سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق ضمنی

آخرین ویرایش: 19 آبان 1403

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

تابع با ضابطه $y = x^{3} + x + 1$ را در نظر می‌گیریم که این معادله، ضابطه $f$ را به طور صریح تعریف می‌کند و $y$ مستقیما بر حسب $x$ نوشته شده است.

اگر معادله $y^{5} + 3 y^{2} - 2 x^{2} + 4 = 0$ را در نظر بگیریم:

نمی‌توانیم $y$ را بر حسب $x$ حل کنیم با این که ممکن است چند تابع $f$ به‌صورت $y = f (x)$ وجود داشته باشد که این معادله را برقرار کند.

معادله ${[f (x)]}^{5} + 3 {[f (x)]}^{2} - 2 x^{2} + 4 = 0$ برای تمام مقادیر $x$ واقع در دامنه $f$ برقرار باشد، معادله تابع $f$ را به طور ضمنی تعریف می‌کند.

این معادله به همین صورت یک تابع نخواهد بود بلکه رابطه است.

هر معادله ضمنی را می‌توان به صورت $f (x, y) = 0$ نشان داد.

تمرین

مشتق رابطه زیر را بدست می‌آوریم:

$y^{4} + x^{2} + 1 = 0$

با کمی دقت مشاهده می‌کنیم که رابطه فوق هیچ تابعی را مشخص نمی‌کند، زیرا در $y^{4} = - x^{2} - 1$ طرف اول نامنفی و طرف دوم منفی است و هیچ نقطه ای وجود ندارد که مختصات آن در این رابطه صدق کند لذا مشتق نیز وجود ندارد.

تمرین

رابطه ضمنی $y^{2} = x^{2}$ را در نظر بگیرید:

چند تابع پیوسته با دامنه $R$ می‌توان پیدا کرد که در رابطه ضمنی فوق صدق کنند؟

$y^{2} = x^{2} \Rightarrow |y| = |x| \Rightarrow \{\begin{cases} y = x \\ y = - x \\ y = |x| \\ y = - |x| \end{cases}$

رابطه فوق، مشخص کننده چهار تابع پیوسته می‌باشد.

نمودار آنها را رسم کنید.

مشتق ضمنی - پیمان گردلو

چند تابع مشتق پذیر در این رابطه صدق می‌کند؟

از این چهار تابع فقط توابع $y = x$ و $y = - x$ همواره مشتق پذیر هستند و توابع $y = |x|$ و $y = - |x|$ در در صفر مشتق پذیر نیستند.

مشتق تابع ضمنی

اگر $f (x, y) = 0$ باشد، مشتق $y$ نسبت به $x$ و یا مشتق $x$ نسبت به $y$ از روابط زیر به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} {y_{x}}^{'} = - \frac{{f_{x}}^{'}}{{f_{y}}^{'}} \end{array}$

${x_{y}}^{'} = - \frac{{f_{y}}^{'}}{{f_{x}}^{'}}$

${f_{x}}^{'}$ مشتق جملات نسبت به $x$ است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به $x$ مشتق بگیریم پس $y$ را ثابت فرض می‌کنیم.
${f_{y}}^{'}$ مشتق جملات نسبت به $y$ است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به $y$ مشتق بگیریم پس $x$ را ثابت فرض می‌کنیم.

تمرین

مشتق ضمنی روابط زیر را به‌دست آورید.

$x y = 1$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

${(x y)}^{'} = (1)'$

$\Rightarrow y^{'} = - \frac{y}{x}$

$\Rightarrow y^{'} = - \frac{\frac{1}{x}}{x} = - \frac{1}{x^{2}}$

توجه:

$x y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{x}$

$x^{2} + y^{2} = 9$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

${(x^{2} + y^{2})}^{'} = (9)'$

$\Rightarrow {(x^{2})}^{'} + {(y^{2})}^{'} = 0$

$\Rightarrow 2 x + 2 {(y)}^{1} y^{'} = 0$

$\Rightarrow \begin{aligned} y^{'} & = - \frac{x}{y} \end{aligned}$

$x^{3} y^{5} + 3 x = 8 y^{3} + 1$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

$3 x^{2} y^{5} + 5 x^{3} y^{4} y^{'} + 3 = 24 y^{2} y^{'}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x^{2} y^{5} + 3 & = 24 y^{2} y^{'} - 5 x^{3} y^{4} y^{'} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x^{2} y^{5} + 3 & = (24 y^{2} - 5 x^{3} y^{4}) y^{'} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{'} & = \frac{3 x^{2} y^{5} + 3}{24 y^{2} - 5 x^{3} y^{4}} \end{aligned}$

$e^{2 x + 3 y} = x^{2} - \ln (x y^{3})$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

$e^{2 x + 3 y} (2 + 3 y^{'}) = 2 x - \frac{y^{3} + 3 x y^{2} y^{'}}{x y^{3}}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 e^{2 x + 3 y} + 3 y^{'} e^{2 x + 3 y} & = 2 x - \frac{y^{3}}{x y^{3}} - \frac{3 x y^{2} y^{'}}{x y^{3}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 e^{2 x + 3 y} + 3 y^{'} e^{2 x + 3 y} & = 2 x - \frac{1}{x} - \frac{3 y^{'}}{y} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (3 e^{2 x + 3 y} + 3 y^{- 1}) y^{'} & = 2 x - x^{- 1} - 2 e^{2 x + 3 y} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{'} & = \frac{2 x - x^{- 1} - 2 e^{2 x + 3 y}}{3 e^{2 x + 3 y} + 3 y^{- 1}} \end{aligned}$

تمرین

ثابت کنید:

$i f y = x^{n} \Rightarrow y^{'} = n x^{n - 1}$

$y = x^{n}$

$\begin{aligned} \Rightarrow l n y & = l n x^{n} \\ \Rightarrow \ln y & = n \ln x \end{aligned}$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

$\Rightarrow \begin{aligned} \frac{y^{'}}{y} & = n \frac{1}{x} \end{aligned}$

$\Rightarrow y^{'} = y \frac{n}{x}; y = x^{n}$

$\Rightarrow y^{'} = x^{n} (\frac{n}{x})$

$\Rightarrow y^{'} = n x^{n - 1}$

$i f \begin{aligned} y & = f (x) g (x) \end{aligned} \Rightarrow y^{'} = g (x) f^{'} (x) + f (x) g^{'} (x)$

$\begin{aligned} y & = f (x) g (x) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow l n (y) & = l n (f (x) g (x)) \end{aligned}$

$\Rightarrow \ln (y) = \ln f (x) + \ln g (x)$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

$\Rightarrow \frac{y^{'}}{y} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} + \frac{g^{'} (x)}{g (x)}$

$\Rightarrow y^{'} = y (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} + \frac{g^{'} (x)}{g (x)}); \begin{aligned} y & = f (x) g (x) \end{aligned}$

$\Rightarrow y^{'} = f (x) g (x) (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} + \frac{g^{'} (x)}{g (x)})$

$\Rightarrow y^{'} = g (x) f^{'} (x) + f (x) g^{'} (x)$

$i f \begin{aligned} y & = \frac{f (x)}{g (x)} \end{aligned} \Rightarrow y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{(g (x))}^{2}}$

$\begin{aligned} y & = \frac{f (x)}{g (x)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow l n y & = l n (\frac{f (x)}{g (x)}) \end{aligned}$

$\Rightarrow \ln y = \ln f (x) - \ln g (x)$

از طرفین مشتق می‌گیریم:

$\Rightarrow \frac{y^{'}}{y} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{g^{'} (x)}{g (x)}$

$\Rightarrow y^{'} = y (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{g^{'} (x)}{g (x)}); y = \frac{f (x)}{g (x)}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{'} & = \frac{f (x)}{g (x)} (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{g^{'} (x)}{g (x)}) \end{aligned}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{f^{'} (x)}{g (x)} - \frac{g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x)}{{(g (x))}^{2}} - \frac{f (x) g^{'} (x)}{{(g (x))}^{2}}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{(g (x))}^{2}}$

تمرین

نامساوی زیر را ثابت کنید.

$e^{π} > π^{e}$

$\begin{array}{l} i f y = x^{\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow \ln y = \ln x^{\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow \ln y = \frac{1}{x} . \ln x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{d}{d x} \ln y = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} . \ln x) \\ \Rightarrow \frac{1}{y} . \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x^{2}} . \ln x + \frac{1}{x} . \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (\frac{1}{y} . \frac{d y}{d x}) = y (\frac{- 1}{x^{2}} . \ln x + \frac{1}{x} . \frac{1}{x}); y = x^{\frac{1}{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{x}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}}) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{x}} . \frac{1}{x^{2}} (1 - \ln x); \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{\frac{1}{x}} . \frac{1}{x^{2}} (1 - \ln x) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x^{\frac{1}{x}} . \frac{1}{x^{2}} \neq 0 \\ 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e \end{cases} \end{array}$

$x = e$ طول نقطه بحرانی (طول نقطه ماکزیمم) است.

$y = e^{\frac{1}{e}}$ عرض نقطه ماکزیمم است.

$\begin{array}{l} e^{\frac{1}{e}} > π^{\frac{1}{π}} \\ \Rightarrow {(e^{\frac{1}{e}})}^{e π} > {(π^{\frac{1}{π}})}^{e π} \\ e^{π} > π^{e} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$f (x) = x + \frac{1}{2 x + \frac{1}{2 x + \frac{1}{2 x + \frac{1}{⋮}}}}$

آن‌گاه عبارت زیر را بیابید.

$f (99) \times f^{'} (99)$

$\{\begin{cases} f (x) = x + \frac{1}{g (x)} \Rightarrow \frac{1}{f (x) - x} = g (x) \\ x + f (x) = g (x) \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{1}{f (x) - x} = x + f (x) \\ \Rightarrow f^{2} (x) - x^{2} = 1 \\ \Rightarrow f^{2} (x) = x^{2} + 1 \end{array} \end{matrix}$

از طرفین تساوی فوق نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم:

$\begin{array}{l} 2 f (x) f^{'} (x) = 2 x \\ \Rightarrow f (x) f^{'} (x) = x; x = 99 \\ \Rightarrow f (99) f^{'} (99) = 99 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

کدام گزینه در مورد دو عبارت زیر صحیح است؟

$\{\begin{cases} {3.14}^{π} \\ π^{3.14} \end{cases}$

${3.14}^{π} > π^{3.14}$
${3.14}^{π} = π^{3.14}$
$π^{3.14} > {3.14}^{π}$
${3.14}^{π} = π^{3.14} + 101$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مشتق ضمنی

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

مشتق ضمنی

مقدمه

مشتق تابع ضمنی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟