مشتق تابع معكوس

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

مقدمه: مفهوم تابع معکوس را به‌طور مختصر یادآوری می‌کنیم:

تابع f=x,yy=fx مفروض است، از تعویض جای مولفه‌های اول و دوم زوج مرتب‌ها به رابطه جدیدی می‌رسیم که آن را معکوس تابع f می‌نامیم.

اگر این رابطه را g بنامیم، آنگاه:

g=y,xx,yf

شرط لازم و کافی برای آن‌که f-1 تابع باشد، آن است که f یک به یک باشد. بنابراین اگر f از Df به Rf تابعی یک به یک باشد، آنگاه:

y=fxf1y=x    ;    Df=Rf1Rf=Df1

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو 

در این حالت آنچه تغییر کرده است فقط جای دو محور متغیر مستقل و تابع است که عوض شده است، لذا معادله f و f-1 و حتی نمودارهای آنها یکی هستند، فقط در y=fx ، متغیر x متغیر مستقل است و y تابع است.

ولی در x=f1y، متغیر y متغیر مستقل است و x تابع است یعنی در f-1 محور متغیر مستقل محور yهاست.

تمرین

تابع fx=x3 را در نظر بگیرید.

قرینه نمودار این تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم رسم کنید. 

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

x=f1y=y3

تفاروت این دو تابع در چیست؟

دو تابع y=x3x=y3 هیچ تفاوتی ندارند فقط در تابع اولی متغیر x است و در تابع دومی متغیر y است.


این کاملا مفهوم تابع معکوس را روشن می‌کند، اما مشکلی که وجود دارد آن است که در این حالت محورهای مختصات در f-1 در وضعیت طبیعی نمی‌باشند، محور متغیر مستقل قائم و محور متغیر وابسته افقی است.


این با وضعیت طبیعی محورها در f متفاوت است.


برای آن که به وضعیت طبیعی محورها برگردیم، نقش x و y را تعویض می‌کنیم. 

با تعویض نقش x و y، دو تابع به چه شکل های در می‌آید؟  

دو تابع به صورت های x=f1y و y=f1x تبدیل می‌شود. 


عملی که در اینجا انجام شد، معادل قرینه پیدا کردن نسبت به خط x=y است، اکنون دو تابع و دو نمودار f و f-1 نسبت به خط y=x قرینه می‌باشند. 

قضیه

ضریب زاویه هر خط، تانژانت زاوایه‌ای است که آن خط با جهت مثبت محور متغیر مستقل می‌سازد.

اثبات

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو


اگر خط y=mx+n مماس بر تابع y=fx در نقطه به ‌طول x باشد، آنگاه: 

خط y=mx+n مماس بر تابع معکوس در نقطه‌ای به طول y روی تابع معکوس می‌باشد.

مماس بر تابع و تابع معکوس یکی است فقط متغیر مستقل در آنها متفاوت است.

اگر تابع y=fx در نقطه به ‌طول x مشتق پذیر باشد و f'x=tanα و در این‌صورت f-1 در نقطه ای به‌ طول y مشتق‌پذیر است: 

f1'y=tanβ

در شکل فوق داریم:

α+β=π2                   β=π2α                 tanβ=tanπ2α   tanβ=cotα              tanβ=1tanα                f1'y=1f'x           

 مشتق تابع معکوس

قضیه

اگر f-1 مشتق ‌پذیر باشد، آنگاه مشتق تابع معکوس f به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

f1'y=1f'x

اثبات

روش اول:

f1ofx=xf1fx=xf1fx'=x'f'xf1'fx=1f1'fx=1f'xf1'y=1f'x


روش دوم:

fof1x=xff1x=xff1x'=x'f1x'f'f1x=1f1x'=1f'f1x

یادآوری

اگر a,bf آنگاه b,af-1 و با شرط وجود مشتق ‌ها داریم: 


1- شیب مماس بر تابع معکوس در نقطه ای به طول b روی تابع معکوس برابرعکس شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول a روی تابع می‌باشد.

f1'b=1f'a   ;    f'a0


مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو


اگر f'a=0 خط مماس بر نمودار f در نقطه Aa,b موازی محور x ها خواهد بود و درنتیجه خط مماس بر نمودار f-1 در نقطه Bb,a موازی محور y ها خواهد بود که به معنای آن است که f-1 در b مشتق پذیر نیست. 


2- شیب قائم بر تابع معکوس در نقطه به طول b روی تابع معکوس برابر قرینه شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول a روی تابع می‌باشد:

1f1'b=f'a

مشتق در نقطه به طول b روی تابع معکوس، عکس مشتق خود تابع در نقطه به طول a روی تابع است.

تذکر

اگر f تابعی پیوسته و یک به یک و f'a=0 آنگاه f-1 در نقطه b دارای مشتق متناهی نمی‌باشد و مشتق‌پذیر نیست. 

تمرین

نمودار توابع fx=x1    ;    x1,5f1x=x2+1   ;    x0,2 را در نظر بگیرید.

نمودار توابع فوق را در یک دستگاه مختصات رسم کنید.

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو


اگر خطوط مماس بر نمودارهای این دو تابع را در نقاط A و B بر f و f-1 رسم کنیم، خواهیم دید که دو خط d و d' نسبت به نیمساز ناحیه‌ اول قرینه‌ اند و شیب‌ های d و d' وارون یکدیگرند. 

مشتق تابع معکوس f را در نقطه x=2 بدست آورید.

fx=x1f'x=x1'2x1f'x=12x1f'5=1251f'5=14f1x=gxgx=x2+1g'x=2xg'2=22g'2=4g'2=1f'5

دریافت مثال

نکته

برای محاسبه مشتق دوم f-1 به‌صورت زیر عمل می‌کنیم: 

f1'x=1f'f1xf1''x=f1'xf''f1xf'f1x2f1''x=1f'f1xf''f1xf'f1x2

f1''x=f''f1xf'f1x3f1''x=f''yf'y3

دریافت مثال

 زاویه بین تابع و تابع معکوس در نقاط تلاقی

بنابر خاصیت تابع معکوس، اگر تابعی خط y=x را در نقطه‌ای قطع کند، تابع معکوس آن نیز خط y=x را در همان نقطه قطع می‌کند، اما توجه داشته باشیم که ممکن است تابعی، تابع معکوس خود را در نقطه یا نقاطی قطع کند که روی خط y=x نباشند.

برای پیدا کردن زاویه بین تابع و تابع معکوس وقتی روی خط y=x متقاطع باشند، می‌توانیم زاویه بین تابع و خط y=x را پیدا کرده سپس آن را دو برابر کنیم.

به طور کلی اگر نمودار تابع f نمودار تابع معکوس خود را در نقطه‌ ای به مختصات a,b قطع کند، a,b هم روی تابع و هم روی تابع معکوس است.

تعریف: شیب مماس بر تابع در نقطه a,b برابر m1=f'a و شیب مماس بر تابع معکوس در همان نقطه a,b یعنی f1'a برابر m2=1f'b است. بنابراین زاویه بین دو تابع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

tanα=m1m21+m1m2

تمرین

زاویه بین تابع fx=-x3 و معکوس آن را در نقطه تلاقی با طول مثبت پیدا کنید.

y=x3x3=yx=y3f1x=x3


معادله تقاطع دو تابع فوق و مختصات نقاط تلاقی آنها را بدست می‌آوریم:

y=x3y=x3

x3=x3x3=x3x9=xx9x=0xx81=0x=0x8=1x=±1


مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

چون طول نقطه مثبت اختیار شده است پس 1,-1 نقطه مورد نظر است:

fx=x3f'x=3x2x=1f'1=m1=3m2=f1'1=1f'1=13tanα=m1m21+m1m2tanα=3+131+1=43α=Arctan43

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق تابع معكوس

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید