مكان هندسی نقاط به فاصله معین از یک خط

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

معادله خط زیر مفروض است:

$A x + B y + C = 0$

مجموعه نقاطی که به‌فاصله $d$ از خط فوق قرار دارند، عبارتند از دو خط موازی با این خط و به فاصله $d$ از این خط.

معادلات این دو خط از روابط زیر به‌دست می‌آید:

$A x + B y + C \pm d \sqrt{A^{2} + B^{2}} = 0$

اثبات

$پیمان گردلو$

فرض کنیم $M (x, y)$ به فاصله $d$ از خط $A x + B y + C = 0$ قرار گرفته باشد، در این‌صورت فاصله این نقطه از خط به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} d = \frac{|A x + B y + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d \sqrt{A^{2} + B^{2}} = |A x + B y + C| \end{array}$

$\begin{array}{l} A x + B y + C = + d \sqrt{A^{2} + B^{2}} \Rightarrow A x + B y + C - d \sqrt{A^{2} + B^{2}} = 0 \end{array}$

$A x + B y + C = - d \sqrt{A^{2} + B^{2}} \Rightarrow A x + B y + C + d \sqrt{A^{2} + B^{2}} = 0$

تمرین

معادله خط زیر مفروض است:

$5 x + 12 y - 3 = 0$

معادله مجموعه نقاطی را که از خط فوق به فاصله $2$ هستند را تعیین کنید.

$\begin{matrix} 5 x + 12 y - 3 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 0 \\ \Rightarrow 5 x + 12 y - 3 \pm 26 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x + 12 y + 23 = 0 \\ 5 x + 12 y - 29 = 0 \end{cases} \end{matrix}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

مكان هندسی نقاط به فاصله معین از یک خط

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟