سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مشتق پذیری توابع $\{\begin{cases} \max \{f, g\} \\ \min \{f, g\} \end{cases}$ وقتی $f$ و $g$ توابعی مشتق پذیر باشند،‌ شباهت زیادی به مشتق پذیری قدرمطلق دارد، زیرا:

$\begin{array}{l} h (x) = \max \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x)}{2} + \frac{|f (x) - g (x)|}{2} \end{array}$

$u (x) = \min \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x)}{2} - \frac{|f (x) - g (x)|}{2}$

بنابراین اگر $f$ و $g$ در هر نقطه $x = a$ مشتق پذیر باشند و $f (a) \neq g (a)$ آنگاه $h (x)$ و $u (x)$ نیز در $x = a$ مشتق پذیر می‌باشند، لذا برای تعیین نقاطی که توابع مشتق ندارد، باید ریشه های $f (x) = g (x)$ بررسی شوند.

ممکن است در این ریشه ها مشتق پذیر باشند یا نباشند. (مانند بررسی قدرمطلق ها)

تمرین

مشتق پذيری توابع زير را بررسی كنيد.

$f (x) = \max \{\sin x, \cos x\}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{\sin x + \cos x}{2} + \frac{|\sin x - \cos x|}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin x = \cos x \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = k π + \frac{π}{4} \end{array}$

$f (x)$ در $x = k π + \frac{π}{4}$ مشتق پذير نيست.

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

$f (x) = \max \{x^{2}, 4 - x^{2}\}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2} + 4 - x^{2}}{2} - \frac{|x^{2} - 4 + x^{2}|}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} = 4 - x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{array}$

$f (x)$ در $x = \pm \sqrt{2}$ مشتق پذير نيست.

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

تمرین

مشتق تابع با ضابطه زیر را در $x = \frac{π}{4}$ بررسی کنید.

$f (x) = \max \{\sin x, \cos x\}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{\sin x + \cos x}{2} + \frac{|\sin x - \cos x|}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} \cos x; 0 < x \leq \frac{π}{4} \\ \sin x; \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \{\begin{cases} - \sin x; 0 < x < \frac{π}{4} \\ \cos x; \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} {f^{'}}_{+} (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ {f^{'}}_{-} (\frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \end{array}$

تمرین

توابع زیر در چه نقاطی مشتق ندارند؟

$f (x) = \min \{x, 2 - x\}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x + 2 - x}{2} - \frac{|x - 2 + x|}{2} \\ x = 2 - x \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$f (x)$ در $x = 1$ مشتق پذير نيست.

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

$f (x) = \min \{1, x^{2}\}$

$x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو

تمرین

توابع زیر مفروضند:

$\begin{array}{l} f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 1; x > 0 \\ 0; x = 0 \\ 1 - x^{2}; x < 0 \end{cases} \\ g (x) = \{\begin{cases} 1; x > 0 \\ 0; x = 0 \\ - 1; x < 0 \end{cases} \end{array}$

كدام گزینه در مورد تابع زیر صحیح است؟

$h (x) = \max \{f (x), g (x)\} + \min \{f (x), g (x)\}$

1- $h$ در $x = 0$ مشتق پذير نمی‌باشد.

2- $h$ در $x = 0$ مشتق پذير است و $h^{'} (0) = 1$ .

3- $h$ در $x = 0$ مشتق پذير است و $h^{'} (0) = 0$ .

4- $h$ در $x = 0$ مشتق چپ و راست دارد اما مشتق پذير نمی‌باشد.

گزينه $(3)$ صحيح است.

$h (x) = f (x) + g (x) = \{\begin{cases} x^{2}; x \geq 0 \\ - x^{2}; x < 0 \end{cases}〉 h (x) = x |x|, h^{'} (0) = 0$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

مشتق تابع ماکزیمم و مینیمم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟