سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق تابع قدر مطلق

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

مقدمه

در مبحث پیوستگی مشاهده کردیم که اگر تابع $y = f (x)$ در هر نقطه $x = a$ تابعی پیوسته باشد، آنگاه $y = |f (x)|$ هم در نقطه $x = a$ تابعی پیوسته است.

اکنون خواهید دید که ممکن است $y = f (x)$ در نقطه یا نقاطی مشتق پذیر باشد، اما $y = |f (x)|$ در آن نقاط مشتق پذیر نباشد.

ابتدا این مطلب را به طور شهودی بررسی می‌نمائیم:

مشتق تابع قدرمطلق - پیمان گردلو

نقاط $a$ و $b$ تلاقی نمودار $y = f (x)$ با محور $x$ هاست، توجه شود نمودار در نقطه $b$ بر $y = f (x)$ مماس است.

به نمودار $y = |f (x)|$ توجه کنید:

نقطه $b$ در $y = |f (x)|$ بر محور $x$ ها مماس است، بنابراین $y = |f (x)|$ در $b$ مشتق پذیر است.
در نقطه $a$ تابع $y = |f (x)|$ بر محور $x$ ها مماس نیست، بنابراین $y = |f (x)|$ در در این نقطه شکستگی پیدا می‌کند و نقطه زاویه دار است، در نتیجه مشتق پذیر نیست.

در نقاطی مانند $b$ که نمودار $y = f (x)$ بر محور $x$ ها مماس است، لااقل مشتق اول تابع برابر صفر است، یعنی $f^{'} (x) = 0$ است و به بیان دیگر $f (x) = 0$ ریشه مکرر دارد.

در نقاطی مانند $a$ که $f^{'} (a) \neq 0$ است، معادله $f (x) = 0$ ریشه ساده دارد.

مشتق تابع قدرمطلق

قضیه

$i f g (x) = |f (x)| \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) \cdot f (x)}{|f (x)|}$

اثبات

روش اول: با استفاده از فرمول های مشتق، به محاسبه $g^{'} (x)$ می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} g (x) = |f (x)| \\ \Rightarrow g (x) = \sqrt{f {(x)}^{2}} \\ \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{2 f (x) . f^{'} (x)}{2 \sqrt{f {(x)}^{2}}} \\ \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{2 f (x) . f^{'} (x)}{2 |f (x)|} \\ \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) . f (x)}{|f (x)|} \end{array}$

روش دوم: با استفاده از تعریف مشتق، به محاسبه $g^{'} (x)$ می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a}; g (x) = |f (x)| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{|f (x)| - |f (a)|}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{|f (x)| - |f (a)|}{x - a} \times \frac{|f (x)| + |f (a)|}{|f (x)| + |f (a)|} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f^{2} (x) - f^{2} (a)}{x - a} . \frac{1}{|f (x)| + |f (a)|} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} . \frac{f (x) + f (a)}{|f (x)| + |f (a)|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g^{'} (a) = f^{'} (a) . \frac{2 f (a)}{2 |f (a)|} \\ = f^{'} (a) . \frac{f (a)}{|f (a)|} \end{array}$

تمرین

مشتق پذيری توابع زیر را در نقطه داده شده بررسی کنید.

$f (x) = |x|; x = 0$

روش اول)

بررسی پيوستگی در نقطه $x = 1$ :

$f (0) = 0$ : مقدار تابع

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} |x| = 0 \\ f (0) = \lim_{x \to 0} f (x) = 0 \end{array}$

تابع در نقطه $x = 1$ پیوسته است.

بررسی مشتق در نقطه $x = 1$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 \\ {f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{x} = - 1 \end{array}〉 {f^{'}}_{+} (0) \neq {f^{'}}_{-} (0) \end{array}$

تابع در نقطه $x = 1$ مشتق پذیر نیست.

روش دوم)

$f (x) = |x| \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1 \times x}{|x|}$

چون $x = 0$ ريشه ساده تابع است، پس در این نقطه مشتق پذير نمی‌باشد.

$\begin{array}{l} y = |\cos x|; x \in R \end{array}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{(- \sin x) \cos x}{|\cos x|}$

تابع در نقاط زیر، مشتق پذیر نیست:

$x = k π + \frac{π}{2}$

$\begin{array}{l} y = [x] |x| \end{array}; x \in R$

تابع در نقاط $x = n \in Z$ مشتق پذير نمی‌باشد و در ساير نقاط داريم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = \frac{x}{|x|} [x] \\ \Rightarrow y^{'} = \{\begin{cases} [x]; x > 0, x \notin Z \\ - [x]; x < 0, x \notin Z \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = |{(x - 2)}^{3} {(x + 2)}^{2}| \end{array}; x \in R$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = |(x - 2) {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}| \\ \Rightarrow y = |(x - 2) {(x^{2} - 4)}^{2}| \\ \Rightarrow y = {(x^{2} - 4)}^{2} |x - 2| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = {[{(x^{2} - 4)}^{2}]}^{'} |x - 2| + {(|x - 2|)}^{'} {(x^{2} - 4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = 2 (x^{2} - 4) (2 x) |x - 2| + \frac{(1) (x - 2)}{|x - 2|} . {(x^{2} - 4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = 4 x (x^{2} - 4) |x - 2| + \frac{(x - 2) {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{|x - 2|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = 4 x (x^{2} - 4) |x - 2| + \frac{(x - 2) {|x - 2|}^{2} {(x + 2)}^{2}}{|x - 2|} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} = 4 x (x^{2} - 4) |x - 2| + (x - 2) |x - 2| {(x + 2)}^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

در معادله $g (x) = |f (x)|$ :

1- اگر نقطه $x = a$ ریشه ساده معادله $f (x) = 0$ باشد، آنگاه $g (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر نیست.

2- اگر نقطه $x = a$ ریشه مکرر مرتبه دو به بعد معادله $f (x) = 0$ باشد، آنگاه $g (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر است و و مشتق تابع به صورت زیر بررسی می‌شود:

$g (x) = |f (x)| \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) f (x)}{|f (x)|} = \{\begin{cases} f^{'} (x); f (x) > 0 \\ - f^{'} (x); f (x) < 0 \end{cases}$

تمرین

توابع زیر در چه نقاطی مشتق پذير نمی‌باشند.

$f (x) = |(x^{3} - x^{2}) (x - 2)|$

ريشه های داخل قدر مطلق را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} (x^{3} - x^{2}) (x - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{3} - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} (x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1 \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{array}$

$x = 0$ ریشه مضاعف و $x = 1, 2$ ریشه های ساده می‌باشند.

تابع در نقطه $x = 0$ مشتق پذیر است و در دو نقطه دیگر مشتق پذیر نیست.

$f (x) = |x^{2} - 2 |x||$

$x = 0$ ریشه ساده است.

$\begin{array}{l} x^{2} - 2 |x| = 0 \\ \Rightarrow {|x|}^{2} - 2 |x| = 0 \\ \Rightarrow |x| (|x| - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} |x| = 0 \Rightarrow x = 0 \\ |x| - 2 = 0 \Rightarrow |x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2 \end{cases} \end{array}$

تابع فوق در سه نقطه فوق مشتق ندارد.

مشتق تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر $|f (x)|$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر باشد، ممکن است $f (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر نباشد.

اما در صورتی‌که $f$ در $a$ پبوسته و $|f|$ در $a$ مشتق پذیر باشد، همواره $f$ در $a$ مشتق پذیر است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مشتق پذیری توابع $h (x) = g (x) |f (x)|$

قضیه

فرض کنیم توابع $\{\begin{cases} f (x) = (x - a) f_{1} (x) \\ g (x) = (x - a) g_{1} (x) \end{cases}$ مفروضند و توابع $f_{1} (x)$ و $g_{1} (x)$ در یک همسایگی نقطه $x = a$ تعریف شده و کراندار هستند:

تابع با ضابطه $h (x) = g (x) |f (x)|$ در $x = a$ مشتق پذیر است و مشتق آن صفر است.

اثبات

$\begin{array}{l} h^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{h (x) - h (a)}{x - a} \\ \Rightarrow h^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{g (x) |f (x)|}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{(x - a) g_{1} (x) |(x - a) f_{1} (x)|}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h^{'} (a) = \lim_{x \to a} g_{1} (x) |(x - a) f_{1} (x)| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h^{'} (a) = 0 \end{array}$

نکته

فرض کنیم تابع $g$ در نقطه $a$ پیوسته باشد. ( $g$ ممکن است در $a$ مشتق پذیر باشد یا نباشد.)

هم‌چنین تابع $f$ در نقطه $a$ مشتق پذیر با مشتق متناهی است و $f (a) = 0$ باشد، در این صورت تابع با ضابطه $h (x) = f (x) . g (x)$ در $x = a$ مشتق پذیر است و مشتق آن به‌صورت زیر است:

$h^{'} (a) = f^{'} (a) . g (a)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مشتق پذیری توابع $f (x) \pm |f (x)|$

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر باشد، اگر $y = |f (x)|$ در نقطه $x = a$ مشتق پذیر باشد، آنگاه توابع زیر در $x = a$ مشتق پذیر است:

$\{\begin{cases} g (x) = \frac{1}{2} (f (x) + |f (x)|) \\ h (x) = \frac{1}{2} (f (x) - |f (x)|) \end{cases}$

در هر نقطه که تابع $y = f (x)$ مشتق پذیر اما تابع $y = |f (x)|$ مشتق پذیر نباشد، توابع $g$ و $h$ نیز مشتق پذیر نمی‌باشند.

دو تابع فوق به صورت های زیر نوشته می‌شود:

$\begin{array}{l} g (x) = \{\begin{cases} f (x); f (x) \geq 0 \\ 0; f (x) < 0 \end{cases} \end{array}$

$h (x) = \{\begin{cases} 0; f (x) \geq 0 \\ f (x); f (x) < 0 \end{cases}$

برای رسم نمودار $g$ ابتدا نمودار $f$ را رسم می‌کنیم سپس قسمت پائین محور $x$ ها را روی محور $x$ ها تصویر می‌کنیم.
برای رسم نمودار $h$ ابتدا نمودار $f$ را رسم می‌کنیم سپس قسمت بالای محور $x$ ها را روی محور $x$ ها تصویر می‌کنیم.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مشتق تابع قدرمطلق

24,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

راضیه پیلتن

29 فروردين 1403

سلامممم وقتتون بخیررر عالی بود و خیلی برای جمعبندیم داره کمک میکنه این مرتب بودنش و تیپ بندی طور بودنش ممنونم ازتونننن

مشتق

مشتق تابع قدر مطلق

مقدمه

مشتق تابع قدرمطلق

مشتق پذیری توابع $h (x) = g (x) |f (x)|$

مشتق پذیری توابع $f (x) \pm |f (x)|$

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

مشتق

مشتق تابع قدر مطلق

مقدمه

مشتق تابع قدرمطلق

مشتق پذیری توابعhx=gxfx

مشتق پذیری توابعfx±fx

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

مشتق پذیری توابع $h (x) = g (x) |f (x)|$

مشتق پذیری توابع $f (x) \pm |f (x)|$