مشتق ضمنی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

مقدمه:

 تابع با ضابطه y=x3+x+1 را در نظر می‌گیریم که این معادله، ضابطه f را به طور صریح تعریف می‌کند و y مستقیما بر حسب x نوشته شده است.

اگر معادله y5+3y22x2+4=0 را در نظر بگیریم:

نمی‌توانیم y را بر حسب x حل کنیم با این که ممکن است چند تابع f به‌صورت y=fx وجود داشته باشد که این معادله را برقرار کند.

معادله fx5+3fx22x2+4=0 برای تمام مقادیر x واقع در دامنه f برقرار باشد، معادله تابع f را به طور ضمنی تعریف می‌کند.

این معادله به همین صورت یک تابع نخواهد بود بلکه رابطه است.

هر معادله ضمنی را می‌توان به صورت fx,y=0 نشان داد.

تمرین

مشتق رابطه زیر را بدست می‌آوریم:

y4+x2+1=0

با کمی دقت مشاهده می‌کنیم که رابطه فوق هیچ تابعی را مشخص نمی‌کند، زیرا در y4=x21 طرف اول نامنفی و طرف دوم منفی است و هیچ نقطه ای وجود ندارد که مختصات آن در این رابطه صدق کند لذا مشتق نیز وجود ندارد.  

تمرین

رابطه ضمنی y2=x2 را در نظر بگیرید:

چند تابع پیوسته با دامنه R می‌توان پیدا کرد که در رابطه ضمنی فوق صدق کنند؟

y2=x2y=xy=xy=xy=xy=x


رابطه فوق، مشخص کننده چهار تابع پیوسته می‌باشد.

نمودار آنها را رسم کنید.

مشتق ضمنی - پیمان گردلو

چند تابع مشتق پذیر در این رابطه صدق می‌کند؟

از این چهار تابع فقط توابع y=x و y=-x همواره مشتق پذیر هستند و توابع y=x و y=-x در در صفر مشتق پذیر نیستند.

 مشتق تابع ضمنی

اگر fx,y=0 باشد، مشتق y نسبت به x و یا مشتق x نسبت به y از روابط زیر بدست می‌آید:

yx'=fx'fy'xy'=fy'fx'

  • fx' مشتق جملات نسبت به x است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به x مشتق بگیریم پس y را ثابت فرض می‌کنیم. 
  • fy' مشتق جملات نسبت به y است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به y مشتق بگیریم پس x را ثابت فرض می‌کنیم.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق ضمنی

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید