مساحت مثلث به كمک مختصات

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

اگر Ax1,y1 و Bx2,y2 و Cx3,y3 سه راس یک مثلث باشد، مساحت مثلث به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

SABC=12x1y2−y3+x2y3−y1+x3y1−y2

اثبات

مساحت مثلث - پیمان گردلو

SABc

=SABDE+SACFE−SBCFD

=12BD+AE×DE+12AE+CF×EF−12BD+CF×DF

=12y2+y1x1−x2+12y1+y3x3−x1−12y2+y3x3−x2

=12x1y2+x1y1−x2y2−x2y1+x3y1+x3y3−x1y1−x1y3−x3y2−x3y3+x2y2+x2y3

=12x1y2−x2y1+x3y1−x1y3−x3y2+x2y3

=12x1y2−y3+x2y3−y1+x3y1−y2

تمرین

نقاط C−1,2  ,  B0,5   ,  A2,−3 رئوس یک مثلث هستند. 

مساحت مثلث را تعيين كنيد.

S=12xAyB−yC+xByC−yA+xCyA−yB


⇒S=1225−2+02+3−1−3−5


⇒S=7

تمرین

نقاط C−2,−3  ,  B0,3  ,   A2,a رئوس مثلث ABC هستند:  

مقدار a را چنان تعيين كنيد كه مثلث در راس A متساوی الساقين باشد.

چون مثلث در راس A متساوی الساقين است پس:

AB=AC


⇒2−02+a−32=2+22+a+32


⇒4+a−32=16+a+32


⇒a+32−a−32=−12


⇒12a=−12


⇒a=−1


if    A2,a→a=−1A2,−1


یادآوری)


x+y2−x−y2=4xy

مساحت مثلث را به‌دست آوريد.

S=12xAyB−yC+xByC−yA+xCyA−yB


⇒S=1223+3+0−3+1−2−1−3


⇒S=10

تمرین

معادلات ضلع BC ، ارتفاع CH و ارتفاع BK در مثلث ABC به ترتيب به صورت زیر است:

BC:x+3y−4=0CH:y=x−4BK:y=2x−1

معادله ميانه AM را بنويسيد.

محل تقاطع دو خط زير، مختصات نقطه C است.


مساحت مثلث - پیمان گردلو  

y=x−4x+3y−4=0x+3x−4−4=0


x+3x−4−4=0


⇒x+3x−12−4=0


⇒4x−16=0


⇒x=4  ,  y=0    ;    C4,0



y=2x−1x+3y−4=0x+32x−1−4=0


x+32x−1−4=0


⇒x+6x−3−4=0


⇒7x−7=0


⇒x=1  ,  y=1    ;    B1,1


BC:x+3y−4=0⇒mBC=−13


AM⊥BC⇒mAM×mBC=−1⇒mAM×−13=−1⇒mAM=3


xM=xB+xC2=1+42=52yM=yB+yC2=1+02=12


AM:y−yM=mAMx−xM


⇒y−12=3x−52


⇒y=3x−152+12


⇒y=3x−7

تمرین

نقاط B1,−3  ,  A3,1 دو رأس از مثلث ABC هستند كه مساحت آن 3 واحد سطح و راس C روی محور عرض است.

مختصات نقطه C را تعيين كنيد. 

C0,yC


S=12xAyB−yC+xByC−yA+xCyA−yB


⇒3=123−3−yC+1yC−1+01+3


⇒6=−9−3yC+yC−1


⇒6=−10−2yC

−10−2yC=6⇒2yC=−16⇒yC=−8

−10−2yC=−6⇒2yC=−4⇒yC=−2


C0,−2 یا C0,−8 است.

نکته

مساحت مثلثی با راس‌های  Ax1,y1 و Bx2,y2 و Cx3,y3 از طریق دترمینان و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

SΔ ABC =121 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3=12x2y3−x3y2−x1y3−y1x3+x1y2−y1x2

تمرین

مختصات رأس های مثلث ABC عبارت‌اند از:

C−3,3  ,  B2,5  ,  A6,−1

مختصات نقاط P,Q,R را كه به ترتيب وسط ضلع های AC,BC,AB هستند، به دست آوريد.

فرض می‌كنيم: 

Rx3,y3  ,  Qx2,y2  ,  Px1,y1


x1=6+22=4  ,  y1=−1+52=2    ;    P4,2


x2=2+−32=−12  ,  y2=5+32=4    ;    Q−12,4


x3=6−32=32  ,  y3=−1+32=1    ;    R32,1

مساحت مثلث PQR را بيابيد.  

بنابر فرمول مساحت مثلث، داريم:

مساحت مثلث - پیمان گردلو

SPQR=12111x1x2x3y1y2y3


⇒SPQR=12x2x3y2y3−x1x3y1y3+x1x2y1y2


⇒SPQR=121114−1232241


⇒SPQR=12−123241−43221+4−1224


⇒SPQR=12−12−6−4−3+16+1


⇒SPQR=194

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مساحت مثلث به كمک مختصات

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید