سرفصل‌های این مبحث

هندسه دکارتی

محور

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف محور

محور، خطی است جهت‌دار که روی آن یک نقطه به‌عنوان مبدا و طولی را به‌عنوان واحد اندازه‌گیری اختیار کرده باشیم.

محور - پیمان گردلو

جهت محور از چپ به راست، جهت مثبت و در خلاف آن، جهت منفی است.

معمولا محور را با $x^{'} O x$ نام‌گذاری می‌کنیم که در آن $O$ مبدا محور است.

در شکل بالا پاره خط $O A$ را با در نظر گرفتن جهت مثبت، محور بردار می‌نامیم و آن را به‌صورت $\vec{O A}$ و طول بردار را با نماد $|\vec{O A}|$ نشان می‌دهیم.

بردار واحد (یکانی) محور

بردار واحد برداری است به طول واحد که ابتدایش بر مبدا مختصات و جهت آن هم‌جهت با جهت مثبت محور باشد.

محور - پیمان گردلو

در شکل فوق $\vec{O I}$ بردار یکانی محور است.

اگر $A$ نقطه دل‌خواهی روی محور باشد، طول نقطه $A$ که آن را با $x_{A}$ نشان می‌دهیم، عددی است که در تساوی زیر صدق می‌کند:

$\vec{O A} = x_{A} \times \vec{O I}$

$x_{A}$ را اندازه جبری $\vec{O A}$ نیز می‌گویند.
اندازه جبری $\vec{O A}$ را به‌صورت $\bar{O A}$ نشان می‌دهیم، یعنی $\bar{O A} = x_{A}$ .

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

محور - پیمان گردلو

طول نقطه $A$ و $B$ و اندازه جبری بردار $\vec{A B}$ و $\vec{B A}$ را به‌دست بیاورید.

$\begin{array}{l} x_{A} = \bar{O A} = + 3 \\ x_{B} = \bar{O B} = - 2 \end{array}$

اندازه جبری بردار $\vec{A B}$ که با محور $x^{'} O x$ هم‌راستاست، عددی است حقیقی که اندازه آن طول پاره‌خط $A B$ و علامت آن بر حسب آن‌که بردار $\vec{A B}$ با محور هم‌جهت یا مختلف‌الجهت باشد، مثبت یا منفی است.

در شکل بالا داریم:

$\begin{array}{l} \bar{A B} = - 5 \\ \bar{B A} = + 5 \end{array}$

نکته

اندازه هندسی $A B$ و $B A$ مساوی است و بردار $\vec{A B}$ را می‌توان با استفاده از بردار یکه $\vec{i}$ بر محور $x^{'} O x$ به‌صورت نشان داد:

$\vec{A B} = \bar{A B} . \vec{i}$

رابطه شال

قضیه

اگر $A$ و $B$ و $C$ سه نقطه دل‌خواه بر روی یک محور باشند، همواره داریم:

$\bar{A B} + \bar{B C} = \bar{A C}$

اثبات

بر حسب اوضاع نسبی نقاط $A$ و $B$ و $C$ روی محور، شش حالت ممکن است رخ دهد.

محور - پیمان گردلو

در شکل $(1)$ درستی رابطه شال بدیهی است.

در شکل $(2)$ درستی رابطه شال را بررسی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \bar{A C} + \bar{C B} = \bar{A B} \\ \Rightarrow \bar{A C} = \bar{A B} - \bar{C B} \\ \Rightarrow \bar{A C} = \bar{A B} - (- \bar{B C}) \\ \Rightarrow \bar{A C} = \bar{A B} + \bar{B C} \end{array}$

اثبات رابطه شال در اشکال دیگر هم به‌طریق مشابه انجام می‌شود.

نکته

رابطه شال برای بیش از سه نقطه هم قابل تعمیم است:

$\begin{array}{l} \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C D} + \bar{D E} + \bar{E A} = 0 \\ \Rightarrow \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C D} + \bar{D E} = - \bar{E A} \\ \Rightarrow \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C D} + \bar{D E} = \bar{A E} \end{array}$

تمرین

حاصل کسر زیر را به‌دست آورید.

$\frac{\bar{A C} + \bar{C B} + \bar{B D}}{\bar{D B} + \bar{B C} + \bar{C A}}$

$\frac{\bar{A C} + \bar{C B} + \bar{B D}}{\bar{D B} + \bar{B C} + \bar{C A}} = \frac{\bar{A D}}{\bar{D A}} = \frac{\bar{A D}}{- \bar{A D}} = - 1$

اندازه جبری بردار

قضیه

اندازه جبری برداری که بر یک محور واقع باشد مساوی است با طول انتهای بردار منهای طول ابتدای آن.

اثبات

دو نقطه $A$ و $B$ را روی محور $x^{'} O x$ در نظر می‌گیریم:

محور - پیمان گردلو

بر اساس رابطه شال داریم:

$\begin{array}{l} \bar{O A} + \bar{A B} = \bar{O B} \Rightarrow \bar{A B} = \bar{O B} - \bar{O A} \Rightarrow \bar{A B} = x_{B} - x_{A} \end{array}$

$|\vec{A B}| = \bar{A B} = x_{B} - x_{A}$

نکته

فاصله دو نقطه واقع بر یک محور

اگر نقطه $A$ به طول $x_{A}$ و نقطه $B$ به طول $x_{B}$ دو نقطه واقع بر یک محور باشند، در این‌صورت فاصله دو نقطه $A$ و $B$ که طول پاره‌خط $A B$ است و از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$A B = |x_{B} - x_{A}|$

تمرین

اگر $\{\begin{cases} x_{B} = - 3 \\ x_{A} = 2 \end{cases}$ اندازه های جبری زیر را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \bar{A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \bar{A B} = x_{B} - x_{A} = (- 3) - 2 = - 3 - 2 = - 5 \end{array}$

$\bar{B A}$

$\bar{B A} = x_{A} - x_{B} = 2 - (- 3) = 2 + 3 = 5$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} x_{C} = - 2, x_{B} = 2, x_{A} = - 1 \\ \bar{A B} = 2 \bar{C D} \end{cases}$

$x_{D}$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \bar{A B} = 2 \bar{C D} \\ \Rightarrow (x_{B} - x_{A}) = 2 (x_{D} - x_{C}) \\ \Rightarrow (2) - (- 1) = 2 [x_{D} - (- 2)] \\ \Rightarrow 3 = 2 (x_{D} + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 = 2 x_{D} + 4 \\ \Rightarrow 2 x_{D} = - 1 \\ \Rightarrow x_{D} = - \frac{1}{2} \end{array}$

تمرین

اگر نقاط $C, B, A$ روی يک محور باشند، حاصل زير را به‌دست آوريد.

$\bar{O A} \times \bar{B C} + \bar{O B} \times \bar{C A} + \bar{O C} \times \bar{A B}$

می‌دانيم:

$\bar{O C} = x_{C}, \bar{O B} = x_{B}, \bar{O A} = x_{A}$

پس داریم:

$\begin{array}{l} \bar{O A} \times \bar{B C} + \bar{O B} \times \bar{C A} + \bar{O C} \times \bar{A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} = x_{A} (x_{C} - x_{B}) + x_{B} (x_{A} - x_{C}) + x_{C} (x_{B} - x_{A}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x_{A} x_{C} - x_{A} x_{B} + x_{B} x_{A} - x_{B} x_{C} + x_{C} x_{B} - x_{C} x_{A} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 0 \end{array}$

تمرین

اگر $C, B, A, O$ بر روی يک محور واقع باشند، ثابت كنيد:

$\frac{{\bar{O A}}^{2}}{\bar{A B} \times \bar{A C}} + \frac{{\bar{O B}}^{2}}{\bar{B C} \times \bar{B A}} + \frac{{\bar{O C}}^{2}}{\bar{C A} \times \bar{C B}} = 1$

$\begin{array}{l} \frac{{\bar{O A}}^{2}}{\bar{A B} \times \bar{A C}} + \frac{{\bar{O B}}^{2}}{\bar{B C} \times \bar{B A}} + \frac{{\bar{O C}}^{2}}{\bar{C A} \times \bar{C B}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{(x_{A} - x_{O})}^{2}}{(x_{B} - x_{A}) (x_{C} - x_{A})} + \frac{{(x_{B} - x_{O})}^{2}}{- (x_{C} - x_{B}) (x_{B} - x_{A})} + \frac{{(x_{C} - x_{O})}^{2}}{[- (x_{C} - x_{A})] [- (x_{C} - x_{B})]} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x_{A}}^{2}}{(x_{B} - x_{A}) (x_{C} - x_{A})} - \frac{{x_{B}}^{2}}{(x_{C} - x_{B}) (x_{B} - x_{A})} + \frac{{x_{C}}^{2}}{(x_{C} - x_{A}) (x_{C} - x_{B})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x_{A}}^{2} (x_{C} - x_{B}) - {x_{B}}^{2} (x_{C} - x_{A}) + {x_{C}}^{2} (x_{B} - x_{A})}{(x_{B} - x_{A}) (x_{C} - x_{A}) (x_{C} - x_{B})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x_{A}}^{2} x_{C} - {x_{A}}^{2} x_{B} - {x_{B}}^{2} x_{C} + {x_{B}}^{2} x_{A} + {x_{C}}^{2} x_{B} - {x_{C}}^{2} x_{A}}{[{x_{C}}^{2} - (x_{A} + x_{B}) x_{C} + x_{A} x_{B}] (x_{B} - x_{A})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x_{A}}^{2} x_{C} - {x_{A}}^{2} x_{B} - {x_{B}}^{2} x_{C} + {x_{B}}^{2} x_{A} + {x_{C}}^{2} x_{B} - {x_{C}}^{2} x_{A}}{{x_{C}}^{2} x_{B} - x_{A} x_{B} x_{C} - {x_{B}}^{2} x_{C} + x_{A} {x^{2}}_{B} - {x_{C}}^{2} x_{A} + {x_{A}}^{2} x_{C} + x_{A} x_{B} x_{C} - {x_{A}}^{2} x_{B}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{({x_{A}}^{2} x_{C} - {x_{A}}^{2} x_{B} - {x_{B}}^{2} x_{C} + {x_{B}}^{2} x_{A} + {x_{C}}^{2} x_{B} - {x_{C}}^{2} x_{A})}{({x_{C}}^{2} x_{B} - {x_{B}}^{2} x_{C} + x_{A} {x_{B}}^{2} - {x_{C}}^{2} x_{A} + {x_{A}}^{2} x_{C} - {x_{A}}^{2} x_{B})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 1 \end{array}$

تمرین

فرض كنيم $D, C, B, A$ چهار نقطه روی يک محور واقع هستند، در اين‌صورت مقدار زیر را بیابید.

$\frac{\bar{A C} + \bar{C B}}{\bar{A D} + \bar{D B}}$

$\frac{\bar{A C} + \bar{C B}}{\bar{A D} + \bar{D B}} = \frac{(x_{C} - x_{A}) + (x_{B} - x_{C})}{(x_{D} - x_{A}) + (x_{B} - x_{D})} = \frac{(x_{B} - x_{A})}{(x_{B} - x_{A})} = 1$

تمرین

رابطه استوارت

نقطه $C, B, A$ به‌طور غير مشخص بر روی یک محور واقعند، درستی رابطه زير را تحقیق کنید:

${\bar{O A}}^{2} \cdot \bar{B C} + {\bar{O B}}^{2} \cdot \bar{C A} + {\bar{O C}}^{2} \cdot \bar{A B} + \bar{A B} \cdot \bar{B C} \cdot \bar{C A} = 0$

$\begin{array}{l} {\bar{O A}}^{2} \cdot \bar{B C} + {\bar{O B}}^{2} \cdot \bar{C A} + {\bar{O C}}^{2} \cdot \bar{A B} + \bar{A B} \cdot \bar{B C} \cdot \bar{C A} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x_{A} - x_{O})}^{2} . (x_{C} - x_{B}) + {(x_{B} - x_{O})}^{2} . (x_{A} - x_{C}) + {(x_{C} - x_{O})}^{2} . (x_{B} - x_{A}) + (x_{B} - x_{A}) . (x_{C} - x_{B}) . (x_{A} - x_{C}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} (c - b) + b^{2} (a - c) + c^{2} (b - a) + (b - a) (c - b) (a - c) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} c - a^{2} b + b^{2} a - b^{2} c + c^{2} b - c^{2} a + a b c - a b^{2} - a^{2} c + a^{2} b - b c^{2} + b^{2} c + a c^{2} - a b c \end{array}$

$\begin{array}{l} = 0 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

طول وسط یک پاره خط

اگر $p$ وسط پاره خط $A B$ باشد، داریم:

محور - پیمان گردلو

$x_{p} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$

تمرین

اگر $\bar{A B} = 4$ باشد، و طول وسط $A B$ مساوی $(3)$ باشد، آن‌گاه:

طول نقاط $A, B$ را تعيين كنيد.

$\begin{array}{l} \bar{A B} = 4 \Rightarrow x_{B} - x_{A} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{p} = 3 \Rightarrow \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 3 \Rightarrow x_{A} + x_{B} = 6 \end{array}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} x_{B} - x_{A} = 4 \\ x_{A} + x_{B} = 6 \end{cases}〉 \{\begin{matrix} x_{A} = 1 \\ x_{B} = 5 \end{matrix} \end{matrix}$

تمرین

نقطه $M$ وسط پاره خط $A B$ است، صحت رابطه زیر را تحقیق کنید:

${\bar{M A}}^{2} - {\bar{M B}}^{2} = 0$

$\begin{array}{l} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \Rightarrow 2 x_{M} = x_{A} + x_{B} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\bar{M A}}^{2} - {\bar{M B}}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x_{A} - x_{M})}^{2} - {(x_{B} - x_{M})}^{2} = ({x_{A}}^{2} - 2 x_{A} x_{M} + {x_{M}}^{2}) - ({x_{B}}^{2} - 2 x_{B} x_{M} + {x_{M}}^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {x_{A}}^{2} - 2 x_{A} x_{M} + {x_{M}}^{2} - {x_{B}}^{2} + 2 x_{B} x_{M} - {x_{M}}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = ({x_{A}}^{2} - {x_{B}}^{2}) + (2 x_{B} x_{M} - 2 x_{A} x_{M}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{A} - x_{B}) (x_{A} + x_{B}) + [2 x_{M} (x_{B} - x_{A})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{A} - x_{B}) (x_{A} + x_{B}) - 2 x_{M} (x_{A} - x_{B}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{A} - x_{B}) [(x_{A} + x_{B}) - 2 x_{M}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{A} - x_{B}) (2 x_{M} - 2 x_{M}) \\ = 0 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر نقطه $M$ بر پاره خط $A B$ روی محور $x^{'} O x$ طوری انتخاب شود که داشته باشیم:

$\frac{\bar{M A}}{\bar{M B}} = k$

طول نقطه $M$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$x_{M} = \frac{k x_{B} - x_{A}}{k - 1}$

اثبات

$\begin{array}{l} \frac{\bar{M A}}{\bar{M B}} = k \\ \Rightarrow \frac{x_{A} - x_{M}}{x_{B} - x_{M}} = k \\ \Rightarrow x_{A} - x_{M} = k x_{B} - k x_{M} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k x_{M} - x_{M} = k x_{B} - x_{A} \\ \Rightarrow (k - 1) x_{M} = k x_{B} - x_{A} \\ \Rightarrow x_{M} = \frac{k x_{B} - x_{A}}{k - 1} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

محور

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

محور

تعریف محور

بردار واحد (یکانی) محور

رابطه شال

اندازه جبری بردار

طول وسط یک پاره خط

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟