مشتق تابع قدر مطلق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

مقدمه: در مبحث پیوستگی مشاهده کردیم که اگر  تابع y=fx در هر نقطه x=a تابعی پیوسته باشد، آنگاه y=fx هم در نقطه x=a تابعی پیوسته است.

اکنون خواهید دید که ممکن است y=fx در نقطه یا نقاطی مشتق پذیر باشد، اما y=fx در آن نقاط مشتق پذیر نباشد.

ابتدا این مطلب را به طور شهودی بررسی می‌نمائیم:

مشتق تابع قدرمطلق - پیمان گردلو 

نقاط a و b تلاقی نمودار y=fx با محور x هاست، توجه شود نمودار در نقطه b بر y=fx مماس است.

به نمودار  y=fx توجه کنید:

  • نقطه b در y=fx بر محور x ها مماس است، بنابراین y=fx در b مشتق پذیر است.
  • در نقطه a تابع y=fx بر محور x ها مماس نیست، بنابراین y=fx در در این نقطه شکستگی پیدا می‌کند و نقطه زاویه دار است، در نتیجه مشتق پذیر نیست.

در نقاطی مانند b که نمودار y=fx بر محور x ها مماس است، لااقل مشتق اول تابع برابر صفر است، یعنی f'x=0 است و به بیان دیگر fx=0 ریشه مکرر دارد.      

در نقاطی مانند a که f'a0 است، معادله fx=0 ریشه ساده دارد. 

مشتق تابع قدرمطلق   

قضیه

if   gx=fxg'x=f'xfxfx

اثبات

روش اول: با استفاده از فرمول های مشتق، به محاسبه g'x می‌پردازیم:

gx=fxgx=fx2g'x=2fx.f'x2fx2g'x=2fx.f'x2fxg'x=f'x.fxfx


روش دوم: با استفاده از تعریف مشتق، به محاسبه g'x می‌پردازیم:

g'a=limxagxgaxa    ;    gx=fxg'a=limxafxfaxag'a=limxafxfaxa×fx+fafx+fa

g'a=limxaf2xf2axa.1fx+fag'a=limxafxfaxa.fx+fafx+fag'a=f'a.2fa2fa=f'a.fafa

تمرین

مشتق پذيری تابع زیر را در نقطه داده شده بررسی کنید.

fx=x    ;    x=0

روش اول)

بررسی پيوستگی در نقطه x=1:

f0=0 : مقدار تابع

limx0fx=limx0x=0f0=limx0fx=0

تابع در نقطه x=1 پیوسته است.

  
بررسی مشتق در نقطه x=1:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x0x0=limx0xxf'+0=limx0+xx=limx0+xx=1f'0=limx0xx=limx0xx=1   f'+0f'0

تابع در نقطه x=1 مشتق پذیر نیست.


روش دوم)

fx=xf'x=1×xx


چون x=0 ريشه ساده تابع است، پس در این نقطه مشتق پذير نمی‌باشد.

دریافت مثال

تذکر

در معادله gx=fx

1- اگر نقطه x=a ریشه ساده معادله fx=0 باشد، آنگاه gx در نقطه x=a مشتق پذیر نیست.

2- اگر نقطه x=a ریشه مکرر مرتبه دو به بعد معادله fx=0 باشد، آنگاه gx در نقطه x=a مشتق پذیر است و و مشتق تابع به صورت زیر بررسی می‌شود: 

gx=fxg'x=f'xfxfx=f'x       ;    fx>0f'x    ;    fx<0

تمرین

توابع زیر در چه نقاطی مشتق پذير نمی‌باشند.

fx=x3x2x2

ريشه های داخل قدر مطلق را به‌دست می‌آوریم:

x3x2x2=0x3x2=0x2x1=0x=0  ,  x=1x2=0x=2


x=0 ریشه مضاعف و x=1,2 ریشه های ساده می‌باشند.


تابع در نقطه x=0 مشتق پذیر است و در دو نقطه دیگر مشتق پذیر نیست. 

fx=x22x

x=0 ریشه ساده است.

x22x=0x22x=0xx2=0x=0x=0x2=0x=2x=±2  


تابع فوق در سه نقطه فوق مشتق ندارد.

مشتق تابع قدر مطلق - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

اگر fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، ممکن است fx در نقطه x=a مشتق پذیر نباشد.   

اما در صورتی‌که f در a پبوسته و f در a مشتق پذیر باشد، همواره f در a  مشتق پذیر است.  

دریافت مثال

مشتق پذیری توابعhx=gxfx

قضیه

فرض کنیم توابع fx=xaf1xgx=xag1x مفروضند و توابع f1x و g1x در یک همسایگی نقطه x=a تعریف شده و کراندار هستند:  

تابع با ضابطه hx=gxfx در x=a مشتق پذیر است و مشتق آن صفر است. 

اثبات

h'a=limxahxhaxah'a=limxagxfxxah'a=limxaxag1xxaf1xxah'a=limxag1xxaf1xh'a=0   

نکته

فرض کنیم تابع g در نقطه a پیوسته باشد. (g ممکن است در a مشتق پذیر باشد یا نباشد.)

هم‌چنین تابع f در نقطه a مشتق پذیر با مشتق متناهی است و fa=0 باشد، در این صورت تابع با ضابطه hx=fx.gx در x=a مشتق پذیر است و مشتق آن به‌صورت زیر است:

h'a=f'a.ga

دریافت مثال

مشتق پذیری توابعfx±fx

فرض کنیم تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، اگر y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، آنگاه توابع زیر در  x=a مشتق پذیر است:

gx=12fx+fxhx=12fxfx

در هر نقطه که تابع y=fx مشتق پذیر اما تابع y=fx مشتق پذیر نباشد، توابع g و h نیز مشتق پذیر نمی‌باشند.

دو تابع فوق به صورت های زیر نوشته می‌شود:

gx=fx    ;    fx00             ;    fx<0hx=0             ;    fx0fx    ;    fx<0

  • برای رسم نمودار g ابتدا نمودار f را رسم می‌کنیم سپس قسمت پائین محور x ها را روی محور x ها تصویر می‌کنیم.
  • برای رسم نمودار h ابتدا نمودار f را رسم می‌کنیم سپس قسمت بالای محور x ها را روی محور x ها تصویر می‌کنیم.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق تابع قدرمطلق

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید