سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

دایره مثلثاتی

آخرین ویرایش: 27 بهمن 1402
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:

تعریف دایره مثلثاتی

در صفحه مختصات ملاحظه شد که اگر P نقطه ای غیر از مبدا باشد، می‌توان نیم‌خط به راس مبدا مختصات را که از P می‌گذرد، اختیار کرده و برای زاویه‌ای که بین شعاع حامل نقطه P و جهت مثبت محور طول‌ها در جهت مثلثاتی ساخته می‌شود، نسبت‌های مثلثاتی را نوشت.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو   

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yr

cosθ=OH¯OPcosθ=xr

tanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yx

cotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xy

r=OP=x2+y2

مهم‌ترین نکته‌ای که با آن برخوردیم این بود که فاصله نقطه P بر روی این نیم‌خط از نقطه O در محاسبات مهم نبود.

به این دلیل می‌توانیم P را طوری بر این نیم‌خط اختیار کنیم که داشته باشیم:

r=OP=1

از دوران کامل OP حول O دایره‌ای به شعاع واحد به‌دست می‌آید که آن را دایره مثلثاتی می‌نامند. 

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

بر روی این دایره، نقطه A را مبدا شروع کمان‌ها در نظر می‌گیریم.

اگر کمانی از نقطه A و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن کمان که با خود کمان برابر است، مثبت و اگر کمان از نقطه A و در جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن منفی در نظر گرفته می‌شود.  

در شکل θ عددی مثبت و α عددی منفی می‌باشد. در شکل فوق: 

  • B'0,1,A'1,0,B0,1,A1,0 است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه A شروع حرکت باشد، اندازه θ برابر 0 یا صفر رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه B باشد، اندازه θ برابر 90 یا π2 رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه A' باشد، اندازه θ برابر 180 یا π رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ در نقطه B' باشد، اندازه θ برابر 270 یا 3π2 رادیان است.
  • اگر انتهای کمان مقابل به θ یک دوران کامل انجام داده و به نقطه A رسیده باشد، اندازه θ برابر 360 یا 2π رادیان است.  

در اشکال زیر تعدادی از زوایای مثبت و منفی در دایره مثلثاتی را مشاهده می‌کنید:

تمرین

در دوایر مثلثاتی زیر، زوایای مختلف در چه نواحی قرار گرفته است؟

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

الف) زاویه 270 در ناحیه مشخصی قرار ندارد و بین دو ناحیه سوم و چهارم قرار دارد.


ب) زاویه 225 در ناحیه سوم قرار دارد.


پ) زاویه -125 در ناحیه‌ سوم قرار دارد.


ت) زاویه 185 در ناحیه سوم قرار دارد.‌    

تمرین

دایره ای به شعاع واحد رسم می‌کنیم.

روی این دایره انتهای کمان های داده شده را در موقعیت استاندارد مشخص کنید.

3π2rad

3π2rad=3π21rad=3π2180°π=270°


پیمان گردلو

3rad

3rad=31rad=3×180°π540°3/14171/9


پیمان گردلو

3rad

3rad=31rad=3×180°π=540°π171/974°


پیمان گردلو

3πrad

3πrad=3π1rad=3π×180°π=540°


پیمان گردلو


540°=360°+180°


-540 معادل یک دور کامل و یک نیم ‌دور می‌باشد.

405°

405°=360°+45°



متحرکی از نقطه‌ A شروع به حرکت می‌کند.


برای پیمایش 405° ، بعد از پیمایش 360° مجددا به نقطه‌ A می‌رسد.


سپس به اندازه‌ 45° در خلاف جهت عقربه‌ های ساعت به حرکت خود ادامه می‌دهد تا در نقطه‌ B متوقف شود.

120°

120°=90°+30°



متحرکی از نقطه‌ A شروع به حرکت می‌کند.


برای پیمایش -120°، بعد از پیمایش -90° در جهت حرکت عقربه های ساعت، به نقطه B می‌رسد.


سپس به حرکت خود به اندازه‌ -30° در جهت حرکت عقربه‌ های ساعت به حرکت خود ادامه می‌دهد تا در نقطه‌ C متوقف شود.

تمرین

ستاره‌ای حول محور عبور کننده مرکز زمین روی مسیر دایره ای شکل به شعاع یک واحد به طور ظاهری می‌گردد.

دوران یافته این ستاره از نقطه 1,0 را تحت زوایای زیر در موقعیت استاندارد مشخص کنید.

360°  ,   270°  ,   180°  ,   30°

تمرین

فرض ‌کنیم نقطه A1,0 به اندازه θ حول مبدا مختصات دوران کند.

نقاط حاصل از دوران به‌ازای مقادیر داده شده θ را به‌دست آورید.

810°

810°=2×360°+90°=4π+π2



اگر نقطه A به اندازه -810° حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه B0,-1 می‌رسد.

13π

13π=12π+π



اگر نقطه A به اندازه -13π حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه B-1,0 می‌رسد.

11π2

11π2=10+1π2=10π2+π2=5π+π2



اگر نقطه A به اندازه 11π2 حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه  B0,-1 می‌رسد.

تمرین

هریک از عبارت‌های زیر را در موقعیت استاندارد به درجه بیان کنید.

13 دور کامل در خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت.

13360°=120°


34 دور کامل در جهت حرکت عقربه های ساعت.

34360°=270°


دریافت مثال

طول کمان

در دایره‌ای به شعاع r طول کمانی که اندازه زاویه مرکزی آن α رادیان باشد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

AB=α.r

در واقع طول یک کمان نسبت مستقیم با شعاع دایره و زاویه مرکزی روبرو بر حسب rad دارد.

با توجه به AB=α.r محیط یک دایره به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

=2πrمحیط دایره

نکته

در دایره، طول کمان روبرو به زاویه 1 rad مساوی شعاع دایره است و هر 1 rad تقریبا مساوی 57 است.

Rπ=D180

1π=D180

D=180π

D=1803/14

D57/32

تمرین

در دايره ای به‌شعاع 5 طول کمان روبرو به چه زاويه ای π2 است.

AB=π2  ,  R=5  ,  α=?AB=Rαπ2=5αα=π10α=18

تمرین

در شکل زیر، یک تسمه دو قرقره به شعاع های 10 و 2/5 سانتی متر را به‌هم وصل کرده است.

پیمان گردلو

بررسی کنید که وقتی قرقره بزرگ‌تر π2 رادیان می‌چرخد یعنی نقطه P در موقعیت P' قرار می‌گیرد، قرقره کوچک‌تر چند رادیان میچرخد؟

ابتدا مسافتی را که نقطه P بر روی محیط قرقره بزرگ‌ترطی می‌کند، به‌دست می‌آوریم: 

θ=PP'rPP'=r.θPP'=10×π2

PP'=5π    ;    πrad3/14radPP'5×3/14PP'15/7cm


چون هر دو قرقره با یک تسمه به‌هم متصل هستند، پس قرقره کوچک‌تر نیز 5πcm حرکت می‌کند. برای این قرقره داریم:

θ=lr=5π2/5=2π  rad


بنابراین وقتی قرقره بزرگ‌تر ربع دور می‌چرخد، قرقره کوچک‌تر یک دور کامل می‌چرخد و نقطه Q به مکان خود باز می‌گردد.

تمرین

طول برف پاک کن عقب اتومبیلی 24 سانتی متر است.

فرض کنید برف پاک کن، کمانی به اندازه 120° را طی می‌کند.

اندازه کمان را بر حسب رادیان به‌دست آورید.

D180=Rπ    ;    D=120120180=RπR=2π3rad

طول کمان طی شده توسط نوک برف پاک‌کن چند سانتی متر است؟

L=rθL=24×2π3L=16πL=50/24cm

تمرین

شکل فضایی و نیز شکل گسترده یک مخروط در زیر داده شده است.

شعاع قاعده مخروط 6cm و ارتفاع آن 8cm می‌باشد.

اندازه زاویه قطاع حاصل از شکل گسترده این مخروط چند رادیان است؟


d2=h2+r2d2=64+36d2=100d=10


طول کمان، همان محیط  قاعده‌ مخروط است.


L=2πr=2π×6=12πθ=Ld=12π10=65πrad

تمرین

فاصله دو نقطه A,B  از کره زمین، که بر روی یک نصف‌النهار قرار دارند، مطابق شکل زیر برابر طول کمانی از دایره گذرنده از آن دو نقطه است.

با داشتن اندازه شعاع کره زمین فاصله بین دو نقطه داده شده را بیابید.

ابتدا 36° را به رادیان تبدیل می‌کنیم:


D180=Rπ36180=RπR=36π180R=π5


AB=rθ=6320×π5=3968.963969km

دریافت مثال

مساحت قطاع دایره

قطاع، قسمتی از دایره است که بین دو شعاع دایره محصور است.

اگر مساحت دایره‌ای را به 360 قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر تیکه πr2360 می‌باشد، در واقع πr2 مساحت دایره است.

برای یافتن مساحت قطاع داریم:

S=πr2360×α

S=πr2360×180παrad

S=αr22rad

نکته

در دایره‌ای به شعاع r، مساحت قطاع α رادیان برابر با:  

S=12r2α

مساحت قطعه دایره

قطعه قسمتی از دایره است که بین وتر و کمان مربوط به وتر محصور شده باشد. 

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اگر S1 قطاع دایره و S2 مساحت مثلث باشد، S مساحت قطعه، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

S=S1S2

S=12r2α12OCODsinα

S=12r2α12rrsinα

S=12r2α12r2sinα

S=12r2αsinα

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

در شکل فوق مساحت قسمت هاشور خورده برابر چيست؟

زاويه روبرو به هر قطعه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.


α=120=2π3rad


پس مساحت قسمت هاشور خورده برابر است با:


S=312R2αsinα

S=312R22π3sin2π3


S=312R22π332S=R2π334


یادآوری می‌کنیم که:


sin2π3=sinππ3=sinπ3=32

دریافت مثال

نسبت‌ های مثلثاتی یک زاویه در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی را که مرکز آن مبدا مختصات و A نقطه شروع کمان‌ها می‌باشد را در نظر بگیرید.

برای هر یک از نسبت‌های مثلثاتی، محوری اختصاص داده شده است.

  • محور عمودی y'Oy محور سینوس‌ها است.
  • محور افقی x'Ox محور کسینوس‌ها است.
  • محور t'At که در نقطه A بر دایره مماس است، محور تانژانت‌ها است.
  • محور c'Bc که در نقطه B بر دایره مماس است، محور کتانژانت‌ها است.

در اشکال زیر نسبت‌های مثلثاتی زوایا در حالات مختلف نشان داده شده است، دایره را دایره مثلثاتی در نظر گرفته‌ایم:

ناحیه اول در دایره مثلثاتی

نقطه  M انتهای کمان مقابل به θ در ناحیه اول است:

sinθ=OF¯>0

cosθ=OH¯>0

tanθ=AN¯>0

cotθ=BP¯>0

فرض کنید M نقطه ای دل‌خواه بر محیط دایره به غیر از نقاط B',A',B,A باشد و θ زاویه‌ای باشد که شعاع OM با OA در جهت مثلثاتی می‌سازد.

شعاع OM را از طرف M امتداد داده‌ایم تا محور تانژانت ها و کتانژانت ها را به‌ترتیب در نقاط N و P قطع کند.

از M عمودهای MF و MH را به‌ترتیب بر محورهای سینوس و کسینوس فرود می‌آوریم.

ملاحظه می‌شود که:

sinθ=OF¯

cosθ=OH¯

tanθ=AN¯

cotθ=BP¯

تساوی های بالا نشان می‌دهند که اگر M انتهای کمان مقابل به زاویه θ بوده و بخواهیم نسبت‌های مثلثاتی θ را بیابیم:

  • برای یافتن sinθ از M بر محور سینوس‌ها که محور عمودی است، عمود MF را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط OF را به عنوان sinθ می‌پذیریم. 
  • برای یافتن cosθ از M بر محور کسینوس‌ها که محور افقی است، عمود MH را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط OH را به عنوان cosθ می‌پذیریم. 
  • برای یافتن tanθ پاره خط OM را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور تانژانت‌ها یعنی محور t'At را در نقطه ای مانند N قطع کند و اندازه جبری پاره خط AN را به عنوان tanθ می‌پذیریم.   
  • برای یافتن cotθ پاره خط OM را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور کتانژانت‌ها یعنی محور c'Bc را در نقطه‌ای مانند P قطع کند و اندازه جبری پاره خط BP را به عنوان cotθ می‌پذیریم.   

ناحیه دوم در دایره مثلثاتی

نقطه  M انتهای کمان مقابل به θ در ناحیه دوم است:

sinθ=OF¯>0

cosθ=OH¯<0

tanθ=AN¯<0

cotθ=BP¯<0

ناحیه سوم در دایره مثلثاتی

نقطه M انتهای کمان مقابل بهθدر ناحیه سوم است:

sinθ=OF¯<0

cosθ=OH¯<0

tanθ=AN¯>0

cotθ=BP¯>0

ناحیه چهارم در دایره مثلثاتی

نقطه M انتهای کمان مقابل به θ در ناحیه چهارم است:

sinθ=OF¯<0

cosθ=OH¯>0

tanθ=AN¯<0

cotθ=BP¯<0

تمرین

با استفاده از دایره مثلثاتی همه مقادیری از θ بین 0 و 2π را بیاید به‌طوری که روابط زیر برقرار باشد.

sinθ=12

tanθ=3

cosθ=0