روابط طولی در دایره

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

اگر خطوط شامل دو وترِ AB و CD از یک دایره، یک‌دیگر را در درون یا بیرون دایره در نقطه‌ای مانند M قطع کنند، بین اندازه پاره خط های حاصل روابطی داریم که به بررسی آنها می‌پردازیم.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

قضیه

هرگاه خطوط شامل دو وترِ دل‌خواه AB و CD در نقطه‌ای مانند M در درون دایره، یک‌دیگر را قطع کنند، آن‌گاه: 

MA.MB=MC.MD

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

در شکل فوق از A به D و از C به B وصل می‌کنیم و نشان می‌دهیم دو مثلث MAD و MBC متشابه هستند.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

M1=M2D=B=AC2MADMBCMAMC=MDMBMA.MB=MC.MD

قضیه

هرگاه خطوط شامل دو وترِ دل‌خواه AB و CD در نقطه‌ای مانند M در بیرون دایره، یک‌دیگر را قطع کنند، آن‌گاه:  

MA.MB=MC.MD

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

در شکل فوق از A به D و از C به B وصل می‌کنیم و نشان می‌دهیم دو مثلث MAD و MCB متشابه هستند.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

M=MA=C=BD2MADMBCMAMC=MDMBMA.MB=MC.MD

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

وتر AB و CD به‌طول 9 سانتی‌متر را به نسبت 1 به 2 تقسیم کرده است. 

اگر AB=11cm باشد، آن‌گاه وتر CD وتر AB را به چه نسبتی قطع می‌کند؟ 

DMMC=12DMDC=13DM9=13DM=33MC=12MC=6


DM.MC=AM.MB3×6=x×11x     ;    AM=x18=11xx2x2+11x+18=0x9x2=0x9=0x=9x2=0x=2  


x=9 قابل قبول نیست.

AMMB=29

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

دو دایره برهم مماس و دو قطر AB و CD از دایره بزرگ‌تر، بر هم عمود هستند.   

اگر AM=16 و ND=10 باشد، شعاع‌های دو دایره را پیدا کنید.    

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو


OB×OM=ON×ON'R×R16=R10R10R216R=R220R+1004R=100R=25

R'=MB2=2R162=225162=50162=17

قضیه

هرگاه M نقطه‌ای بیرون دایره باشد و از M مماس و قاطعی نسبت به دایره رسم کنیم، مربع اندازه مماس، برابر است با حاصل‌ضربِ اندازه‌های دو قطعه قاطع.

طول مماس، واسطه هندسیِ بین دو قطعه قاطع است.

MT2=MA.MB

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

از نقطه T به نقاط A و B وصل می‌کنیم:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

MTA زاویه ظلی است: 

MTA=AT2

TBM زاویه محاطی است:

TBM=AT2

از تساوی‌های فوق نتیجه می‌شود که:

MTA=TBM

M=MMTA=TBMMTATBMMAMT=MTMBMT2=MA.MB

تمرین

از نقطه P در خارج دایره‌ای، مماس PA به‌طول 103 را برآن رسم کرده‌ایم. A روی دایره است.

هم‌چنین خطی از P گذرانده‌ایم که دایره را در دو نقطه B و C قطع کرده است و BC=20.

طول‌های PB و PC را به‌دست آورید.    

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو


PA2=PB×PC1032=xx+20300=x2+20xx2+20x300=0x10x+30=0x+30=0x=30x10=0x=10PB=10PC=30


x=30 قابل قبول نیست.

نکته

1- خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است.


2- طول دو مماسی که از نقطه واقع در خارج دایره بر آن رسم می‌شوند، برابرند.

MA=MB

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو


3- اگر دو دایره به شعاع‌های R و R' مماس خارجی باشند، طول مماس مشترک آنها برابر است با: 

TT'=2RR'

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو


4- اگر دو دایره به شعاع‌های R و R' متخارج باشند، طول مماس مشترک داخلی و خارجی آنها از دستورهای زیر به‌دست می‌آید.  

OO'=dAB=d2R+R'2CD=d2RR'2

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید