محور

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

تعریف محور

محور، خطی است جهت‌دار که روی آن یک نقطه به‌عنوان مبدا و طولی را به‌عنوان واحد اندازه‌گیری اختیار کرده باشیم.

محور - پیمان گردلو

جهت محور از چپ به راست، جهت مثبت و در خلاف آن، جهت منفی است.

معمولا محور را با x'Ox نام‌گذاری می‌کنیم که در آن O مبدا محور است.

در شکل بالا پاره خط OA را با در نظر گرفتن جهت مثبت، محور بردار می‌نامیم و آن را به‌صورت OA و طول بردار را با نماد OA نشان می‌دهیم. 

بردار واحد (یکانی) محور

بردار واحد برداری است به طول واحد که ابتدایش بر مبدا مختصات و جهت آن هم‌جهت با جهت مثبت محور باشد.

محور - پیمان گردلو

در شکل فوق OI بردار یکانی محور است.

اگر A نقطه دل‌خواهی روی محور باشد، طول نقطه A که آن را با xA نشان می‌دهیم، عددی است که در تساوی زیر صدق می‌کند:

OA=xA×OI

  • xA را اندازه جبری OA نیز می‌گویند.
  • اندازه جبری OA را به‌صورت OA¯ نشان می‌دهیم، یعنی OA¯=xA.  

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

محور - پیمان گردلو

طول نقطه A و B و اندازه جبری بردار AB و BA را به‌دست بیاورید.  

xA=OA¯=+3xB=OB¯=2


اندازه جبری بردار AB که با محور x'Ox هم‌راستاست، عددی است حقیقی که اندازه آن طول پاره‌خط AB و علامت آن بر حسب آن‌که بردار AB با محور هم‌جهت یا مختلف‌الجهت باشد، مثبت یا منفی است.


در شکل بالا داریم:

AB¯=5BA¯=+5

نکته

اندازه هندسی AB و BA مساوی است و بردار AB را می‌توان با استفاده از بردار یکه i بر محور x'Ox به‌صورت نشان داد:  

AB=AB¯.i

رابطه شال 

قضیه

اگر A و B و C سه نقطه دل‌خواه بر روی یک محور باشند، همواره داریم: 

AB¯+BC¯=AC¯

اثبات

بر حسب اوضاع نسبی نقاط  A و B و C روی محور، شش حالت ممکن است رخ دهد. 

محور - پیمان گردلو

در شکل 1 درستی رابطه شال بدیهی است. 

در شکل 2 درستی رابطه شال را بررسی می‌کنیم:

AC¯+CB¯=AB¯AC¯=AB¯CB¯AC¯=AB¯BC¯AC¯=AB¯+BC¯


اثبات رابطه شال در اشکال دیگر هم به‌طریق مشابه انجام می‌شود.

نکته

رابطه شال برای بیش از سه نقطه هم قابل تعمیم است:

AB¯+BC¯+CD¯+DE¯+EA¯=0AB¯+BC¯+CD¯+DE¯=EA¯AB¯+BC¯+CD¯+DE¯=AE¯

تمرین

حاصل کسر زیر را به‌دست آورید.

AC¯+CB¯+BD¯DB¯+BC¯+CA¯

AC¯+CB¯+BD¯DB¯+BC¯+CA¯=AD¯DA¯=AD¯AD¯=1

اندازه جبری بردار

قضیه

اندازه جبری برداری که بر یک محور واقع باشد مساوی است با طول انتهای بردار منهای طول ابتدای آن.

اثبات

دو نقطه A و B را روی محور x'Ox در نظر می‌گیریم:  

محور - پیمان گردلو

بر اساس رابطه شال داریم:

OA¯+AB¯=OB¯AB¯=OB¯OA¯AB¯=xBxAAB=AB¯=xBxA

نکته

فاصله دو نقطه واقع بر یک محور

اگر نقطه A به طول xA و نقطه B به طول xB دو نقطه واقع بر یک محور باشند، در این‌صورت فاصله دو نقطه A و B که طول پاره‌خط AB است و از رابطه زیر به‌دست می‌آید:   

AB=xBxA

دریافت مثال

طول وسط یک پاره خط

اگر p وسط پاره خط AB باشد، داریم:

محور - پیمان گردلو

xp=xA+xB2

دریافت مثال

نکته

اگر نقطه M بر پاره خط AB روی محورx'Oxطوری انتخاب شود کهMA¯MB¯=kطول نقطهMبه‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

xM=kxBxAk1

اثبات

MA¯MB¯=kxAxMxBxM=kxAxM=kxBkxMkxMxM=kxBxAk1xM=kxBxAxM=kxBxAk1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

محور

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید