زاویه محاطی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

تعریف زاویه محاطی

زاویه‌ای که راس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند را زاویه محاطی گویند.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

کمانی از دایره که به دو ضلع زاویه محاطی محدود است و داخل زاویه قرار دارد، کمان مقابل به آن زاویه نامیده می‌شود.

قضایای زاویه محاطی

قضیه

زاویه محاطی با نصف کمان مقابلش مساوی است.

اثبات

برای اثبات این قضیه سه حالت را در نظر می‌گیریم:

حالت اول) مرکز دایره روی یکی از اضلاع زاویه قرار دارد.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

A^=BC2

OA=OBA^=B^O^1=BCO^1=A^+B^BC=A^+A^BC=2A^A^=BC2


حالت دوم) مرکز دایره، داخل زاویه است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

از A به‌مرکز دایره وصل کرده و امتداد می‌دهیم تا دایره را در D قطع کند، خواهیم داشت:

A=A1+A2=BD2+DC2=BD+DC2=BC2


حالت سوم) مرکز دایره، خارج از زاویه است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

از A به‌مرکز دایره وصل کرده و امتداد می‌دهیم تا دایره را در D قطع کند، خواهیم داشت:

BAC=DACDAB=DC2DB2=DCDB2=BC2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

ثابت کنید:

A^+B^+C^+D^+E^=180

A^+B^+C^+D^+E^=CD2+DE2+EA2+AB2+BC2=CD+DE+EA+AB+BC2=3602=180

قضیه

کمان‌های محصور بین دو وتر موازی از یک دایر، با هم مساویند.

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

فرض آن‌است که:

ABCD

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

AC=BD

B را به C وصل می‌کنیم، داریم:

ABCDBC   movarabB^=C^AC2=BD2AC=BD

قضیه

زاویه داخلی M1 با نصف مجموع دو کمان AB و CD برابر است.

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

M^1=AB+CD2

B را به D وصل می‌کنیم، داریم:

M^1=D^+B^=AB2+CD2=AB+CD2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه M^1 چقدر است؟

AB+CD=360200+90=70M^1=AB+CD2=702=35

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

وترهای AB و CD بر هم عمودند، اندازه کمان‌های AD و CB را حساب کنید.

M^1=AD+BC290=x+4+2x1290=3x+323x+3=180x+1=60x=59


AD=x+4=59+4=63BC=2x1=2×591=117

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه کمان CD را حساب کنید. 

زاویه محاطی - پیمان گردلو

75°=x+x+x2150°=3xx=50°CD=180°2x=180°250°=80°

قضیه

زاویه خارجی M با نصف تفاضل دو کمان AB و CD برابر است. 

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

M^=ABCD2

B را به D وصل می‌کنیم، داریم:

M^+B^=AD^BM^=AD^BB^M^=AB2CD2M^=ABCD2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه کمان CD را حساب کنید. 

M^=ABDC220=100CD240=100CDCD=60

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه زاویه α را حساب کنید.  

زاویه محاطی - پیمان گردلو

M=yx22M=yx231=yxyx=62N=y+x22N=y+x291=y+x182=y+xx=60°y=122°α=x=60°

نکته

1- زاویه محاطی روبرو به‌قطر، قائم است.   

زاویه محاطی - پیمان گردلو

A^=BC2=1802=90


2- زوایای محاطی مقابل به‌یک کمان با هم برابرند.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

A^=B^=C^=ED2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه زاویه A را حساب کنید.

O^=90BAC=90BMC=36090=270A^=BMC2=2702=135

تمرین

ثابت کنید در یک دایره، زاویه مرکزی مقابل به یک کمان دو برابر زاویه محاطی مقابل به همان کمان است. 

زاویه محاطی - پیمان گردلو


O^=BCA^=BC2  A^=O^2O^=2A^

وتر AB از دایره‌ای به‌مرکز O را رسم کرده و آن‌را امتداد می‌دهیم و روی امتداد آن پاره‌خط BC را مساوی شعاع دایره جدا می‌کنیم و C را به‌مرکز دایره وصل می‌کنیم و امتداد می‌دهیم تا دایره را در D قطع کند، ثابت کنید:

AO^D=3BO^C


زاویه محاطی - پیمان گردلو


OA=OBA^=B^1OB=BCBO^C=C^B^1=BO^C+C^=BO^C+BO^C=2BO^CAO^D=A^+C^=B^1+BO^C=2BO^C+BO^C=3BO^C

نقطه A را روی دایره CO,R اختیار و در آن نقطه مماس xy را بر دایره رسم می‌کنیم و از نقطه B واقع بر روی دایره، عمود BH را بر xy فرود می‌آوریم، ثابت کنید AB نیمساز زاویه OBH است.  

O را به A وصل می‌کنیم:


زاویه محاطی - پیمان گردلو


OAxyBHxy  OABH

OABHABmovarab               A^1=B^2OA=OBA^1=B^1  B^1=B^2

ثابت کنید خطی که در وسط یک کمان از دایره‌ای بر آن دایره مماس باشد با وتر آن کمان موازی است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

A^=MB2AM^x=MA2MA=MB  A^=AM^xxyAB

دایره CO,R مفروض است. از نقطه M در خارج از دایره، خطی رسم می‌کنیم که دایره را در دو نقطه A و B قطع کند و MA=R نشان دهید β=3α.  

زاویه محاطی - پیمان گردلو


با علامت‌گذاری های زیر، داریم:


زاویه محاطی - پیمان گردلو

مثلث‌های OAM و OAB طبق فرض بیان شده، متسای‌الساقین هستند. در مثلث OBM داریم:

β=2α+α=3α

تمرین

اندازه زاویه A را در شکل‌های زیر حساب کنید.

زاویه محاطی - پیمان گردلو


C^=DAB2130=DAB2DAB=260DCB=360DAB=360260=100A^=DCB2=1002=50

زاویه محاطی - پیمان گردلو


BNC=100BMC=260A^+B^1=C^2A^=C^2B^1=BMC2BNC2=26021002=13050=80

برای ارسال نظر وارد سایت شوید