مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

مشتق پذیری توابع maxf,gminf,g وقتی f و g توابعی مشتق پذیر باشند،‌ شباهت زیادی به مشتق پذیری قدرمطلق دارد، زیرا:

hx=maxfx,gx=fx+gx2+fxgx2ux=minfx,gx=fx+gx2fxgx2

بنابراین اگر  f و g در هر نقطه x=a مشتق پذیر باشند و faga آنگاه hx و ux نیز در x=a مشتق پذیر می‌باشند، لذا برای تعیین نقاطی که توابع  مشتق ندارد، باید ریشه های fx=gx بررسی شوند.

ممکن است در این ریشه ها مشتق پذیر باشند یا نباشند. (مانند بررسی قدرمطلق ها)   

تمرین

مشتق پذيری توابع زير را بررسی كنيد.

fx=maxsinx  ,cosx

fx=sinx+cosx2+sinxcosx2sinx=cosxsinxcosx=cosxcosxtanx=1x=kπ+π4


fx در x=kπ+π4 مشتق پذير نيست. 

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

fx=maxx2  ,  4x2

fx=x2+4x22x24+x22x2=4x22x2=4x2=2x=±2


fx در x=±2 مشتق پذير نيست. 


مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

تمرین

مشتق تابع با ضابطه زیر را در x=π4 بررسی کنید. 

fx=maxsinx,cosx

fx=sinx+cosx2+sinxcosx2fx=cosx     ;   0<xπ4sinx      ;    π4<x<π2f'x=sinx   ;   0<x<π4cosx      ;    π4<x<π2f'+π4=22f'π4=22

تمرین

توابع زیر در چه نقاطی مشتق ندارند؟

fx=minx,2x

fx=x+2x2x2+x2x=2xx=1


fx در x=1 مشتق پذير نيست. 

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

fx=min1,x2

x2=1x=±1


مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

تمرین

توابع زیر مفروضند:

fx=x21     ;    x>00              ;    x=01x2     ;    x<0gx=1     ;    x>00     ;    x=01   ;    x<0

كدام گزینه در مورد تابع زیر صحیح است؟

hx=maxfx,gx+minfx,gx

1- h در x=0 مشتق پذير نمی‌باشد.

2- h در x=0 مشتق پذير است و h'0=1.

3- h در x=0 مشتق پذير است و h'0=0

4- h در x=0 مشتق چپ و راست دارد اما مشتق پذير نمی‌باشد.

گزينه 3 صحيح است.

hx=fx+gx=x2       ;    x0x2   ;   x<0     hx=xx   ,   h'0=0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید