سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق تابع معكوس

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

مفهوم تابع معکوس را به‌طور مختصر یادآوری می‌کنیم:

تابع $f = \{(x, y) |y = f (x)\}$ مفروض است، از تعویض جای مولفه‌های اول و دوم زوج مرتب‌ها به رابطه جدیدی می‌رسیم که آن را معکوس تابع $f$ می‌نامیم.

اگر این رابطه را $g$ بنامیم، آنگاه:

$g = \{(y, x) |(x, y) \in f\}$

شرط لازم و کافی برای آن‌که $f^{- 1}$ تابع باشد، آن است که $f$ یک به یک باشد. بنابراین اگر $f$ از $D_{f}$ به $R_{f}$ تابعی یک به یک باشد، آنگاه:

$y = f (x) \Leftrightarrow f^{- 1} (y) = x; \{\begin{cases} D_{f} = R_{f^{- 1}} \\ R_{f} = D_{f^{- 1}} \end{cases}$

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

در این حالت آنچه تغییر کرده است فقط جای دو محور متغیر مستقل و تابع است که عوض شده است، لذا معادله $f$ و $f^{- 1}$ و حتی نمودارهای آنها یکی هستند، فقط در $y = f (x)$ ، متغیر $x$ متغیر مستقل است و $y$ تابع است.

ولی در $x = f^{- 1} (y)$ ، متغیر $y$ متغیر مستقل است و $x$ تابع است یعنی در $f^{- 1}$ محور متغیر مستقل محور $y$ هاست.

تمرین

تابع $f (x) = x^{3}$ را در نظر بگیرید.

قرینه نمودار این تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم رسم کنید.

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

$x = f^{- 1} (y) = \sqrt[3]{y}$

تفاروت این دو تابع در چیست؟

دو تابع $\{\begin{cases} y = x^{3} \\ x = \sqrt[3]{y} \end{cases}$ هیچ تفاوتی ندارند فقط در تابع اولی متغیر $x$ است و در تابع دومی متغیر $y$ است.

این کاملا مفهوم تابع معکوس را روشن می‌کند، اما مشکلی که وجود دارد آن است که در این حالت محورهای مختصات در $f^{- 1}$ در وضعیت طبیعی نمی‌باشند، محور متغیر مستقل قائم و محور متغیر وابسته افقی است.

این با وضعیت طبیعی محورها در $f$ متفاوت است.

برای آن که به وضعیت طبیعی محورها برگردیم، نقش $x$ و $y$ را تعویض می‌کنیم.

با تعویض نقش $x$ و $y$ ، دو تابع به چه شکل های در می‌آید؟

دو تابع به صورت های $x = f^{- 1} (y)$ و $y = f^{- 1} (x)$ تبدیل می‌شود.

عملی که در اینجا انجام شد، معادل قرینه پیدا کردن نسبت به خط $x = y$ است، اکنون دو تابع و دو نمودار $f$ و $f^{- 1}$ نسبت به خط $y = x$ قرینه می‌باشند.

قضیه

ضریب زاویه هر خط، تانژانت زاوایه‌ای است که آن خط با جهت مثبت محور متغیر مستقل می‌سازد.

اثبات

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

اگر خط $y = m x + n$ مماس بر تابع $y = f (x)$ در نقطه به ‌طول $x$ باشد، آنگاه:

خط $y = m x + n$ مماس بر تابع معکوس در نقطه‌ای به طول $y$ روی تابع معکوس می‌باشد.

مماس بر تابع و تابع معکوس یکی است فقط متغیر مستقل در آنها متفاوت است.

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه به ‌طول $x$ مشتق پذیر باشد و $f^{'} (x) = \tan α$ و در این‌صورت $f^{- 1}$ در نقطه ای به‌ طول $y$ مشتق‌پذیر است:

${(f^{- 1})}^{'} (y) = \tan β$

در شکل فوق داریم:

$\begin{matrix} α + β = \frac{π}{2} \\ \Rightarrow β = \frac{π}{2} - α \\ \Rightarrow \tan β = \tan (\frac{π}{2} - α) \\ \Rightarrow \tan β = \cot α \\ \Rightarrow \tan β = \frac{1}{\tan α} \\ \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)} \end{matrix}$

مشتق تابع معکوس

قضیه

اگر $f^{- 1}$ مشتق ‌پذیر باشد، آنگاه مشتق تابع معکوس $f$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

${(f^{- 1})}^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)}$

اثبات

روش اول:

$\begin{array}{l} (f^{- 1} o f) (x) = x \\ \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) = x \\ \Rightarrow {[f^{- 1} (f (x))]}^{'} = {(x)}^{'} \\ \Rightarrow f^{'} (x) {(f^{- 1})}^{'} (f (x)) = 1 \\ \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (f (x)) = \frac{1}{f^{'} (x)} \\ \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)} \end{array}$

روش دوم:

$\begin{array}{l} (f o f^{- 1}) (x) = x \\ \Rightarrow f (f^{- 1} (x)) = x \\ \Rightarrow {[f (f^{- 1} (x))]}^{'} = {(x)}^{'} \\ \Rightarrow {(f^{- 1} (x))}^{'} \cdot f^{'} (f^{- 1} (x)) = 1 \\ \Rightarrow {[f^{- 1} (x)]}^{'} = \frac{1}{f^{'} [f^{- 1} (x)]} \end{array}$

یادآوری

اگر $(a, b) \in f$ آنگاه $(b, a) \in f^{- 1}$ و با شرط وجود مشتق ‌ها داریم:

1- شیب مماس بر تابع معکوس در نقطه ای به طول $b$ روی تابع معکوس برابرعکس شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول $a$ روی تابع می‌باشد.

${(f^{- 1})}^{'} (b) = \frac{1}{f^{'} (a)}; f^{'} (a) \neq 0$

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

اگر $f^{'} (a) = 0$ خط مماس بر نمودار $f$ در نقطه $A (a, b)$ موازی محور $x$ ها خواهد بود و درنتیجه خط مماس بر نمودار $f^{- 1}$ در نقطه $B (b, a)$ موازی محور $y$ ها خواهد بود که به معنای آن است که $f^{- 1}$ در $b$ مشتق پذیر نیست.

2- شیب قائم بر تابع معکوس در نقطه به طول $b$ روی تابع معکوس برابر قرینه شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول $a$ روی تابع می‌باشد:

$\frac{- 1}{{(f^{- 1})}^{'} (b)} = - f^{'} (a)$

مشتق در نقطه به طول $b$ روی تابع معکوس، عکس مشتق خود تابع در نقطه به طول $a$ روی تابع است.

تذکر

اگر $f$ تابعی پیوسته و یک به یک و ${f^{'}}_{} (a) = 0$ آنگاه $f^{- 1}$ در نقطه $b$ دارای مشتق متناهی نمی‌باشد و مشتق‌پذیر نیست.

تمرین

نمودار توابع $\{\begin{cases} f (x) = \sqrt{x - 1}; x \in [1, 5] \\ f^{- 1} (x) = x^{2} + 1; x \in [0, 2] \end{cases}$ را در نظر بگیرید.

نمودار توابع فوق را در یک دستگاه مختصات رسم کنید.

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

اگر خطوط مماس بر نمودارهای این دو تابع را در نقاط $A$ و $B$ بر $f$ و $f^{- 1}$ رسم کنیم، خواهیم دید که دو خط $d$ و $d^{'}$ نسبت به نیمساز ناحیه‌ اول قرینه‌ اند و شیب‌ های $d$ و $d^{'}$ وارون یکدیگرند.

مشتق تابع معکوس $f$ را در نقطه $x = 2$ بدست آورید.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = \sqrt{x - 1} \\ f^{'} (x) = \frac{{(x - 1)}^{'}}{2 \sqrt{x - 1}} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} \Rightarrow f^{'} (5) = \frac{1}{2 \sqrt{5 - 1}} \Rightarrow f^{'} (5) = \frac{1}{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f^{- 1} (x) = g (x) \\ g (x) = x^{2} + 1 \Rightarrow g^{'} (x) = 2 x \Rightarrow g^{'} (2) = 2 (2) \Rightarrow g^{'} (2) = 4 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} g^{'} (2) = \frac{1}{f^{'} (5)} \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

برای محاسبه مشتق دوم $f^{- 1}$ به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {(f^{- 1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(f^{- 1})}^{' '} (x) = \frac{- {(f^{- 1})}^{'} (x) f^{''} (f^{- 1} (x))}{{(f^{'} (f^{- 1} (x)))}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow {(f^{- 1})}^{' '} (x) = - \frac{\frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))} \cdot f^{''} (f^{- 1} (x))}{{(f^{'} (f^{- 1} (x)))}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(f^{- 1})}^{' '} (x) = - \frac{f^{''} (f^{- 1} (x))}{{[f^{'} (f^{- 1} (x))]}^{3}} \end{array}$

$\Rightarrow {(f^{- 1})}^{' '} (x) = - \frac{f^{''} (y)}{{[f^{'} (y)]}^{3}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

زاویه بین تابع و تابع معکوس در نقاط تلاقی

بنابر خاصیت تابع معکوس، اگر تابعی خط $y = x$ را در نقطه‌ای قطع کند، تابع معکوس آن نیز خط $y = x$ را در همان نقطه قطع می‌کند.

اما توجه داشته باشیم که ممکن است تابعی، تابع معکوس خود را در نقطه یا نقاطی قطع کند که روی خط $y = x$ نباشند.

برای پیدا کردن زاویه بین تابع و تابع معکوس وقتی روی خط $y = x$ متقاطع باشند، می‌توانیم زاویه بین تابع و خط $y = x$ را پیدا کرده سپس آن را دو برابر کنیم.

به طور کلی اگر نمودار تابع $f$ نمودار تابع معکوس خود را در نقطه‌ ای به مختصات $(a, b)$ قطع کند، $(a, b)$ هم روی تابع و هم روی تابع معکوس است.

تعریف

شیب مماس بر تابع در نقطه $(a, b)$ برابر $m_{1} = f^{'} (a)$ و شیب مماس بر تابع معکوس در همان نقطه $(a, b)$ یعنی ${(f^{- 1})}^{'} (a)$ برابر $m_{2} = \frac{1}{f^{'} (b)}$ است.

بنابراین زاویه بین دو تابع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\tan α = |\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}|$

تمرین

زاویه بین تابع $f (x) = - x^{3}$ و معکوس آن را در نقطه تلاقی با طول مثبت پیدا کنید.

$y = - x^{3} \Rightarrow x^{3} = - y \Rightarrow x = - \sqrt[3]{y} \Rightarrow f^{- 1} (x) = - \sqrt[3]{x}$

معادله تقاطع دو تابع فوق و مختصات نقاط تلاقی آنها را بدست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} y = - x^{3} \\ y = - \sqrt[3]{x} \end{cases}$

$- x^{3} = - \sqrt[3]{x} \Rightarrow x^{3} = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x^{9} = x \Rightarrow x^{9} - x = 0 \Rightarrow x (x^{8} - 1) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x^{8} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{cases}$

مشتق تابع معكوس - پیمان گردلو

چون طول نقطه مثبت اختیار شده است پس $(1, - 1)$ نقطه مورد نظر است:

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = - 3 x^{2} \overset{x = 1}{\to} f^{'} (1) = m_{1} = - 3 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} m_{2} = {(f^{- 1})}^{'} (1) = \frac{1}{f^{'} (- 1)} = - \frac{1}{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \tan α = |\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}| \Rightarrow \tan α = |\frac{- 3 + \frac{1}{3}}{1 + 1}| = \frac{4}{3} \Rightarrow α = A r c \tan \frac{4}{3} \end{array}$