سرفصل‌های این مبحث

مجموعه در ریاضی

افراز یک مجموعه

آخرین ویرایش: 16 بهمن 1403

دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف افراز یک مجموعه

افراز یک مجموعه مانند $A$ عبارت است از زیرمجموعه‌های $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ به‌طوری‌که:

افراز مجموعه - پیمان گردلو

$\forall 1 \leq i \leq n; A_{i} \neq \emptyset$

$\forall i \neq j; A_{i} \cap A_{j} = \emptyset, \{\begin{cases} 1 \leq i \\ j \leq i \end{cases}$

$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdot \cdot \cdot \cup A_{n} = A$

افراز یک مجموعه مانند $A$ لزوما منحصر به فرد نیست.

تمرین

اگر $A = \{x, y, z\}$ باشد، آن‌گاه افرازهای مجموعه $A$ را بنویسید.

افراز اعضای یک عضوی:

$\{x\}, \{y\}, \{z\}$

افراز اعضای یک و دو عضوی:

$\begin{matrix} \{x\}, \{y, z\} \\ \{y\}, \{x, z\} \\ \{z\}, \{x, y\} \end{matrix}$

افراز اعضای سه عضوی:

$\{x, y, z\}$

تمرین

اگر $A = \{a, b, c, d\}$ باشد، آن‌گاه افرازهای مجموعه $A$ را بنویسید.

افراز اعضای یک عضوی:

$\begin{array}{l} \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\} \end{array}$

افراز اعضای یک و سه عضوی:

$\begin{array}{l} \{a\}, \{b, c, d\} \\ \{b\}, \{a, c, d\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \{c\}, \{a, b, d\} \\ \{d\}, \{a, b, c\} \end{array} \end{array}$

افراز اعضای دو عضوی:

$\begin{array}{l} \{a, b\}, \{c, d\} \\ \{a, c\}, \{b, d\} \\ \{a, d\}, \{b, c\} \end{array}$

افراز اعضای دو عضوی و یک عضوی:

$\begin{matrix} \{a\}, \{b\}, \{c, d\} \\ \{a\}, \{c\}, \{b, d\} \\ \{a\}, \{d\}, \{b, c\} \\ \begin{array}{l} \{b\}, \{c\}, \{a, d\} \\ \{b\}, \{d\}, \{a, c\} \\ \{c\}, \{d\}, \{a, b\} \end{array} \end{matrix}$

افراز اعضای چهار عضوی:

$\{a, b, c, d\}$

تمرین

مجموعه $A = \{1, 2, 3, ....9\}$ را در نظر می‌گیریم ، آیا حالات زیر یک افراز از مجموعه $A$ است؟

$\{1, 3, 5\}, \{2, 6\}, \{4, 8, 9\}$

حالت فوق یک افراز مجموعه $A$ نمی‌باشد.

زیرا اجتماع آنها برابر مجموعه $A$ نیست و عضو $7$ در هیچ‌یک از سه مجموعه وجود ندارد.

$\{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6, 8\}, \{5, 7, 9\}$

حالت فوق یک افراز مجموعه $A$ نمی‌باشد.

زیرا مجموعه‌های اول و سوم در عضو $5$ اشتراک دارند.

$\{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6, 8\}, \{7, 9\}$

حالت فوق یک افراز مجموعه $A$ می‌باشد.

زیرا اجتماع عضوها، مجموعه $A$ می‌باشد و هیچ عضو مشترکی در سه مجموعه وجود ندارد.

تمرین

فرض کنیم $X = \{a, b, c, d, e, f, g\}$ کدام‌یک از موارد زیر یک افراز $X$ محسوب می‌شود؟

$\{a, c, e\}, \{b\}, \{d, g\}$

این حالت یک افراز $X$ محسوب نمی‌شود.

$\{a, e, g\}, \{c, d\}, \{b, e, f\}$

این حالت یک افراز $X$ محسوب نمی‌شود.

$\{a, b, e, g\}, \{c\}, \{d, f\}$

این حالت یک افراز $X$ محسوب می‌شود.

$\{a, b, c, d, f, g\}$

این حالت یک افراز $X$ محسوب نمی‌شود.

$\{a\}, \{b, c\}, \{d\}, \{f, g\}, \{e\}$

این حالت یک افراز $X$ محسوب می‌شود.

اعداد بِل

با استفاده از اعداد بل (Bell Numbers) می‌توان تعداد افرازهای ممکن یک مجموعه را محاسبه کرد.

در حالت کلی،

B_{n}

تعداد افرازهای مجموعه ‌ای با

n

عضو است.

فرمول مشخص ساده و صریحی برای

B_{n}

وجود ندارد، اما با کمک رابطه بازگشتی زیر می‌توان تعداد افرازهای ممکن یک مجموعه را به‌دست آورد:

B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) B_{k}

در فرمول فوق

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

نماد انتخاب

k

شی از

n

شی یا همان ترکیب است و با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

تمرین

تعداد افرازهای مجموعه های زیر را مشخص کنید.

مجموعه تهی

$B_{0}$ تعداد افرازهای مجموعه تهی با $0$ عضو می‌باشد.

طبق قرارداد آن را به ‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$B_{0} = 1$

مجموعه یک عضوی

$B_{1}$ تعداد افرازهای مجموعه یک عضوی می‌باشد و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) B_{k}; n = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{0 + 1} = \sum_{k = 0}^{0} (\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}) B_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) B_{0}; B_{0} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{1} = \frac{0!}{0! (0 - 0)!} \times (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{1} = 1 \end{array}$

به‌عنوان نمونه، مجموعه یک عضوی زیر را در نظر بگیرید:

$A = \{a\}$

افرازهای مجموعه یک عضویِ فوق به‌صورت زیر می‌باشد:

$\{a\}$

تعداد افرازهای مجموعه $A$ فقط یک حالت است، یعنی $B_{1} = 1$ می‌باشد.

مجموعه دو عضوی

$B_{2}$ تعداد افرازهای مجموعه دو عضوی می‌باشد و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) B_{k}; n = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{1 + 1} = \sum_{k = 0}^{1} (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix}) B_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) B_{0} + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) B_{1}; B_{1} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{2} = \frac{1!}{0! (1 - 0)!} \times (1) + \frac{1!}{1! (1 - 1)!} \times (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{2} = 1 + 1 \\ \Rightarrow B_{2} = 2 \end{array}$

به‌عنوان نمونه، مجموعه دو عضوی زیر را در نظر بگیرید:

$A = \{a, b\}$

افرازهای مجموعه دو عضویِ فوق به‌صورت زیر می‌باشد:

$\begin{matrix} \{a\}, \{b\} \\ \{a, b\} \end{matrix}$

تعداد افرازهای مجموعه $A$ فقط دو حالت است، یعنی $B_{2} = 2$ می‌باشد.

مجموعه سه عضوی

$B_{3}$ تعداد افرازهای مجموعه سه عضوی می‌باشد و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) B_{k}; n = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{2 + 1} = \sum_{k = 0}^{2} (\begin{matrix} 2 \\ k \end{matrix}) B_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) B_{0} + (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) B_{1} + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) B_{2}; B_{2} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{3} = \frac{2!}{0! (2 - 0)!} \times (1) + \frac{2!}{1! (2 - 1)!} \times (1) + \frac{2!}{2! (2 - 2)!} \times (2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{3} = 1 + 2 + 2 \\ \Rightarrow B_{3} = 5 \end{array}$

مجموعه چهار عضوی

$B_{4}$ تعداد افرازهای مجموعه چهار عضوی می‌باشد و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) B_{k}; n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{3 + 1} = \sum_{k = 0}^{3} (\begin{matrix} 3 \\ k \end{matrix}) B_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{4} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) B_{0} + (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) B_{1} + (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) B_{2} + (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) B_{3}; B_{3} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{4} = \frac{3!}{0! (3 - 0)!} \times (1) + \frac{3!}{1! (3 - 1)!} \times (1) + \frac{3!}{2! (3 - 2)!} \times (2) + \frac{3!}{3! (3 - 3)!} \times (5) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B_{4} = 1 + 3 + 6 + 5 \\ \Rightarrow B_{4} = 15 \end{array}$

نکته

برای دریافت اطلاعات بیشتر در مورد افراز، به این لینک مراجعه کنید.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی 1401

اعداد طبیعی طوری دسته بندی شده‌اند که تعداد عضوهای هر دسته (بجز دسته اول و دوم)، برابر بزرگ‌ ترین عضو دسته قبل است؛یعنی داریم:

$\{1\}, \{2, 3\}, \{4, 5, 6\}, \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}, ...$

میانگین عضوهای دسته سیزدهم، کدام است؟

$2304 / 5$
$3072 / 5$
$4608 / 5$
$6144 / 5$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

مجموعه $A = \{1, 2, 3, 4\}$ را به چند طریق می‌توان افراز کرد که اعداد $3, 4$ در یک مجمموعه باشند؟

$5$
$7$
$9$
$11$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

مجموعه $A = \{\{1, 2, 3, 4, \dots\}\}$ چند عضو دارد؟

$1$
$2$
$4$
بی شمار

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

مجموعه $A = \{a, \{a\}, \{a, a\}, \{a, a, a\}, \dots\}$ چند عضو دارد؟

$1$
$2$
بی شمار
نمی توان تشخیص داد

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

تعداد افرازهای مجموعه $7$ عضوی چندتا است؟

$877$
$778$
$888$
$764$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مجموعه

افراز یک مجموعه

تعریف افراز یک مجموعه

اعداد بِل

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟