چند‌ ضلعی‌ های محاطی و محیطی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

چند ضلعی محاطی

چند ضلعی محاطی آن است که همه رئوس آن بر یک دایره باشند.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

دایره‌ای که از راسهای یک چند ضلعی محاطی می‌گذرد، دایره محیطی نامیده می‌شود.

در شکل فوق، چند ضلعی ABCDE یک چند ضلعی محاطی و دایره، یک دایره محیطی است.

تذکر

می‌دانیم برای این‌که دایره‌ای از دو نقطه بگذرد، باید مرکز آن روی عمود منصفِ پاره خطی باشد که آن دو نقطه، دو سر آن است.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

قضیه

یک چند ضلعی، محاطی است اگر و فقط اگر عمودمنصف‌های همه اضلاع آن در یک نقطه همراس باشند.

نقطه O مرکز دایره محیطی این چند ضلعی است.  

اثبات

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض: چند ضلعی محاطی است.

حکم: عمودمنصف‌های همه اضلاع آن در یک نقطه همراس هستند.

در چندضلعی محاطی، فاصله همه راس‌های چندضلعی تا مرکز دایره به یک اندازه است. (شعاع دایره)

با توجه به خاصیت عمودمنصف، فاصله مرکز دایره از دو سر هر ضلع به یک فاصله است. (شعاع دایره)

در این‌صورت مرکز دایره روی عمودمنصف این اضلاع قرار دارد، تنیجه این که عمودمنصف‌های همه اضلاع آن در یک نقطه به‌نام مرکز دایره همراس هستند.


فرض: عمودمنصف‌های همه اضلاع آن در یک نقطه همراس هستند.

حکم: چندضلعی محاطی است.

با توجه به‌فرض و خاصیت عمودمنصف، همه راس‌های چندضلعی از نقطه همراسیِ عمودمنصف‌ها به‌یک فاصله هستند، نتیجه این که این نقاط بنا بر تعریف دایره، روی دایره‌ای به شعاع این فاصله ی ثابت، قرار دارند و با توجه به تعریف چندضلعی‌ محاطی، این چندضلعی محاطی است.

دایره محیطی مثلث

دایره محیطی مثلث، دایره‌ای است که از سه راس مثلث بگذرد.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

مرکز این دایره محل تلاقی عمودمنصف‌های اضلاع مثلث می‌باشد که از سه راس مثلث به‌یک فاصله است.

شعاع این دایره، فاصله نقطه برخورد عمودمنصف‌ها تا رئوس مثلث می‌باشد و R نشان می‌دهیم.

  • اگر هر سه زاویه مثلث حاده باشد، مرکز دایره محیطی داخل مثلث است مانند شکل فوق.
  • اگر یک زاویه مثلث، منفرجه باشد، مرکز دایره محیطی خارج مثلث است.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

  • اگر مثلث قائم‌الزاویه باشد، مرکز دایره محیطی وسط وتر می‌باشد. 

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

قضیه

مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی که در دایره‌ای به شعاع R محاط شده باشد، برابر است با:

SABC=334R2

اثبات

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

مرکز دایره محیطی، نقطه O محل برخورد عمودمنصف‌های اضلاع مثلث است و چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، نقطه O محل برخورد میانه اضلاع مثلث هم می‌باشد.

AB=BC=AC=aBH=CH=a2OH=OA2OH=R2AH=R+R2AH=32R

در مثلث ACH زاویه H=90° و داریم:

AC2=AH2+HC2AH=AC2HC2AH=AC2HC2AH=a2a24AH=32a    ;    AH=32R32R=32aa=3R

SABC=34a2=343R2=334R2

قضیه

عمودمنصف یک ضلعِ هر مثلث و نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع، یک‌دیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع می‌کنند.

اثبات

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

اگر نیمساز زاویه BAC دایره محیطی را در نقطه D قطع کند، داریم:

BAD=CAD

دو زاویه محاطی هستند، بنابراین BD=CD و طبق قضیه کمان‌ها و وترهای مساوی، داریم:

BD=CD

فاصله نقطه D از دو نقطه B و C به یک اندازه است و بر اساس خاصیت عمودمنصف، نقطه D روی عمودمنصف پاره‌خط BC قرار دارد.

چند‌ ضلعی محیطی

چند ضلعی محیطی آن است که همه اضلاعش بر یک دایره مماس باشد. 

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

دایره‌ای که بر اضلاع یک چند ضلعی محیطی مماس است یک دایره محاطی نامیده می‌شود.

در شکل فوق، چند ضلعی ABCDE محیطی و دایره، یک دایره محاطی است.

قضیه

یک چند ضلعی، محیطی است اگر و فقط اگر همه نیمسازهای زوایای آن در یک نقطه همراس باشند.

نقطه O مرکزدایره محاطی این چند ضلعی است.

اثبات

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

بنا بر تعریفِ چند ضلعی محیطی، اضلاع چند ضلعی بر دایره مماس هستند و می‌دانیم شعاع در نقطه تماس بر خط مماس عمود است.

این شعاع‌ها همان فاصله مرکز دایره از اضلاع چند ضلعی هستند و همگی با هم برابرند.

با توجه به خاصیت نیمساز، مرکز این دایره روی نیمساز هر یک از زوایای داخلی چند ضلعی است یعنی مرکز دایره، محل برخورد نیمسازهای داخلی چند ضلعی است.

قضیه

مساحت یک n ضلعی محیطی با محیط 2P و شعاع دایره محاطی r برابر است با: 

S=rP

اثبات

به‌شکل زیر توجه کنید:

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

S=12rA1A2+12rA2A3+12rA3A4+12rA4A5++12rAn1AnS=12rA1A2+A2A3+A3A4+A4A5++An1AnS=12r2PS=rP

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

فرض کنید یک چند ضلعی مانند شکل فوق به‌گونه‌ای باشد که نیمسازهای داخلی آن در نقطه O یک‌دیگر را قطع کرده باشند و OH پاره‌خط عمود بر یک ضلع از چند ضلعی باشد. 

دایره‌ای به مرکز O و شعاع OH برای چند ضلعی مفروض چه نوع دایره‌ای است؟ چرا؟

نقطه O روی نیمساز زوایای داخلی است، با توجه به خاصیت نیمسازها داریم:

OH=OH1=OH2=OH3=OH4


پاره‌خط های OH1,OH2,OH3,OH4 همگی بر اضلاع عمود هستند، در نتیجه وقتی دایره‌ای به شعاع OH رسم کنیم، شعاع‌ها بر اضلاع عمود هستند و اضلاع بر دایره در نقطه تماسشان عمود هستند یعنی دایره بر اضلاع چند ضلعی مماس است در نتیجه دایره محاطی است.


چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

دایره محاطی مثلث

نکته

1- دایره محاطی مثلث، دایره‌ای است که بر سه ضلع مثلث مماس است.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

مرکز این دایره، نقطه تلاقی نیمسازهای زوایای مثلث می‌باشد که طبق خاصیت نیمساز از سه ضلع مثلث به یک فاصله است.

شعاع این دایره به اندازه فاصله نقطه برخورد نیمسازها تا اضلاع مثلث می‌باشد. شعاع دایره محاطی را با r نشان می‌دهیم.

تمرین

نشان دهید در مثلث متساوی‌الاضلاع مرکز دایره محاطی و مرکز دایره محیطی یک نقطه است.

می‌دانیم در هر مثلث، مرکز دایره محاطی محل تلاقی نیمسازها و مرکز دایره محیطی محل برخورد عمودمنصف‌های اضلاع است.


از طرف دیگر در مثلث متساوی‌الاضلاع نیمساز هر زاویه عمودمنصف ضلع مقابل آن نیز می‌باشد، به‌عبارت دیگر عمودمنصف‌ها و نیمسازها بر هم منطبق هستند، پس نقطه برخوردشان یک نقطه است.


چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

دایره محاطی خارجی نظیر راسA

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

اگر نیمساز زاویه A از مثلث ABC را رسم کنیم، نیمساز زاویه خارجی C را در نقطه‌ای مانند O قطع می‌کند.

این نقطه از خط BC و خطوط AC و AB به یک فاصله است و علت آن است که:

نقطه O روی نیمساز زاویه A است ،پس: 

OT=OT'

نقطه O روی نیمساز زاویه خارجی C است، پس:

OT''=OT'

پس نتیجه می‌گیریم:

OT=OT''

نقطه O روی نیمساز زاویه خارجی B است، نیز می‌باشد.

به‌عبارتی این نقطه از خط BC و خطوط AC و AB به یک فاصله است بنابراین O مرکز دایره‌ای است که بر ضلع BC و خطوط شامل دو ضلع دیگر مماس است.

این دایره را دایره محاطی خارجی نظیر راس A می‌نامند.  

قضیه

اگر نقاط تماس دایره محاطیِ داخلی مثلث ABC با اضلاع آن K,N,M باشند و T',T نقاط تماس یک دایره محاطی خارجی با خطوط شامل دو ضلع باشند، داریم: 

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

AM=AN=PaBN=BK=PbCM=CK=PcAT=AT'=P

اثبات

AM=AN=Pa


AN=cBNAM=bCM

طرفین تساوی فوق را با هم جمع می‌کنیم:

AN+AM=cBN+bCMAN+AM=b+cBN+CM     ;     AM=ANCM=CKBN=BKAN+AM=b+cBK+CK2AM=b+ca       ;    2P=a+b+c2AM=2P2aAM=Pa


BN=BK=Pb


BN=cANBK=aCK

BN+BK=cAN+aCKBN+BK=c+aAN+CK     ;     AM=ANCM=CKBN=BKBN+BK=c+aAM+CM2BK=c+ab      ;    2P=a+b+c2BK=2P2bBK=Pb


CM=CK=Pc


CM=bAMCK=aBK

CM+CK=bAM+aBKCM+CK=b+aAM+BK     ;     AM=ANCM=CKBN=BKCM+CK=b+aAN+BN2CM=b+ac     ;    2P=a+b+c2CM=2P2cCM=Pc


AT=AT'=P

AT+AT'=c+BT+b+CT'       ;     AT=AT'BT=BQCT'=CQ2AT=c+b+BQ+CQ2AT=c+b+a2AT=2PAT=P

قضیه

در دوایر محاطی خارجی نظیر رئوس C,B,A مانند شکل زیر:

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو

الف) اگر rc,rb,ra شعاع‌های سه دایره محاطی خارجی مثلث و r شعاع دایره محاطی داخلی باشد، داریم:

1ra+1rb+1rc=1r

ب) اگر hc,hb,ha اندازه سه ارتفاع باشند، داریم:

1ha+1hb+1hc=1r

اثبات

1ra+1rb+1rc=1r

برای یافتن تساوی فوق به‌صورت زیرعمل می‌کنیم:

S=rp1r=pS


ra=Spa1ra=paSrb=Spb1rb=pbSrc=Spc1rc=pcS

طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

1ra+1rb+1rc=paS+pbS+pcS1ra+1rb+1rc=3pa+b+cS1ra+1rb+1rc=3p2pS1ra+1rb+1rc=pS     ;    1r=pS1ra+1rb+1rc=1r


1ha+1hb+1hc=1r

S=12a.haha=2Sa1ha=a2SS=12b.hbhb=2Sb1hb=b2SS=12c.hchc=2Sc1hc=c2S

طرفین تساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

1ha+1hb+1hc=a2S+b2S+c2S1ha+1hb+1hc=a+b+c2S1ha+1hb+1hc=2p2S      ;     1r=pS1ha+1hb+1hc=1r

تقسیم دایره بهnقسمت مساوی

تمرین

دایره‌ای رسم ‌کنید و آن را به شش قسمت مساوی تقسیم ‌کنید.

یک زاویه مرکزی به اندازه 3606=60 رسم می‌کنیم.

وتر نظیر آن‌را AB می‌نامیم در این‌صورت با توجه به این‌که سه زاویه مثلث 60 می‌شوند، مثلث OAB متساوی‌الاضلاع است، لذا وتر AB با شعاع دایره برابر است.

حال پرگار را به اندازه AB (شعاع دایره) باز می‌کنیم و از نقطه A شروع کرده کمان‌های متوالی می‌زنیم. بدین ترتیب دایره به شش قسمت مساوی تقسیم می‌شود.


چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو 

تعریف- برای تقسیم یک دایره به n قسمت مساوی، ابتدا یک زاویه مرکزی به اندازه 360n رسم می‌کنیم، سپس وتر نظیر این زاویه را می‌کشیم و پرگار را به اندازه این وتر باز کرده و از نقطه‌ای دل‌خواه بر دایره شروع کرده و کمان‌های متوالی می‌زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود.

نکته

1- مرکز دایره محاطی هر مثلث نقطه تلاقی نیمساز زوایای مثلث است و شعاع دایره محاطی برابر فاصله مرکز دایره تا هر ضلع مثلث می‌باشد.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو


2- مرکز دایره محیطی هر مثلث محل تلاقی عمودمنصف‌های اضلاع مثلث است و شعاع دایره محیطی برابر با فاصله مرکز تا رئوس مثلث می‌باشد.

چند‌ضلعی‌های محاطی و محیطی - پیمان گردلو


3- مرکز دایره محاطی و مرکز دایره محیطی مثلث متساوی‌الاضلاع بر هم منطبق هستند.

4- شعاع دایره محیطی مثلث متساوی‌الاضلاع دو برابر شعاع دایره محاطی آن مثلث است.

5- شعاع دایره محاطی هر مثلث برابر است با SP که در آن S مساحت و P نصف محیط مثلث است.  

6- شعاع دایره محیطی مثلث ABC برابر است با abc4S که در آن c,b,a طول اضلاع مثلث و S مساحت آن است.  

7- مرکز دایره محیطی مثلث قائم‌الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است. 

8- یک چهار ضلعی در صورتی در یک دایره محاط می‌‍‌‌شود که هر دو زاویه مقابل آن مکمل یک‌دیگر باشند.

9- یک چهار ضلعی در صورتی بر یک دایره محیط است که در آن مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر مساوی باشد. 

10- هر ذوزنقه محاط در یک دایره، متساوی‌الساقین است.

11- شعاع دایره محیطی یک شش ضلعی منتظم با ضلع شش ضلعی مساوی است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید