان می‌دهند که اگر M انتهای کمان مقابل به زاویه θ بوده و بخواهیم نسبت‌های مثلثاتی θ را بیابیم:

  • برای یافتن sinθ از M بر محور سینوس‌ها که محور عمودی است، عمود MF را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط OF را به عنوان sinθ می‌پذیریم. 
  • برای یافتن cosθ از M بر محور کسینوس‌ها که محور افقی است، عمود MH را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط OH را به عنوان cosθ می‌پذیریم. 
  • برای یافتن tanθ پاره خط OM را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور تانژانت‌ها یعنی محور t'At را در نقطه ای مانند N قطع کند و اندازه جبری پاره خط AN را به عنوان tanθ می‌پذیریم.   
  • برای یافتن cotθ پاره خط OM را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور کتانژانت‌ها یعنی محور c'Bc را در نقطه‌ای مانند P قطع کند و اندازه جبری پاره خط BP را به عنوان cotθ می‌پذیریم.   

ناحیه دوم در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

نقطه M انتهای کمان مقابل به θ در ناحیه دوم است:

sinθ=OF¯>0cosθ=OH¯<0tanθ=AN¯<0cotθ=BP¯<0

ناحیه سوم در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

نقطهMانتهای کمان مقابل بهθدر ناحیه سوم است:

sinθ=OF¯<0cosθ=OH¯<0tanθ=AN¯>0cotθ=BP¯>0

ناحیه چهارم در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

نقطهMانتهای کمان مقابل بهθدر ناحیه چهارم است:

sinθ=OF¯<0cosθ=OH¯>0tanθ=AN¯<0cotθ=BP¯<0

دریافت مثال

نکته

1- اگر M نقطه‌ای واقع بر محیط دایره مثلثاتی بوده و θ زاویه مقابل به کمان AM در جهت مثلثاتی بر حسب رادیان باشد، ممکن است متحرک از نقطه شروع حرکت یعنی A به اندازه یک دوران کامل طی کرده و سپس به نقطه M برسد، در این حالت مقدار زاویه 2π+θ است.  

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

ممکن است متحرک از نقطه شروع حرکت به اندازه دو دوران کامل طی کرده و سپس به نقطه M برسد، در این حالت مقدار زاویه 2×2π+θ=4π+θ است و .... در واقع زاویه به ازای k از فرمول زیر قابل محاسبه است.

2kπ+θ

هم‌چنین ممکن است متحرک ابتدا یک دوران کامل در خلاف جهت مثلثاتی زده باشد و سپس به نقطه M برسد، در این حالت مقدار زاویه -2π+θ و در دورهای بعد -4π+θ و .... می شود.   

اگر انتهای کمان مقابل به θ  بر حسب رادیان، در نقطه A باشد، اندازه آن 2kπ است.   

اگر انتهای کمان مقابل به θ  بر حسب رادیان، در نقطه B باشد، اندازه آن 2kπ+π2=4k+12π است. 

اگر انتهای کمان مقابل به θ  بر حسب رادیان، در نقطه A' باشد، اندازه آن 2kπ+π=2k+1π است.   

اگر انتهای کمان مقابل به θ  بر حسب رادیان، در نقطه B' باشد، اندازه آن 2kπ+3π2=4k+3π2 است.   

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

2- اگر انتهای کمان مقابل به θ در هر جای محیط دایره مثلثاتی باشد، برای آن زاویه، sinθ و cosθ قابل تعریف است و با توجه به دایره مثلثاتی: 

θ   :   1sinθ11cosθ1

3- اگر انتهای کمان مقابل به θ  در هر جای محیط دایره مثلثاتی غیر از B و B' باشد، tanθ قابل تعریف است و مقدار آن هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.  

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

θ2k+12π

4- اگر انتهای کمان مقابل به θ  در هر جای محیط دایره مثلثاتی غیر از A و A' باشد، cotθ قابل تعریف است و مقدار آن هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.  

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

θkπ

5- اگر زاویه چرخیدن متحرکی θ و مسافت طی شده توسط او L باشد، رابطه بین این دو به صورت زیر به‌دست می‌آید:

اگر متحرکی بر روی دایره مثلثاتی با شعاع واحد r=1 از نقطه A شروع به حرکت کند و پس از اندازه‌ زاویه θ برحسب درجه، به نقطه‌ B برسد، برای محاسبه‌ مسافت طی‌ شده L داریم:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اندازه برحسب درجه            طول کمان

                                                      2πr                                              360°AB=L                                        θAB=L=2πr×θ360°=πθ180°

جدول نسبت‌های مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

یادآوری

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دایره مثلثاتی

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید