سرفصل‌های این مبحث

دایره

زاویه ظلی

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف زاویه ظلی

هر زاویه‌ای که راسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد، زاویه ظلی نامیده می‌شود.

زاویه ظلی - پیمان گردلو

کمان $A B$ کمان مقابل به زاویه ظلی $A$ خوانده می‌شود.

قضایای زاویه ظلی

قضیه

زاویه ظلی با نصف کمان مقابلش مساوی است.

اثبات

زاویه ظلی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

${\hat{A}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} \hat{B} = \frac{\overset{⏜}{A C}}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} \Rightarrow {\hat{A}}_{2} + \hat{C} = 90^{\circ} \\ {\hat{A}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = 90^{\circ} \end{array}〉 {\hat{A}}_{1} = \hat{C} \end{array}$

$\{\begin{cases} {\hat{A}}_{1} = \hat{C} \\ \hat{C} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} \end{cases}〉 {\hat{A}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2}$

قضیه

زاویه $M$ با نصف تفاضل دو کمان $\overset{⏜}{A B}$ و $\overset{⏜}{C D}$ برابر است.

زاویه ظلی - پیمان گردلو

$\hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{C D}}{2}$

اثبات

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{C D}}{2}$

${\hat{C}}_{1} = \hat{M} + \hat{A} \Rightarrow \hat{M} = {\hat{C}}_{1} - \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} - \frac{\overset{⏜}{A C}}{2} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{A C}}{2}$

قضیه

زاویه $M$ با نصف تفاضل دو کمان $\overset{⏜}{A D B}$ و $\overset{⏜}{A C B}$ برابر است.

زاویه ظلی - پیمان گردلو

اثبات

از $B$ خطی به موازات $A M$ رسم می‌کنیم تا دایره را در نقطه $E$ قطع کند، خواهیم داشت:

با توجه به قضیه خطوط موازی چون $A M ∥ B E$ و $M B$ مورب است، پس داریم:

$\overset{\land}{M} = \overset{\land}{B}$

زاویه $\overset{\land}{B}$ ظلی است:

$\overset{\land}{M} = \overset{\land}{B} = \frac{\overset{⏜}{E B}}{2} = \frac{\overset{⏜}{A C B} - \overset{⏜}{A E}}{2} = \frac{\overset{⏜}{A C B} - \overset{⏜}{A D B}}{2}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه ظلی - پیمان گردلو

اضلاع زوایای $B$ و $C$ بر دایره مماس هستند. اندازه زاویه $A$ چند درجه است؟

زاویه ظلی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} 70 ° = \frac{(y + z + t) - x}{2} \Rightarrow 140 ° = (y + z + t) - x \end{array}$

$\begin{matrix} 80 ° = \frac{(y + x + t) - z}{2} \Rightarrow 160 ° = (y + x + t) - z \end{matrix}$

طرفین تساوی فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 300 ° = 2 (y + t) \Rightarrow y + t = 150 ° \\ \overset{\land}{A} = \frac{y + t}{2} = \frac{150}{2} = 75 ° \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه ظلی - پیمان گردلو

$d$ در نقطه $C$ بر دایره مماس است، ثابت کنید:

$S_{_{A B C}} = S_{_{A P C}} + S_{_{B C Q}}$

زاویه ${\hat{C}}_{1}$ ظلی است:

${\hat{C}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A C}}{2} = {\hat{B}}_{1}$

زاویه ${\hat{C}}_{2}$ ظلی است:

${\hat{C}}_{2} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2} = {\hat{A}}_{1}$

$\{\begin{cases} {\hat{C}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = 90^{\circ} \\ {\hat{A}}_{1} + {\hat{B}}_{1} = 90^{\circ} \\ {\hat{C}}_{1} = {\hat{B}}_{1} \end{cases}〉 {\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$

$\{\begin{cases} {\hat{C}}_{2} + {\hat{B}}_{2} = 90^{\circ} \\ {\hat{A}}_{1} + {\hat{B}}_{1} = 90^{\circ} \\ {\hat{C}}_{2} = {\hat{A}}_{1} \end{cases}〉 {\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$

$\{\begin{cases} A C = A C \\ \hat{H} = \hat{P} = 90^{\circ} \\ {\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2} \end{cases}〉 A \overset{△}{P} C = A \overset{△}{C} H$

$\{\begin{cases} B C = B C \\ {\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2} \\ \hat{Q} = \hat{H} = 90^{\circ} \end{cases}〉 B \overset{△}{Q} C = B \overset{△}{C} H$

$S_{A \overset{△}{B} C} = S_{A \overset{△}{C} H} + S_{B \overset{△}{C} H} = S_{A \overset{△}{P} C} + S_{B \overset{△}{Q} C}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

زاویه ظلی

تعریف زاویه ظلی

قضایای زاویه ظلی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟