لیست

مشتق ضمنی

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: مشتق در ریاضی
امتیاز:

مقدمه:

 تابع با ضابطه y=x3+x+1 را در نظر می‌گیریم که این معادله، ضابطه f را به طور صریح تعریف می‌کند و y مستقیما بر حسب x نوشته شده است.

اگر معادله y5+3y22x2+4=0 را در نظر بگیریم:

نمی‌توانیم y را بر حسب x حل کنیم با این که ممکن است چند تابع f به‌صورت y=fx وجود داشته باشد که این معادله را برقرار کند.

معادله fx5+3fx22x2+4=0 برای تمام مقادیر x واقع در دامنه f برقرار باشد، معادله تابع f را به طور ضمنی تعریف می‌کند.

این معادله به همین صورت یک تابع نخواهد بود بلکه رابطه است.

هر معادله ضمنی را می‌توان به صورت fx,y=0 نشان داد.

تمرین

مشتق رابطه زیر را بدست می‌آوریم:

y4+x2+1=0

با کمی دقت مشاهده می‌کنیم که رابطه فوق هیچ تابعی را مشخص نمی‌کند، زیرا در y4=x21 طرف اول نامنفی و طرف دوم منفی است و هیچ نقطه ای وجود ندارد که مختصات آن در این رابطه صدق کند لذا مشتق نیز وجود ندارد.  

تمرین

رابطه ضمنی y2=x2 را در نظر بگیرید:

چند تابع پیوسته با دامنه R می‌توان پیدا کرد که در رابطه ضمنی فوق صدق کنند؟

y2=x2y=xy=xy=xy=xy=x


رابطه فوق، مشخص کننده چهار تابع پیوسته می‌باشد.

نمودار آنها را رسم کنید.

مشتق ضمنی - پیمان گردلو

چند تابع مشتق پذیر در این رابطه صدق می‌کند؟

از این چهار تابع فقط توابع y=x و y=-x همواره مشتق پذیر هستند و توابع y=x و y=-x در در صفر مشتق پذیر نیستند.

 مشتق تابع ضمنی

اگر fx,y=0 باشد، مشتق y نسبت به x و یا مشتق x نسبت به y از روابط زیر به‌دست می‌آید:

yx'=fx'fy'xy'=fy'fx'

  • fx' مشتق جملات نسبت به x است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به x مشتق بگیریم پس y را ثابت فرض می‌کنیم. 
  • fy' مشتق جملات نسبت به y است. در این فرمول می‌خواهیم از تابع ضمنی نسبت به y مشتق بگیریم پس x را ثابت فرض می‌کنیم.

تمرین

مشتق ضمنی روابط زیر را به‌دست آورید.

xy=1

از طرفین مشتق می‌گیریم:


xy'=1'


y'=yx


y'= 1xx=1x2


توجه:

xy=1y=1x

x2+y2=9

از طرفین مشتق می‌گیریم:

x2+y2'=9'


x2'+y2'=0


2x+2y1y'=0


y'=xy

x3y5+3x=8y3+1

از طرفین مشتق می‌گیریم:

3x2y5+5x3y4y'+3=24y2y'


3x2y5+3=24y2y'5x3y4y'

3x2y5+3=(24y25x3y4)y'


y'=3x2y5+324y25x3y4

e2x+3y=x2ln(xy3)

از طرفین مشتق می‌گیریم:


e2x+3y(2+3y')=2xy3+3xy2y'xy3

2e2x+3y+3y'e2x+3y=2xy3xy33xy2y'xy3


2e2x+3y+3y'e2x+3y=2x1x3y'y


(3e2x+3y+3y1)y'=2xx12e2x+3y


y'=2xx12e2x+3y3e2x+3y+3y1

تمرین

ثابت کنید:

if  y=xny'=nxn-1

y=xn


lny=lnxnlny=nlnx


از طرفین مشتق می‌گیریم:

y'y=n1x


y'=ynx ; y=xn


y'=xn(nx)


y'=nxn1

if y=f(x)g(x)y'=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)

y=f(x)g(x)


ln(y)=ln(f(x)g(x))


ln(y)=lnf(x)+lng(x)


از طرفین مشتق می‌گیریم:

y'y=f'(x)f(x)+g'(x)g(x)


y'=y(f'(x)f(x)+g'(x)g(x)) ; y=f(x)g(x)


y'=f(x)g(x)(f'(x)f(x)+g'(x)g(x))


y'=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)

if y=f(x)g(x)y'=f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x))2

y=f(x)g(x)


lny=ln(f(x)g(x))


lny=lnf(x)lng(x)


از طرفین مشتق می‌گیریم:

y'y=f'(x)f(x)g'(x)g(x)


y'=y(f'(x)f(x)g'(x)g(x)) ; y=fxgx


y'=f(x)g(x)(f'(x)f(x)g'(x)g(x))


y'=f'(x)g(x)g'(x)f(x)(g(x))2


y'=f'(x)g(x)(g(x))2f(x)g'(x)(g(x))2


y'=f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x))2

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مشتق ضمنی

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید