تفاضل دو مجموعه

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 157 مرتبه

تعریف تفاضل دو مجموعه

اگر A و B دو مجموعه دل‌خواه باشند، تفاضل A-B به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

AB=xxAxBx  ,  xABxAxB

A-B مجموعه‌ای است که عضوهای آن متعلق به مجموعه A است ولی متعلق به B نیست.

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

همان‌طور که از نمودارِ ون مشاهده می‌کنید:

AB=AAB

تمرین

تفاضل مجموع‌های زیر را به‌دست آورید.

a,bb

a,bb=a

x,y,za,b

x,y,za,b=x,y,z

bb

bb=

a,c,d,f,qa,f,t,w,z

a,c,d,f,qa,f,t,w,z=c,d,q

a,f,t,w,za,c,d,f,q

a,f,t,w,za,c,d,f,q=t,w,z

a,c,d,f,q1,4,7

a,c,d,f,q1,4,7=a,c,d,f,q=A

تمرین

اگر A=1,2,3,4,5 و B=3,4,5,6 باشد، حاصل  عبارات زیر را به‌دست آورید.

AB

AB=1,2,3,4,53,4,5,6=1,2

BA

BA=3,4,5,61,2,3,4,5=6

ABAB

ABAB=1,2,3,4,5,63,4,5=1,2,6

ABBAAB

ABBAAB

=1,263,4,5

=1,2,63,4,5

=1,2,3,4,5,6

تمرین

نمودارهای داده شده در شکل زیر را به زبان مجموعه بنویسید.

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

AB=A

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

AB=B

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

BA

تمرین

مجموعه‌های داده شده را با هاشور زدن مشخص کنید.

A-B

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

ABBA

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

ABA

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

تمرین

مجموعه‌های زیر را تفسیر کنید.

ZN=...,2,1,0,1,2,...1,2,3,...=0,1,2,3,...

ZN مجموعه عددی است شامل همه‌ عضوهایی که عضو مجموعه Z هستند ولی عضو مجموعه N نیستند.

NZ=1,2,3,......,2,1,0,1,2,...=   

N-Z مجموعه عددی است شامل همه‌ عضوهایی که عضو مجموعه N هستند ولی عضو مجموعه Z نیستند.

WN=0,1,2,3,...1,2,3,...=0

W-N مجموعه عددی است شامل همه‌ عضوهایی که عضو مجموعه W (مجموعه حسابی) هستند ولی عضو مجموعه N نیستند.

قضایای تفاضل دو مجموعه

قضیه

AB=AB'AB=AABAB=B'A'

اثبات

x  ,   xABxAxBxAxB'xAB'AB=AB'AAB=AAB'=AA'B'=AB'=ABB'A'=B'A''=B'A=AB'=AB

قضیه

ABABAB

اثبات

به اثبات ABA می‌پردازیم:

xABxAxB

با توجه به قانون حذف عاطف، داریم: 

xA

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو


به اثبات BAB می‌پردازیم:

xBAxBxA

با توجه به قانون حذف عاطف، داریم: 

xB

تفاضل دو مجموعه - پیمان گردلو

قضیه

ABA=AABB=

اثبات

ABAABA=AABB=AB'B=AB'B=A=

قضیه

ABB=ABABBAAB=AB

اثبات

ABB=AB'B=ABB'B=ABM=ABABABBA=AB'ABBA=AB'BBA=AMBA=ABA=ABA'=AB

قضیه

AA=A=A=A'=MAA=

اثبات

AA=AA'=A=A'=AM=A='=M=MA=MA'=A'A=A'=

قضیه

ABAB=

اثبات

ABAB=AAB=AAB=AA=AB=AB'=BAB'=BAB=BAB

نتیجه:

ABAB=AAB=BAB=

قضیه

A و B دو مجموعه جدا از هم هستند:

AB=AB=AAB=BA=A

اثبات

فرض کنید AB=، آنگاه: 

AB=AAB=A=A

فرض کنید AB=A، آنگاه: 

AB=ABABA=BA

A و B دو مجموعه جدا از هم هستند:

AB=

قضیه

اشتراک روی تفاصل از چپ توزیع پذیراست:

ABC=ABAC

اثبات

ABAC=ABAC'=ABA'C'=ABA'ABC'=ABC'=ABC'=ABC'=ABC

قضیه

تفاضل از راست بر اشتراک و اجتماع توزیع پذیر است:

ABC=ACBCABC=ACBC

اثبات

ACBC=AC'BC'=ABC'=ABCACBC=AC'BC'=ABC'=ABC

نکته

حالت تعمیم یافته قضیه فوق:

A1A2AnC=A1CA2CAnC   ,   i=1nAiC=i=1nAiCA1A2...AnC=A1CA2C...AnC  ,  i=1nAiC=i=1nAiC

قضیه

ABC=ABACABC=ABAC

اثبات

ABC=ABC'=AB'C'=AB'AC'=ABACABC=ABC'=AB'C'=AB'AC'=ABAC

نکته

حالت تعمیم یافته قضیه فوق:

AB1B2Bn=AB1AB2ABn  ,  Ai=1nBi=i=1nABiAB1B2Bn=AB1AB2ABn  ,  Ai=1nBi=i=1nABi

قضیه

تفاضل از سمت راست بر خودش توزیع پذیر است:

ABC=ACBC

اثبات

ACBC=AC'BC'=AC'BC''=AC'B'C=AC'B'C=AC'B'=AB'C'=ABC'=ABC

قضیه

ABABA=B

اثبات

ABA=ABA'=AB=B

قضیه

ABC=ACB

اثبات

ABC=AB'C=ACB'=ACB

قضیه

BAB=AB

اثبات

BAB=BAB'=BA=AB

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تفاضل دو مجموعه

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید