معادله نیمساز زاویه بین دو خط

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

هر نقطه مانند $M (x, y)$ واقع بر نیمساز زاویه بین دو خط زیر دارای این ویژگی است که از دو خط $L_{2}, L_{1}$ به یک فاصله است:

$\{\begin{cases} L_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ L_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 \end{cases}$

لذا معادله نیمساز عبارت است از:

$\frac{|A_{1} x + B_{1} y + C_{1}|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}}} = \frac{|A_{2} x + B_{2} y + C_{2}|}{\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}$

چنان‌چه ملاحظه می‌کنید این معادله شامل دو خط است که معادله دو نیمساز را به ما می‌دهد.

اثبات

معادله نیمساز زاویه بین دو خط - پیمان گردلو

فاصله نقطه $M (x, y)$ از خط $L_{1}$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$d_{1} = \frac{|A_{1} x + B_{1} y + C_{1}|}{\sqrt{{A_{1}}^{2} + {B_{1}}^{2}}}$

فاصله نقطه $M (x, y)$ از خط $L_{2}$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$d_{2} = \frac{|A_{2} x + B_{2} y + C_{2}|}{\sqrt{{A_{2}}^{2} + {B_{2}}^{2}}}$

$i f d_{1} = d_{2} \Rightarrow \frac{|A_{1} x + B_{1} y + C_{1}|}{\sqrt{{A_{1}}^{2} + {B_{1}}^{2}}} = \frac{|A_{2} x + B_{2} y + C_{2}|}{\sqrt{{A_{2}}^{2} + {B_{2}}^{2}}}$

تمرین

معادله نیمساز زاویه بین دو خط زیر را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} L : 3 x + 4 y - 1 = 0 \\ L^{'} : 5 x - 12 y + 1 = 0 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{|3 x + 4 y - 1|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|5 x - 12 y + 1|}{\sqrt{5^{2} + {(- 12)}^{2}}} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{|3 x + 4 y - 1|}{5} = \frac{|5 x - 12 y + 1|}{13} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{3 x + 4 y - 1}{5} = \frac{5 x - 12 y + 1}{13} \Rightarrow 7 x + 56 y - 9 = 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{3 x + 4 y - 1}{5} = \frac{- (5 x - 12 y + 1)}{13} \Rightarrow 8 x - y - 1 = 0 \end{array}$

معادله نیمساز زاویه بین دو خط زیر را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} 4 x - 3 y + 1 = 0 \\ 4 y - 3 x + 1 = 0 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{|4 x - 3 y + 1|}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{|- 3 x + 4 y + 1|}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |4 x - 3 y + 1| = |- 3 x + 4 y + 1| \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 4 x - 3 y + 1 = - 3 x + 4 y + 1 \Rightarrow 7 x = 7 y \Rightarrow y = x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 4 x - 3 y + 1 = + 3 x - 4 y - 1 \Rightarrow y = - x - 2 \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

معادله نیمساز زاویه بین دو خط

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟