چهار‌ ضلعی‌ های محاطی و محیطی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 18 مرتبه

قضیه

یک چهار ضلعی محاطی است، اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشند.

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

حالت اول)

فرض: چهارضلعی ABCD محاطی است.

حکم: دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل باشند.

A+C=DCB2+DAB2=DCB+DAB2=360°2=180°B+D=ADC2+ABC2=ADC+ABC2=360°2=180°

ثابت کردیم که دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل هم هستند.


حالت دوم)

فرض: دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل باشند.

حکم: چهارضلعی ABCD محاطی است. 

فرض کنیم A و C مکمل باشند، با برهان خلف ثابت می‌کنیم که چهارضلعی ABCD محاطی است.  

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

از سه نقطه B,C,D همواره یک دایره می‌گذرد زیرا عمودمنصف‌های اضلاع یک مثلث همراسند و مرکز دایره محیطی هر چندضلعی، نقطه هم‌راس عمودمنصف‌های اضلاع است. 

اگر این دایره از نقطه A نگذرد، خط AD را در نقطه دیگری مانند A' قطع می‌کند که A' بین A و D یا A بین A' و D است.   

اکنون چهارضلعی A'BCD محاطی است، پس C و BA'D مکمل هستند در نتیجه باید A و BA'D مکمل، هم اندازه باشند که این ممکن نیست.

زیرا در هر مثلث، هر زاویه خارجی از زاویه داخلی غیر مجاورش بزرگ‌تر است، در نتیجه A' همان A است.   

قضیه

یک چهارضلعی، محیطی است اگر و فقط اگر مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر باشند.

اثبات

حالت اول)

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض: چهارضلعی ABCD محیطی است.

حکم: مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر هستند.

AB+CD=AM+MB+PC+PDAB+CD=AQ+BN+CN+DQAB+CD=AQ+DQ+BN+CNAB+CD=AD+BC


حالت دوم)

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض: مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر هستند.

حکم: چهارضلعی ABCD محیطی است.

فرض می‌کنیم:

AB+CD=AD+BC

در این‌صورت نیمسازهای دو زاویه B و C هم‌دیگر را در نقطه‌ای مانند I قطع می‌کنند.

با توجه به‌ویژگی نیمساز، نقطه I از سه ضلع AB,BC,CD به یک فاصله است:  

IM=IN=IP

علت آن است که:

نقطه I روی نیمساز زاویه B است، پس:

IM=IN

نقطه I روی نیمساز زاویه C است، پس:

IN=IP

پس نتیجه می‌شود:

IM=IN=IP

پس نقطه I از سه ضلع AB,BC,CD به یک فاصله است.

دایره‌ای به‌مرکز I و شعاع IM بر AB,BC,CD مماس است زیرا این شعاع‌ها در نقاط اشتراک با دایره بر آن عمود هستند. 

اگر این دایره بر AD مماس باشد، حکم ثابت است، اما اگر این دایره بر AD مماس نباشد، از A بر آن مماسی رسم می‌کنیم تا خط CD را در نقطه‌ای مانند E قطع کند، در این‌صورتE بین P و D یا D بین E و P واقع می‌شود، یعنی:     

AB+CD=AD+BC

از این رابطه با استفاده از رابطه فرض، داریم:

AB+CD=AD+BCAB+CE=AE+BC

طرفین تساوی‌های فوق را از هم کم می‌کنیم:

AB+CDAB+CE=AD+BCAE+BCCDCE=ADAECDCE+AE=ADDE+AE=AD

این رابطه امکان ندارد، زیرا بر اساس نامساوی مثلثی در مثلث ADE داریم:

DE+AE>AD

پس E همان D است و دایره بر ضلع AD مماس است. 

یادآوری

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

قضیه

یک ذوزنقه، محاطی است، اگر و تنها اگر متساوی‌الساقین باشد.

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

حالت اول)

فرض: ذوزنقه، متساوی‌الساقین است.

حکم: ذوزنقه محاطی است.

A+D=180°C=DA+C=180°A+D=180°A=BB+D=180°

ذوزنقه ABCD محاطی است. 


حالت دوم)

فرض: ذوزنقه محاطی است.

حکم: ذوزنقه، متساوی‌الساقین است.

ABDC و AD مورب، بنابر قضیه خطوط موازی داریم:

A+D=180°A+C=180°A+D=A+CD=C

بنابر قضیه زوایای مکمل:

A=B

چون زوایای مجاور به ساق برابرند، در نتیجه ذوزنقه، متساوی‌الساقین است. 

قضیه

یک ذوزنقه هم محاطی است و هم محیطی است.

مساحت این ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی دو قاعده آن ضرب در میانگین هندسی آنها:

SABCD=12a+bab

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

ذوزنقه ABCD محاطی است، پس متساوی‌الساقین است.  

ذوزنقه ABCD محیطی است و مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر برابر است، یعنی:

2c=a+bc=a+b2b=2x+ax=ba2

مثلث ADF قائم‌الزاویه است:  

h2=c2x2h2=a+b22ba22h=abSABCD=12a+bhSABCD=12a+bab

برای ارسال نظر وارد سایت شوید