مشتق تابع پارامتری

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

منحنی‌های پارامتری

هرگاه مختصات x و y از نقطه غیرمشخص یک منحنی بر حسب پارامتر t به‌وسیله معادلات x=fty=gt داده شوند، گوئیم منحنی به‌صورت پارامتری مشخص شده است.

معادلات پارامتری x=at+by=a't+b' یک خط راست را مشخص می‌کند. 

معادلات پارامتری x=Rsinty=Rcost معادلات پارامتری دایره x2+y2=R2 است.

نکته

1- برای تبدیل معادلات پارامتری به معادلات صریح یا ضمنی باید پارامتر t را بین معادلات پارامتری حذف کرد و اگر امکان داشته باشد رابطه‌ ای مستقل از t بین x و y بدست آورد.

2- اگر یکی از معادلات پارامتری شامل t نباشد با شرایط معادله دیگر، همان معادله مکان نقطه را مشخص می‌کند. 

 مشتق تابع پارامتری

اگر یک منحنی بر حسب پارامتر t به‌وسیله معادلات x=fty=gt داده شوند، برای تعیین مشتق y نسبت به x داریم:

y'x=dydx= dydt dxdty'x=y'tx't

تمرین

معادلات ضمنی منحنی‌های پارامتری زیر را تعيين كنيد.

x=Rsinty=Rcost

x=Rsint    x2=R2sin2t  y=Rcost   y2=R2cos2tx2+y2=R2sin2t+R2cos2tx2+y2=R2sin2t+R2cos2tx2+y2=R2sin2t+cos2tx2+y2=R2


معادله يک دايره است.

x=sinty=sin2t

y=sin2ty=2sintcost      ;    x=sinty=2xcosty=2x1sin2ty=2x1x2y2=4x21x2     ;    x1

x=2t1+t2y=1t21+t2

if    t=tanα      x=2tanα1+tan2αx=sin2αx2=sin22αy=1tan2α1+tan2αy=cos2αy2=cos22αx2+y2=sin22α+cos22αx2+y2=1


معادله، دايره‌ای است به مركز 
0,0 و شعاع 1 است.

تمرین

معادله مكان نقطه زیر را تعيين كنيد:

x=sinty=1

1sint11x11x1y=1


مشتق تابع پارامتری - پیمان گردلو

تمرین

مشتق منحنی به‌معادلات پارامتری زير را تعيين كنيد.

x=t2+2t1y=t33t+2

y'x=y'txt=3t232t+2=3t1t+12t1=32t+1    ,   t1

x=asinty=bcost

y'x=y'tx't=bsintacost=batant

x=4acos3ty=4asin3t

y'x=y'tx't=4a×3sin2tcost4a×3cos2tsint=sintcost=tant  :  tkπ+π2

x=1sinty=1+2cost

y'x=y'tx't=2sintcost=2tant

تمرین

اگر داشته باشیم:

x=2sint1y=4cost+2

مطلوب است y'x به‌ازای t=π4.

y'x=y'tx'ty'x=4sint2costy'x=2tant      ;    if  t=π4y'x=2tanπ4y'x=2

تمرین

اگر داشته باشیم:

x=Arcsinty=1t2

مطلوب است y'x در نقطه‌‌ای به طول π6.

if   x=π6π6=Arcsintt=12y'x=y'tx'ty'x= 2t21t2 11t2y'x=t        ;      t=12y'x=12

برای ارسال نظر وارد سایت شوید