سرفصل‌های این مبحث

دایره

روابط طولی در دایره

آخرین ویرایش: 23 ارديبهشت 1404

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر خطوط شامل دو وترِ $A B$ و $C D$ از یک دایره، یک‌دیگر را در درون یا بیرون دایره در نقطه‌ای مانند $M$ قطع کنند، بین اندازه پاره خط های حاصل روابطی داریم که به بررسی آنها می‌پردازیم.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

قضیه

هرگاه خطوط شامل دو وترِ دل‌خواه $A B$ و $C D$ در نقطه‌ای مانند $M$ در درون دایره، یک‌دیگر را قطع کنند، آن‌گاه:

$M A . M B = M C . M D$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

در شکل فوق از $A$ به $D$ و از $C$ به $B$ وصل می‌کنیم و نشان می‌دهیم دو مثلث $M A D$ و $M B C$ متشابه هستند.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \overset{\land}{M_{1}} = \overset{\land}{M_{2}} \\ \overset{\land}{D} = \overset{\land}{B} = \frac{\overset{⏜}{A C}}{2} \end{cases}$

$△ M A D ≅ △ M B C$

$\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B}$

$\Rightarrow M A . M B = M C . M D$

قضیه

هرگاه خطوط شامل دو وترِ دل‌خواه $A B$ و $C D$ در نقطه‌ای مانند $M$ در بیرون دایره، یک‌دیگر را قطع کنند، آن‌گاه:

$M A . M B = M C . M D$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

در شکل فوق از $A$ به $D$ و از $C$ به $B$ وصل می‌کنیم و نشان می‌دهیم دو مثلث $M A D$ و $M C B$ متشابه هستند.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \overset{\land}{M} = \overset{\land}{M} \\ \overset{\land}{A} = \overset{\land}{C} = \frac{\overset{⏜}{B D}}{2} \end{cases}$

$△ M A D ≅ △ M B C$

$\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B}$

$\Rightarrow M A . M B = M C . M D$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

وتر $A B$ و $C D$ به‌طول $9$ سانتی‌متر را به نسبت $1$ به $2$ تقسیم کرده است.

اگر $A B = 11 c m$ باشد، آن‌گاه وتر $C D$ وتر $A B$ را به چه نسبتی قطع می‌کند؟

$\{\begin{cases} \frac{D M}{M C} = \frac{1}{2} \\ \frac{D M}{D C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{D M}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow D M = 3 \end{cases}$

$\begin{matrix} \frac{3}{M C} = \frac{1}{2} \Rightarrow M C = 6 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} D M . M C = A M . M B \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \times 6 = x \times (11 - x); A M = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 18 = 11 x - x^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + 11 x + 18 = 0 \\ \Rightarrow (x - 9) (x - 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{array}$

$x = 9$ قابل قبول نیست.

$\frac{A M}{M B} = \frac{2}{9}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

دو دایره برهم مماس و دو قطر $A B$ و $C D$ از دایره بزرگ‌تر، بر هم عمود هستند.

اگر $A M = 16$ و $N D = 10$ باشد، شعاع‌های دو دایره را پیدا کنید.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} O B \times O M = O N \times O N^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R \times (R - 16) = (R - 10) (R - 10) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R^{2} - 16 R = R^{2} - 20 R + 100 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 R = 100 \\ \Rightarrow R = 25 \end{array}$

$R^{'} = \frac{M B}{2} = \frac{2 R - 16}{2} = \frac{2 (25) - 16}{2} = \frac{50 - 16}{2} = 17$

قضیه

هرگاه $M$ نقطه‌ای بیرون دایره باشد و از $M$ مماس و قاطعی نسبت به دایره رسم کنیم، مربع اندازه مماس، برابر است با حاصل‌ضربِ اندازه‌های دو قطعه قاطع.

طول مماس، واسطه هندسیِ بین دو قطعه قاطع است.

$M T^{2} = M A . M B$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

اثبات

از نقطه $T$ به نقاط $A$ و $B$ وصل می‌کنیم:

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

$\overset{\land}{M T A}$ زاویه ظلی است:

$\overset{\land}{M T A} = \frac{\overset{⏜}{A T}}{2}$

$\overset{\land}{T B M}$ زاویه محاطی است:

$\overset{\land}{T B M} = \frac{\overset{⏜}{A T}}{2}$

از تساوی‌های فوق نتیجه می‌شود که:

$\overset{\land}{M T A} = \overset{\land}{T B M}$

$\{\begin{cases} \overset{\land}{M} = \overset{\land}{M} \\ \overset{\land}{M T A} = \overset{\land}{T B M} \end{cases}$

$△ M T A ≅ △ T B M$

$\Rightarrow \frac{M A}{M T} = \frac{M T}{M B}$

$\Rightarrow M T^{2} = M A . M B$

تمرین

از نقطه $P$ در خارج دایره‌ای، مماس $P A$ به‌طول $10 \sqrt{3}$ را برآن رسم کرده‌ایم. $A$ روی دایره است.

هم‌چنین خطی از $P$ گذرانده‌ایم که دایره را در دو نقطه $B$ و $C$ قطع کرده است و $B C = 20$ .

طول‌های $P B$ و $P C$ را به‌دست آورید.

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} P A^{2} = P B \times P C \\ \Rightarrow {(10 \sqrt{3})}^{2} = x (x + 20) \\ \Rightarrow 300 = x^{2} + 20 x \\ \Rightarrow x^{2} + 20 x - 300 = 0 \\ \Rightarrow (x - 10) (x + 30) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x + 30 = 0 \Rightarrow x = - 30 \\ x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} P B = 10 \\ P C = 30 \end{cases} \end{array}$

$x = - 30$ قابل قبول نیست.

نکته

1- خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است.

2- طول دو مماسی که از نقطه واقع در خارج دایره بر آن رسم می‌شوند، برابرند.

$M A = M B$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

3- اگر دو دایره به شعاع‌های $R$ و $R^{'}$ مماس خارجی باشند، طول مماس مشترک آنها برابر است با:

$T T^{'} = 2 \sqrt{R R^{'}}$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

4- اگر دو دایره به شعاع‌های $R$ و $R^{'}$ متخارج باشند، طول مماس مشترک داخلی و خارجی آنها از دستورهای زیر به‌دست می‌آید.

$\begin{array}{l} O O^{'} = d \\ A B = \sqrt{d^{2} - {(R + R^{'})}^{2}} \\ C D = \sqrt{d^{2} - {(R - R^{'})}^{2}} \end{array}$

روابط طولی در دایره - پیمان گردلو

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

در شکل زیر، مقدار $\frac{x}{y}$ کدام است؟

$0.3$
$0.4$
$0.5$
$0.6$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

در شکل زیر، طول وتر AB کدام است؟

$16$
$17$
$18$
$19$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

المپیاد ریاضی

در شکل زیر مقدار $x$ کدام است؟

$4.3$
$4.4$
$4.5$
$4.6$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

المپیاد ریاضی

در شکل زیر مساحت دایره کدام گزینه است؟

$\frac{83 π}{4}$
$\frac{85 π}{4}$
$\frac{87 π}{4}$
$\frac{89 π}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

روابط طولی در دایره

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟