سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع فاکتوریل

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تابع فاکتوریل

تابع فاكتوریل به‌صورت $\{\begin{cases} f : N \to N \\ f (n) = n! \end{cases}$ تعریف می‌شود كه در آن $n!$ به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$\begin{matrix} n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 2) \times (n - 1) \times n \end{matrix}$

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1$

نکته

1- $n!$ حاصل ضرب اعداد صحیح مثبت از $1$ تا خود $n$ است.

2- بر اساس قرارداد $1! = 0! = 1$ .

3- فاکتوریل اعداد منفی و اعداد اعشاری، در ریاضیات دبیرستانی، قابل تعریف نیست.

تمرین

فاكتوريل های زير را به‌دست آوريد.

$2!$

$\begin{matrix} = 2 \times 1 \\ = 2 \end{matrix}$

$4!$

$\begin{matrix} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ = 24 \end{matrix}$

$(- 3)!$

$(- 3)!$ تعريف نشده است.

نکته

1- یک تعریف بازگشتی برای تابع فاكتوریل به‌صورت زیر ارائه می‌كنیم:

$n! = n \times (n - 1) \times ... \times 2 \times 1 \Rightarrow n! = n \times (n - 1)!$

2- در تعریف فاکتوریل، الگوی زیر را مشاهده کنید:

به عنوان نمونه، داریم:

تمرین

عبارت های زير را به‌صورت فاكتوريل بنويسيد.

$35 \times 34 \times 33$

$\begin{array}{l} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32!}{32!} \\ = \frac{35!}{32!} \end{array}$

$\frac{1}{16 \times 15}$

$\begin{array}{l} = \frac{14!}{16 \times 15 \times 14!} \\ = \frac{14!}{16!} \end{array}$

$n (n - 1) ... (n - r + 1)$

$\begin{array}{l} = \frac{n (n - 1) \cdot \cdot \cdot (n - r + 1) (n - r)!}{(n - r)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n!}{(n - r)!} \end{array}$

$\frac{n (n - 1) \times ... \times (n - r + 1)}{1 \times 2 \times ... \times (r - 1) \times r}$

$\begin{matrix} = \frac{n (n - 1) \times ... \times (n - r + 1) (n - r)!}{[1 \times 2 \times ... \times (r - 1) \times r] (n - r)!} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \frac{n!}{r! \times (n - r)!} \end{matrix}$

تمرین

عبارات زير را محاسبه کنید.

$\frac{13!}{11!}$

$\begin{matrix} = \frac{13 \times 12 \times 11!}{11!} \\ = 13 \times 12 \\ = 156 \end{matrix}$

$\frac{7!}{10!}$

$\begin{array}{l} = \frac{7!}{10 \times 9 \times 8 \times 7!} \\ = \frac{1}{10 \times 9 \times 8} \end{array}$

$\frac{15!}{17! - 16!}$

$\begin{matrix} = \frac{15!}{(17 \times 16!) - 16!} \\ = \frac{15!}{16! \times (17 - 1)} \\ = \frac{15!}{16! \times 16} \\ = \frac{15!}{(16 \times 15!) \times 16} \\ = \frac{1}{16 \times 16} \\ = \frac{1}{256} \end{matrix}$

تمرین

عبارات زير را ساده كنيد.

$\frac{(n + 1)!}{n!}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n + 1) n!}{n!} \\ = (n + 1) \end{array}$

$\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\begin{array}{l} = \frac{n (n - 1) (n - 2)!}{(n - 2)!} \\ = n (n - 1) \\ = n^{2} - n \end{array}$

$\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n + 1) (n) (n - 1)!}{(n - 1)!} \\ = (n + 1) n \\ = n^{2} + n \end{array}$

$\frac{(n - r + 1)!}{(n - r - 1)!}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n - r + 1) (n - r) (n - r - 1)!}{(n - r - 1)!} \\ = (n - r + 1) (n - r) \end{array}$

$\frac{(n - r)!}{(n - r - 2)!}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n - r) (n - r - 1) (n - r - 2)!}{(n - r - 2)!} \\ = (n - r) (n - r - 1) \end{array}$

تمرین

هر يک از معادلات زير را حل كنيد.

$(x - 1)! = 1$

$\begin{array}{l} (x - 1)! = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} (x - 1)! = 1! \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \\ (x - 1)! = 0! \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases} \end{array}$

$(x - 1)! = x - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(x - 1)!}{x - 1} = 1 \\ \Rightarrow \frac{(x - 1) (x - 2)!}{(x - 1)} = 1 \\ \Rightarrow (x - 2)! = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} (x - 2)! = 1! \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \\ (x - 2)! = 0! \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{array}$

$\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{9 \times 10}{8! \times 9 \times 10} + \frac{10}{9! \times 10} = \frac{x}{10!} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{9 \times 10}{10!} + \frac{10}{10!} = \frac{x}{10!} \\ \Rightarrow 90 + 10 = x \\ \Rightarrow x = 100 \end{matrix}$

$(2 x + 4)! = 120$

$\begin{matrix} \Rightarrow (2 x + 4)! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (2 x + 4)! = 5! \\ \Rightarrow 2 x + 4 = 5 \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

تمرین

کدام‌یک از اعداد زیر از دیگری بزرگ‌تر است؟

$\{\begin{cases} 999! \\ 500^{999} \end{cases}$

$\begin{array}{l} 999! = 999 \times 998 \times \dots \times 500 \times \dots \times 2 \times 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 999! = (999 \times 1) \times (998 \times 2) \times \dots \times 500 \end{array}$

عبارت $n (1000 - n)$ پرانتزهای بالا را تولید می‌کند، به‌عنوان نمونه:

$i f n = 999 : n (1000 - n) = 999 (1000 - 999) = (999 \times 1)$

بنابراین داریم:

$n (1000 - n) = 1000 n - n^{2}$

از طرفی می‌دانیم:

$\begin{array}{l} {(n - 500)}^{2} \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} - 1000 n + 500^{2} \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 500^{2} \geq 1000 n - n^{2} \end{array}$

$\Rightarrow 500^{2} \geq n (1000 - n)$

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} n = 1 : 500^{2} \geq 1 \times 999 \\ n = 2 : 500^{2} \geq 2 \times 998 \\ ⋮ \\ ⋮ \\ n = 499 : 500^{2} \geq 499 \times 501 \end{array}$

طرفین نامساوی های زیر را در هم ضرب می‌کنیم:

$\Rightarrow {(500^{2})}^{499} \geq 1 \times 2 \times \dots \times 499 \times 501 \times \dots \times 998 \times 999$

$\Rightarrow {(500^{2})}^{499} \geq \frac{1 \times 2 \times \dots \times 499 \times 500 \times 501 \times \dots \times 998 \times 999}{500}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(500^{2})}^{499} \geq \frac{999!}{500} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 500^{998} \geq \frac{999!}{500} \end{array}$

$\Rightarrow 500^{999} \geq 999!$

$\{\begin{cases} {(2021!)}^{2} \\ 2021^{2021} \end{cases}$

$\begin{array}{l} {(n!)}^{2} = n! n! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(n!)}^{2} = (1 \times 2 \times \dots \times n) [n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1] \end{array}$

$\Rightarrow {(n!)}^{2} = (1 \times n) \times [2 \times (n - 1)] \times [3 \times (n - 2)] \times \dots \dots \times k [n - (k - 1)] \times \dots \times (n \times 1)$

$\begin{array}{l} k (n - k + 1) = k (n - k) + k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k (n - k + 1) = k (n - k) + k - n + n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k (n - k + 1) = k (n - k) - (n - k) + n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k (n - k + 1) = (n - k) (k - 1) + n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k (n - k + 1) = (n - k) (k - 1) + n > n; 2 \leq k < n \end{array}$

$\Rightarrow k (n - k + 1) > n$

$\begin{array}{l} k = 1; 1 (n) = n \\ k = 2; 2 (n - 1) > n \\ k = 3; 3 (n - 2) > n \\ ⋮ \\ k = n - 1; (n - 1) \times 2 > n \\ k = n; n (1) = n \end{array}$

طرفین نامساوی ها را در هم ضرب می‌کنیم:

$\begin{array}{l} [1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n] [n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1] > n^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (n!) (n!) > n^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(n!)}^{2} > n^{n}; \{\begin{cases} n > 2 \\ n = 2021! \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow {(2021!)}^{2} > 2021^{2021}$

تمرین

معادلات زیر را حل کنید.

$n^{2} + 19 n - n! = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} + 19 n = n! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (n + 19) = n!; n \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (n + 19) = n (n - 1)! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n + 19 = (n - 1)!; n - 1 = k \Rightarrow n = k + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (k + 1) + 19 = k! \end{array}$

$\Rightarrow k + 20 = k!$

اگر $k = 4$ باشد، تساوی فوق برقرار است:

$k + 20 = k! \overset{k = 4}{\to} (4) + 20 = 4! \Rightarrow 24 = 24$

اگر $k > 4$ باشد، تساوی زیر برقرار نیست:

$k + 20 = k!$

برای محاسبه $n$ به‌ازای $k = 4$ داریم:

$n - 1 = k \overset{k = 4}{\to} n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$

مقدار $n$ را در معادله فوق امتحان می‌کنیم:

$n^{2} + 19 n - n! = 25 + 19 \times 5 - 5! = 25 + 95 - 120 = 0$

$n = 5$ در معادله صادق است و جواب معادله می‌باشد.

$x! + y! + z! = w!$

فرض کنیم $u$ ماکزیمم $x, y, z$ باشد:

$u = \max (x, y, z)$

اگر $u = 0$ باشد، آیا تساوی فوق به‌ازای $w$ ای برقرار است؟

$0! + 0! + 0! = w! \Rightarrow 1 + 1 + 1 = w! \Rightarrow 3 = w!$

برای $w$ مقداری موجود نیست تا تساوی فوق برقرار باشد.

$\begin{array}{l} 1 \leq u < w \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u \leq w - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u! \leq (w - 1)! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow w u! \leq w (w - 1)! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow w u! \leq w! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow w u! \leq x! + y! + z! \leq 3 u! \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow w u! \leq 3 u!; u! \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow w \leq 3 \end{array}$

$i f w = 3 \Rightarrow x! + y! + z! = 6 \Rightarrow x = y = z = 2$

$i f w = 2 \Rightarrow x! + y! + z! = 2$

مقداری برای $x, y, z$ یافت نمی‌شود.

$i f w = 1 \Rightarrow x! + y! + z! = 1$

مقداری برای $x, y, z$ یافت نمی‌شود.

$n! = n^{3} - n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (n - 1) (n - 2)! = n (n^{2} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (n - 1) (n - 2)! = n (n - 1) (n + 1) \end{array}$

$\Rightarrow (n - 2)! = n + 1$

تساوی فوق به‌ازای $n = 5$ برقرار است.

$6! \times 7! = x!$

$\begin{matrix} \Rightarrow (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 7! = x! \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow [(2 \times 3) \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1] \times 7! = x! \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (2 \times 5) \times (3 \times 3) \times (4 \times 2 \times 1) \times 7! = x! \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 10 \times 9 \times 8 \times 7! = x! \\ \Rightarrow 10! = x! \\ \Rightarrow x = 10 \end{matrix}$

تمرین

نامساوی زیر را ثابت کنید:

$(2 n)! > n^{n}$

$\begin{array}{l} \frac{(2 n)!}{n!} = \frac{(2 n) (2 n - 1) \dots (n + 1) n!}{n!} = (n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = \prod_{k + 1}^{n} (n + k) \end{array}$

$\begin{array}{l} n + k > n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \prod_{k = 1}^{n} (n + k) > \prod_{k = 1}^{n} n = n^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(2 n)!}{n!} > n^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 n)! > n^{n} \times n! \geq n^{n} \end{array}$

$\Rightarrow (2 n)! > n^{n}$

تمرین

فرض کنید تساوی زیر برقرار باشد:

$S = \frac{(2^{3} - 1) (3^{3} - 1) (4^{3} - 1) \dots (100^{3} - 1)}{(2^{3} + 1) (3^{3} + 1) (4^{3} + 1) \dots (100^{3} + 1)}$

مقدار $S$ به چه عددی نزدیک‌تر است؟

$\begin{array}{l} S = \frac{(2^{3} - 1) (3^{3} - 1) (4^{3} - 1) \dots (100^{3} - 1)}{(2^{3} + 1) (3^{3} + 1) (4^{3} + 1) \dots (100^{3} + 1)} \end{array}$

$\Rightarrow S = (\frac{1}{2^{3} + 1}) (\frac{2^{3} - 1}{3^{3} + 1}) (\frac{3^{3} - 1}{4^{3} + 1}) \dots (\frac{99^{3} - 1}{100^{3} + 1}) (100^{3} - 1); \frac{{(n - 1)}^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{n - 2}{n + 1}, (1)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = (\frac{1}{9}) (\frac{1}{4}) (\frac{2}{5}) \times \dots \times (\frac{98}{101}) \times (999999) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 98 \times (99 \times 10101)}{(3 \times 3) \times 4 \times 5 \times \dots \times 99 \times (50 \times 2) \times 101} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 98 \times 99 \times 10101}{2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \dots \times 99 \times 150 \times 101} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{99! \times 10101}{99! \times 150 \times 101} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{10101}{150 \times 101} \end{array}$

$\Rightarrow S ≃ 0 / 6667$

$\begin{array}{l} (1) : \frac{{(n - 1)}^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{(n - 1 - 1) [{(n - 1)}^{2} + (n - 1) + 1]}{(n + 1) (n^{2} - n + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{(n - 1)}^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{(n - 2) (n^{2} - 2 n + 1 + n)}{(n + 1) (n^{2} - n + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{(n - 1)}^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{(n - 2) (n^{2} - n + 1)}{(n + 1) (n^{2} - n + 1)} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{{(n - 1)}^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{n - 2}{n + 1}$

تمرین

المپیاد ریاضی

مجموع زیر را در نظر بگیرید:

$1! + 2! + 3! + ...... + n!$

چند عدد طبیعی مانند $n$ وجود دارد به‌طوریکه مجموع فوق، مربع کامل باشد.

در جدول زیر، سطر اول رقم یکان عدد $n$ و سطر دوم رقم یکان عدد $n^{2}$ می باشد:

رقم یکانِ همۀ اعداد مربع کامل، مجموعه زیر است:

$\{0, 1, 4, 5, 6, 9\}$

در مجموعۀ فوق ارقام زیر وجود ندارد:

$\{2, 3, 7, 8\}$

یعنی اگر رقم یکان عددی، یکی از ارقام مجموعه فوق باشد، آن عدد قطعا مربع کامل نیست.

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} 1! + 2! + 3! + ...... + n! \\ i f n = 1; 1! = 1 \\ i f n = 2; 1! + 2! = 1 + 2 = 3 \otimes \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 3; 1! + 2! + 3! = 9 \\ i f n = 4; 1! = 1! + 2! + 3! + 4! = 33 \otimes \end{array}$

برای $n = 5$ داریم:

$i f n = 5; 1! = \underset{33}{\underset{⏟}{1! + 2! + 3! + 4!}} + 5! = 33 + (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5) = 33 + 120 = 153 \otimes$

در تساوی های فوق عدد $5!$ چون دارای عوامل $(2)$ و $(5)$ هستند، پس رقم یکانش $(0)$ است.

اگر عدد $33$ با $5!$ جمع شود، رقم یکانش $(3)$ خواهد بود.

به‌همین ترتیب برای $n > 5$ مجموع همه جملات، رقم یکانش $(3)$ خواهد شد.

از طرفی اگر رقم یکان عددی $\{2, 3, 7, 8\}$ باشد، قطعا مربع کامل نیست.

پس برای $n \geq 5$ مجموع جملات، مربع کامل نخواهد شد.

این مجموعه به ازای $n = 1, 3$ مربع کامل شده است.

بنابراین فقط دو عدد طبیعی وجود دارد که مجموع مورد نظر، مربع کامل باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تابع فاکتوریل

2,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع فاکتوریل

تعریف تابع فاکتوریل

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟