سرفصل‌های این مبحث

دایره

چهار‌ ضلعی‌ های محاطی و محیطی

آخرین ویرایش: 23 ارديبهشت 1404

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

یک چهار ضلعی محاطی است، اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشند.

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

حالت اول)

فرض: چهارضلعی $A B C D$ محاطی است.

حکم: دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل باشند.

$\begin{array}{l} \overset{\land}{A} + \overset{\land}{C} = \frac{\overset{⏜}{D C B}}{2} + \frac{\overset{⏜}{D A B}}{2} = \frac{\overset{⏜}{D C B} + \overset{⏜}{D A B}}{2} = \frac{360 °}{2} = 180 ° \end{array}$

$\overset{\land}{B} + \overset{\land}{D} = \frac{\overset{⏜}{A D C}}{2} + \frac{\overset{⏜}{A B C}}{2} = \frac{\overset{⏜}{A D C} + \overset{⏜}{A B C}}{2} = \frac{360 °}{2} = 180 °$

ثابت کردیم که دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل هم هستند.

حالت دوم)

فرض: دو زاویه مقابل در چهارضلعی مکمل باشند.

حکم: چهارضلعی $A B C D$ محاطی است.

فرض کنیم $\overset{\land}{A}$ و $\overset{\land}{C}$ مکمل باشند، با برهان خلف ثابت می‌کنیم که چهارضلعی $A B C D$ محاطی است.

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

از سه نقطه $B, C, D$ همواره یک دایره می‌گذرد زیرا عمودمنصف‌های اضلاع یک مثلث همراسند و مرکز دایره محیطی هر چندضلعی، نقطه هم‌راس عمودمنصف‌های اضلاع است.

اگر این دایره از نقطه $A$ نگذرد، خط $A D$ را در نقطه دیگری مانند $A'$ قطع می‌کند که $A'$ بین $A$ و $D$ یا $A$ بین $A'$ و $D$ است.

اکنون چهارضلعی $A^{'} B C D$ محاطی است، پس $\overset{\land}{C}$ و $\overset{\land}{B A^{'} D}$ مکمل هستند در نتیجه باید $\overset{\land}{A}$ و $\overset{\land}{B A^{'} D}$ مکمل، هم اندازه باشند که این ممکن نیست.

زیرا در هر مثلث، هر زاویه خارجی از زاویه داخلی غیر مجاورش بزرگ‌تر است، در نتیجه $A'$ همان $A$ است.

قضیه

یک چهارضلعی، محیطی است اگر و فقط اگر مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر باشند.

اثبات

حالت اول)

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض: چهارضلعی $A B C D$ محیطی است.

حکم: مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر هستند.

$\begin{array}{l} A B + C D = (A M + M B) + (P C + P D) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B + C D = (A Q + B N) + (C N + D Q) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B + C D = (A Q + D Q) + (B N + C N) \end{array}$

$\Rightarrow A B + C D = A D + B C$

حالت دوم)

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض: مجموع اندازه‌های دو ضلع مقابل، برابر با مجموع اندازه‌های دو ضلع دیگر هستند.

حکم: چهارضلعی $A B C D$ محیطی است.

فرض می‌کنیم:

$A B + C D = A D + B C$

در این‌صورت نیمسازهای دو زاویه $B$ و $C$ هم‌دیگر را در نقطه‌ای مانند $I$ قطع می‌کنند.

با توجه به‌ویژگی نیمساز، نقطه $I$ از سه ضلع $A B, B C, C D$ به یک فاصله است:

$I M = I N = I P$

علت آن است که:

نقطه $I$ روی نیمساز زاویه $B$ است، پس:

$I M = I N$

نقطه $I$ روی نیمساز زاویه $C$ است، پس:

$I N = I P$

پس نتیجه می‌شود:

$I M = I N = I P$

پس نقطه $I$ از سه ضلع $A B, B C, C D$ به یک فاصله است.

دایره‌ای به‌مرکز $I$ و شعاع $I M$ بر $A B, B C, C D$ مماس است زیرا این شعاع‌ها در نقاط اشتراک با دایره بر آن عمود هستند.

اگر این دایره بر $A D$ مماس باشد، حکم ثابت است، اما اگر این دایره بر $A D$ مماس نباشد، از $A$ بر آن مماسی رسم می‌کنیم تا خط $C D$ را در نقطه‌ای مانند $E$ قطع کند، در این‌صورت $E$ بین $P$ و $D$ یا $D$ بین $E$ و $P$ واقع می‌شود، یعنی:

$A B + C D = A D + B C$

از این رابطه با استفاده از رابطه فرض، داریم:

$\{\begin{cases} A B + C D = A D + B C \\ A B + C E = A E + B C \end{cases}$

طرفین تساوی‌های فوق را از هم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (A B + C D) - (A B + C E) = (A D + B C) - (A E + B C) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C D - C E = A D - A E \\ \Rightarrow C D - C E + A E = A D \\ \Rightarrow D E + A E = A D \end{array}$

این رابطه امکان ندارد، زیرا بر اساس نامساوی مثلثی در مثلث $A D E$ داریم:

$D E + A E > A D$

پس $E$ همان $D$ است و دایره بر ضلع $A D$ مماس است.

یادآوری

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

قضیه

یک ذوزنقه، محاطی است، اگر و تنها اگر متساوی‌الساقین باشد.

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

حالت اول)

فرض: ذوزنقه، متساوی‌الساقین است.

حکم: ذوزنقه محاطی است.

$\begin{array}{l} \overset{\land}{A} + \overset{\land}{D} = 180 ° \overset{\overset{\land}{C} = \overset{\land}{D}}{\to} \overset{\land}{A} + \overset{\land}{C} = 180 ° \end{array}$

$\overset{\land}{A} + \overset{\land}{D} = 180 ° \overset{\overset{\land}{A} = \overset{\land}{B}}{\to} \overset{\land}{B} + \overset{\land}{D} = 180 °$

ذوزنقه $A B C D$ محاطی است.

حالت دوم)

فرض: ذوزنقه محاطی است.

حکم: ذوزنقه، متساوی‌الساقین است.

$A B ∥ D C$ و $A D$ مورب، بنابر قضیه خطوط موازی داریم:

$\{\begin{cases} \overset{\land}{A} + \overset{\land}{D} = 180 ° \\ \overset{\land}{A} + \overset{\land}{C} = 180 ° \end{cases}$

$\overset{\land}{A} + \overset{\land}{D} = \overset{\land}{A} + \overset{\land}{C} \Rightarrow \overset{\land}{D} = \overset{\land}{C}$

بنابر قضیه زوایای مکمل:

$\overset{\land}{A} = \overset{\land}{B}$

چون زوایای مجاور به ساق برابرند، در نتیجه ذوزنقه، متساوی‌الساقین است.

قضیه

یک ذوزنقه هم محاطی است و هم محیطی است.

مساحت این ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی دو قاعده آن ضرب در میانگین هندسی آنها:

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} (a + b) \sqrt{a b}$

اثبات

چهار‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

ذوزنقه $A B C D$ محاطی است، پس متساوی‌الساقین است.

ذوزنقه $A B C D$ محیطی است و مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر برابر است، یعنی:

$\{\begin{cases} 2 c = a + b \Rightarrow c = \frac{a + b}{2} \\ b = 2 x + a \Rightarrow x = \frac{b - a}{2} \end{cases}$

مثلث $A D F$ قائم‌الزاویه است:

$\begin{array}{l} h^{2} = c^{2} - x^{2} \Rightarrow h^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{b - a}{2})}^{2} \Rightarrow h = \sqrt{a b} \end{array}$

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} (a + b) h \Rightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} (a + b) \sqrt{a b}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه ای بر دایره ای به شعاع $\sqrt{2}$ محیط شده است.

برای رسم عمود منصف یکی از ساق های این مثلث، باید دهانه پرگار را حداقل بیشتر از کدام عدد زیر باز کرد؟

$\begin{array}{l} 2 - \sqrt{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} 2 + \sqrt{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt{2} - 1 \end{array}$
$\sqrt{2} + 1$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

می‌دانیم ذوزنقه شکل زیر، محیطی است.

طول شعاع دایره محاطی آن کدام است؟

$\frac{28}{13}$
$\frac{29}{13}$
$\frac{30}{13}$
$\frac{31}{13}$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

چهار‌ ضلعی‌ های محاطی و محیطی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟