سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق تابع پارامتری

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

منحنی‌ های پارامتری

هرگاه مختصات $x$ و $y$ از نقطه غیرمشخص یک منحنی بر حسب پارامتر $t$ به‌وسیله معادلات زیر داده شوند، گوئیم منحنی به‌صورت پارامتری مشخص شده است.

$\{\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$

معادلات پارامتری $\{\begin{cases} x = a t + b \\ y = a^{'} t + b^{'} \end{cases}$ یک خط راست را مشخص می‌کند.

معادلات پارامتری $\{\begin{cases} x = R \sin t \\ y = R \cos t \end{cases}$ معادلات پارامتری دایره $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ است.

نکته

1- برای تبدیل معادلات پارامتری به معادلات صریح یا ضمنی باید پارامتر $t$ را بین معادلات پارامتری حذف کرد و اگر امکان داشته باشد رابطه‌ ای مستقل از $t$ بین $x$ و $y$ بدست آورد.

2- اگر یکی از معادلات پارامتری شامل $t$ نباشد با شرایط معادله دیگر، همان معادله مکان نقطه را مشخص می‌کند.

مشتق تابع پارامتری

اگر یک منحنی بر حسب پارامتر $t$ به‌وسیله معادلات $\{\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$ داده شوند، برای تعیین مشتق $y$ نسبت به $x$ داریم:

${y^{'}}_{x} = \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \Rightarrow {y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}}$

تمرین

معادلات ضمنی منحنی‌های پارامتری زیر را تعيين كنيد.

$\{\begin{cases} x = R \sin t \\ y = R \cos t \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = R \sin t \Rightarrow x^{2} = R^{2} \sin^{2} t \\ y = R \cos t \Rightarrow y^{2} = R^{2} \cos^{2} t \end{cases} \\ x^{2} + y^{2} = R^{2} \sin^{2} t + R^{2} \cos^{2} t \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = R^{2} (\sin^{2} t + \cos^{2} t) \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = R^{2} \end{array}$

معادله يک دايره است.

$\{\begin{cases} x = \sin t \\ y = \sin 2 t \end{cases}$

$\begin{array}{l} y = \sin 2 t \\ \Rightarrow y = 2 \sin t \cdot \cos t; x = \sin t \\ \Rightarrow y = 2 x \cdot \cos t \\ \Rightarrow y = 2 x \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} t} \\ \Rightarrow y = 2 x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} \\ \Rightarrow y^{2} = 4 x^{2} (1 - x^{2}); |x| \leq 1 \end{array}$

$\{\begin{cases} x = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f t = \tan α \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} x = \frac{2 \tan α}{1 + \tan^{2} α} \Rightarrow x = \sin 2 α \Rightarrow x^{2} = \sin^{2} 2 α \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} \Rightarrow y = \cos 2 α \Rightarrow y^{2} = \cos^{2} 2 α \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = \sin^{2} 2 α + \cos^{2} 2 α \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

معادله، دايره‌ای است به مركز $(0, 0)$ و شعاع $1$ است.

تمرین

معادله مكان نقطه زیر را تعيين كنيد:

$\{\begin{cases} x = \sin t \\ y = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} - 1 \leq \sin t \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1 \\ \{\begin{cases} - 1 \leq x \leq 1 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}$

مشتق تابع پارامتری - پیمان گردلو

تمرین

مشتق منحنی به‌معادلات پارامتری زير را تعيين كنيد.

$\{\begin{cases} x = - t^{2} + 2 t - 1 \\ y = t^{3} - 3 t + 2 \end{cases}$

${y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{x_{t}} = \frac{3 t^{2} - 3}{- 2 t + 2} = \frac{3 (t - 1) (t + 1)}{- 2 (t - 1)} = \frac{- 3}{2} (t + 1), t \neq 1$

$\{\begin{cases} x = a \sin t \\ y = b \cos t \end{cases}$

${y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} = \frac{- b \sin t}{a \cos t} = - \frac{b}{a} \tan t$

$\{\begin{cases} x = 4 a \cos^{3} t \\ y = 4 a \sin^{3} t \end{cases}$

${y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} = \frac{4 a \times 3 \sin^{2} t \cdot \cos t}{- 4 a \times 3 \cos^{2} t \cdot \sin t} = - \frac{\sin t}{\cos t} = - \tan t : t \neq k π + \frac{π}{2}$

$\{\begin{cases} x = 1 - \sin t \\ y = 1 + 2 \cos t \end{cases}$

${y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} = \frac{- 2 \sin t}{- \cos t} = 2 \tan t$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} x = 2 \sin t - 1 \\ y = 4 \cos t + 2 \end{cases}$

مطلوب است ${y^{'}}_{x}$ به‌ازای $t = \frac{π}{4}$ .

$\begin{array}{l} {y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = \frac{- 4 \sin t}{2 \cos t} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - 2 \tan t; i f t = \frac{π}{4} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - 2 \tan (\frac{π}{4}) \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - 2 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} x = A r c \sin t \\ y = \sqrt{1 - t^{2}} \end{cases}$

مطلوب است ${y^{'}}_{x}$ در نقطه‌‌ای به طول $\frac{π}{6}$ .

$\begin{array}{l} i f x = \frac{π}{6} \Rightarrow \frac{π}{6} = A r c \sin t \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = \frac{\frac{- 2 t}{2 \sqrt{1 - t^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - t; t = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow {y^{'}}_{x} = - \frac{1}{2} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

مشتق تابع پارامتری

منحنی‌ های پارامتری

مشتق تابع پارامتری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟