سرفصل‌های این مبحث

مجموعه در ریاضی

تفاضل متقارن دو مجموعه

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1402

دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف تفاضل متقارن دو مجموعه

$A$ و $B$ دو مجموعه دل‌خواه می‌باشند.

تفاضل متقارن این دو مجموعه که با نماد $A Δ B$ نشان داده می‌شود، عبارت است از:

$A Δ B = (A - B) \cup (B - A)$

$A Δ B$ مجموعه‌ای است که تمام عضوهای غیر مشترک $A$ و $B$ را شامل می‌شود.

همان‌طور که در نمودار وِن مشاهده می‌کنید:

$A Δ B = (A - B) \cup (B - A)$

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} A = \{1, 2, 3, 4\} \\ B = \{3, 4, 5, 6\} \end{cases}$

$A Δ B$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} A Δ B \\ = (A \cup B) - (A \cap B) \\ = \{1, 2, \dots, 6\} - \{3, 4\} \\ = \{1, 2, 5, 6\} \end{array}$

قضایای تفاضل متقارن دو مجموعه

قضیه

$A Δ B = B Δ A$

اثبات

$A Δ B = (A - B) \cup (B - A) = (B - A) \cup (A - B) = B Δ A$

قضیه

$A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C$

اثبات

$A Δ B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A \cup B) \cap {(A \cap B)}^{'} = (A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'})$

$\begin{array}{l} (A Δ B) Δ C \\ = \{[(A Δ B)] \cup C\} - \{[(A Δ B)] \cap C\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{[(A Δ B)] \cup C\} \cap {\{[(A Δ B)] \cap C\}}^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{[(A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'})] \cup C\} \cap {\{[(A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'})] \cap C\}}^{'} \end{array}$

$= \{[(A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'})] \cup C\} \cap \{{[(A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'})]}^{'} \cup C^{'}\}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C) \cap \{[{(A \cup B)}^{'} \cup {(A^{'} \cup B^{'})}^{'}] \cup C^{'}\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C) \cap \{[(A^{'} \cap B^{'}) \cup (A \cap B)] \cup C^{'}\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C) \cap \{[(A^{'} \cap B^{'}) \cup A] \cap [(A^{'} \cap B^{'}) \cup B] \cup C^{'}\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C) \cap \{[(B^{'} \cup A) \cap (A^{'} \cup B)] \cup C^{'}\} \end{array}$

$= (A \cup B \cup C) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C) \cap (A \cup B^{'} \cup C^{'}) \cap (A^{'} \cup C^{'} \cup B); (I)$

$\begin{array}{l} A Δ (B Δ C) \\ = A Δ [(B \cup C) - (B \cap C)] \\ = A Δ [(B \cup C) \cap {(B \cap C)}^{'}] \\ = A Δ [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})] \end{array}$

$= \{A \cup [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]\} - \{A \cap [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]\}$

$\begin{array}{l} = \{A \cup [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]\} \cap {\{A \cap [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]\}}^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{A \cup [(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]\} \cap \{A^{'} \cup {[(B \cup C) \cap (B^{'} \cup C^{'})]}^{'}\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A \cup B^{'} \cup C^{'}) \cap \{A^{'} \cup [(B^{'} \cap C^{'}) \cup (B \cap C)]\} \end{array}$

$= (A \cup B \cup C) \cap (A \cup B^{'} \cup C^{'}) \cap \{A^{'} \cup [(B^{'} \cap C^{'}) \cup B] \cap [(B^{'} \cap C^{'}) \cup C]\}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A \cup B^{'} \cup C^{'}) \cap \{A^{'} \cup [(C^{'} \cup B) \cap (B^{'} \cup C)]\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \cup B \cup C) \cap (A \cup B^{'} \cup C^{'}) \cap (A^{'} \cup C^{'} \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'} \cup C); (I I) \end{array}$

$(I), (I I) \Rightarrow (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)$

قضیه

$A Δ \emptyset = A$

اثبات

$\begin{matrix} A Δ \emptyset \\ = (A - \emptyset) \cup (\emptyset - A) \\ = (A \cap \emptyset^{'}) \cup (\emptyset \cap A^{'}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} = (A \cap M) \cup \emptyset \\ = A \cup \emptyset \\ = A \end{matrix}$

قضیه

$A Δ A = \emptyset$

اثبات

$\begin{matrix} A Δ A \\ = (A - A) \cup (A - A) \\ = (A \cap A^{'}) \cup (A \cap A^{'}) \\ = \emptyset \cup \emptyset \\ = \emptyset \end{matrix}$

قضیه

$A Δ A^{'} = M, A Δ M = A^{'}$

اثبات

$\begin{array}{l} A Δ A^{'} \\ = (A - A^{'}) \cup (A^{'} - A) \\ = [A \cap {(A^{'})}^{'}] \cup (A^{'} \cap A^{'}) \\ = (A \cap A) \cup (A^{'}) \\ = A \cup A^{'} \\ = M \end{array}$

$\begin{array}{l} A Δ M \\ = (A - M) \cup (M - A) \\ = (A \cap M^{'}) \cup (M \cap A^{'}) \\ = (A \cap \emptyset) \cup (A^{'}) \\ = \emptyset \cup A^{'} \\ = A^{'} \end{array}$

قضیه

$i f A Δ B = A Δ C \Rightarrow B = C$

اثبات

طرفین تساوی $A Δ B = A Δ C$ را از طرف چپ با $A$ ترکیب می‌کنیم، با توجه به خاصیت شرکت‌پذیری $∆$ و تساوی $A Δ A = \emptyset$ داریم:

$\begin{matrix} A Δ (A Δ B) = A Δ (A Δ C) \\ \Rightarrow (A Δ A) Δ B = (A Δ A) Δ C \\ \Rightarrow \emptyset Δ B = \emptyset Δ C \\ \Rightarrow B = C \end{matrix}$

قضیه

$i f A Δ B = \emptyset \Rightarrow A = B$

اثبات

$A Δ B = \emptyset \overset{A Δ A = \emptyset}{\to} A Δ B = A Δ A \Rightarrow B = A$

قضیه

$A \cap (B Δ C) = (A \cap B) Δ (A \cap C)$

اثبات

$\cap$ نسبت به تفاضل متقارن توزیع پذیر است:

$\begin{matrix} A \cap (B Δ C) \\ = (B Δ C) \cap A \\ = (B Δ C) - A^{'} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = (B - A^{'}) Δ (C - A^{'}) \\ = (B \cap A) Δ (C \cap A) \\ = (A \cap B) Δ (A \cap C) \end{matrix}$

یادآوری می‌کنیم که:

$(A Δ B) - C = (A - C) Δ (B - C)$

قضیه

$i f A \cap B = \emptyset \Rightarrow A Δ B = A \cup B$

اثبات

$A Δ B = (A \cup B) - (A \cap B) \overset{A \cap B = \emptyset}{\to} A Δ B = A \cup B$

قضیه

$A Δ B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A - B) \cup (B - A)$

اثبات

$\begin{array}{l} (A \cup B) - (A \cap B) \\ = (A \cup B) \cap (A^{'} \cup B^{'}) \\ = [(A \cup B) \cap A^{'}] \cup [(A \cup B) \cap B^{'}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (B \cap A^{'}) \cup (A \cap B^{'}) \\ = (B - A) \cup (A - B) \\ = (A - B) \cup (B - A) \\ = A Δ B \end{array}$

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید:

$\begin{array}{l} (A Δ B) - C = (A - C) Δ (B - C) \end{array}$

$\begin{array}{l} (A Δ B) - C \\ = [(A - B) \cup (B - A)] - C \\ = [(A - B) \cup (B - A)] \cap C^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(A - B) \cap C^{'}] \cup [(B - A) \cap C^{'}] \\ = [(A - B) - C] \cup [(B - A) - C] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(A - C) - (B - C)] \cup [(B - C) - (A - C)] \end{array}$

$= (A - C) Δ (B - C)$

$\begin{array}{l} (A \cup B) Δ C = (A - C) \cup (B - C) \cup [(C - B) - A] \end{array}$

$\begin{array}{l} (A \cup B) Δ C \\ = [(A \cup B) - C] \cup [C - (A \cup B)] \\ = [(A \cup B) \cap C^{'}] \cup [C \cap {(A \cup B)}^{'}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(A \cap C^{'}) \cup (B \cap C^{'})] \cup [C \cap (A^{'} \cap B^{'})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(A - C) \cup (B - C)] \cup [(C \cap B^{'}) \cap A^{'}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A - C) \cup (B - C) \cup [(C - B) - A] \end{array}$

$\{[{(A \cap {(A^{'} \cap C^{'})}^{'})}^{'} \cup (A - C^{'})] \cap C \cap [{(A - B)}^{'} \cup B^{'}]\} Δ C = \emptyset$

$\begin{array}{l} \{[{(A \cap {(A^{'} \cap C^{'})}^{'})}^{'} \cup (A - C^{'})] \cap C \cap [{(A - B)}^{'} \cup B^{'}]\} Δ C \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{[A^{'} \cup (A^{'} - C) \cup (A - C^{'})] \cap C \cap [{(A \cap B^{'})}^{'} \cup B^{'}]\} Δ C \end{array}$

$= \{[\underset{A^{'}}{\underset{⏟}{A^{'} \cup (A^{'} \cap C^{'})}} \cup (A \cap C)] \cap C \cap [(A^{'} \cup B) \cup B^{'}]\} Δ C$

$\begin{array}{l} = \{[A^{'} \cup (A \cap C)] \cap C \cap [A^{'} \cup (B \cup B^{'})]\} Δ C \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{[(A^{'} \cup A) \cap (A^{'} \cup C)] \cap C \cap [A^{'} \cup M]\} Δ C \end{array}$

$= [M \cap (A^{'} \cup C)] \cap C \cap [(M)] Δ C$

$\begin{array}{l} = [(A^{'} \cup C) \cap C \cap M] Δ C \\ = [(A^{'} \cup C) \cap C] Δ C \\ = C Δ C \end{array}$

$\begin{array}{l} = (C \cup C) - (C \cap C) \\ = C - C \\ = \emptyset \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تفاضل متقارن دو مجموعه

500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مجموعه

تفاضل متقارن دو مجموعه

تعریف تفاضل متقارن دو مجموعه

قضایای تفاضل متقارن دو مجموعه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟