سرفصل‌های این مبحث

دایره

زاویه محاطی

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف زاویه محاطی

زاویه‌ای که راس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند را زاویه محاطی گویند.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

کمانی از دایره که به دو ضلع زاویه محاطی محدود است و داخل زاویه قرار دارد، کمان مقابل به آن زاویه نامیده می‌شود.

قضایای زاویه محاطی

قضیه

زاویه محاطی با نصف کمان مقابلش مساوی است.

اثبات

برای اثبات این قضیه سه حالت را در نظر می‌گیریم:

حالت اول) مرکز دایره روی یکی از اضلاع زاویه قرار دارد.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2}$

$\begin{array}{l} O A = O B \Rightarrow \hat{A} = \hat{B} \\ \{\begin{cases} {\hat{O}}_{1} = \overset{⏜}{B C} \\ {\hat{O}}_{1} = \hat{A} + \hat{B} \Rightarrow \overset{⏜}{B C} = \hat{A} + \hat{A} \Rightarrow \overset{⏜}{B C} = 2 \hat{A} \Rightarrow \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2} \end{cases} \end{array}$

حالت دوم) مرکز دایره، داخل زاویه است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

از $A$ به‌مرکز دایره وصل کرده و امتداد می‌دهیم تا دایره را در $D$ قطع کند، خواهیم داشت:

$\overset{\land}{A} = {\overset{\land}{A}}_{_{1}} + {\overset{\land}{A}}_{_{2}} = \frac{\overset{⏜}{B D}}{2} + \frac{\overset{⏜}{D C}}{2} = \frac{\overset{⏜}{B D} + \overset{⏜}{D C}}{2} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2}$

حالت سوم) مرکز دایره، خارج از زاویه است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

از $A$ به‌مرکز دایره وصل کرده و امتداد می‌دهیم تا دایره را در $D$ قطع کند، خواهیم داشت:

$B \overset{\land}{A} C = D \overset{\land}{A} C - D \overset{\land}{A} B = \frac{\overset{⏜}{D C}}{2} - \frac{\overset{⏜}{D B}}{2} = \frac{\overset{⏜}{D C} - \overset{⏜}{D B}}{2} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

ثابت کنید:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} = 180^{\circ}$

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\overset{⏜}{C D}}{2} + \frac{\overset{⏜}{D E}}{2} + \frac{\overset{⏜}{E A}}{2} + \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} + \frac{\overset{⏜}{B C}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\overset{⏜}{C D} + \overset{⏜}{D E} + \overset{⏜}{E A} + \overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{B C}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{360^{\circ}}{2} \\ = 180^{\circ} \end{array}$

قضیه

کمان‌های محصور بین دو وتر موازی از یک دایر، با هم مساویند.

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

فرض آن‌است که:

$A B ||C D$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$

$B$ را به $C$ وصل می‌کنیم، داریم:

$\{\begin{cases} A B ||C D \\ B C (m o v a r a b) \end{cases}$

$\hat{B} = \hat{C} \Rightarrow \frac{\overset{⏜}{A C}}{2} = \frac{\overset{⏜}{B D}}{2} \Rightarrow \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$

قضیه

زاویه داخلی $M_{1}$ با نصف مجموع دو کمان $\overset{⏜}{A B}$ و $\overset{⏜}{C D}$ برابر است.

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

${\hat{M}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{C D}}{2}$

$B$ را به $D$ وصل می‌کنیم، داریم:

${\hat{M}}_{1} = \hat{D} + \hat{B} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} + \frac{\overset{⏜}{C D}}{2} = \frac{\overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{C D}}{2}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه ${\hat{M}}_{1}$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{C D} = 360^{\circ} - (200^{\circ} + 90^{\circ}) = 70^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\hat{M}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{C D}}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

وترهای $A B$ و $C D$ بر هم عمودند، اندازه کمان‌های $\overset{⏜}{A D}$ و $\overset{⏜}{C B}$ را حساب کنید.

$\begin{matrix} {\hat{M}}_{1} = \frac{\overset{⏜}{A D} + \overset{⏜}{B C}}{2} \\ \Rightarrow 90^{\circ} = \frac{x + 4 + 2 x - 1}{2} \\ \Rightarrow 90^{\circ} = \frac{3 x + 3}{2} \\ \Rightarrow 3 x + 3 = 180^{\circ} \\ \Rightarrow x + 1 = 60^{\circ} \\ \Rightarrow x = 59^{\circ} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{A D} = x + 4 = 59^{\circ} + 4 = 63^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{B C} = 2 x - 1 = 2 \times 59^{\circ} - 1 = 117^{\circ} \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه کمان $\overset{⏜}{C D}$ را حساب کنید.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} 75 ° = \frac{x + (x + x)}{2} \Rightarrow 150 ° = 3 x \Rightarrow x = 50 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{C D} = 180 ° - 2 x = 180 ° - 2 (50 °) = 80 ° \end{array}$

قضیه

زاویه خارجی $M$ با نصف تفاضل دو کمان $\overset{⏜}{A B}$ و $\overset{⏜}{C D}$ برابر است.

اثبات

زاویه محاطی - پیمان گردلو

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{C D}}{2}$

$B$ را به $D$ وصل می‌کنیم، داریم:

$\begin{array}{l} \hat{M} + \hat{B} = A \hat{D} B \\ \Rightarrow \hat{M} = A \hat{D} B - \hat{B} \\ \Rightarrow \hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} - \frac{\overset{⏜}{C D}}{2} \\ \Rightarrow \hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{C D}}{2} \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه کمان $\overset{⏜}{C D}$ را حساب کنید.

$\begin{matrix} \hat{M} = \frac{\overset{⏜}{A B} - \overset{⏜}{D C}}{2} \\ \Rightarrow 20 = \frac{100 - \overset{⏜}{C D}}{2} \\ \Rightarrow 40 = 100 - \overset{⏜}{C D} \\ \Rightarrow \overset{⏜}{C D} = 60^{\circ} \end{matrix}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه زاویه $α$ را حساب کنید.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \overset{\land}{M} = \frac{y - x}{2} \Rightarrow 2 \overset{\land}{M} = y - x \Rightarrow 2 (31) = y - x \Rightarrow y - x = 62 \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{\land}{N} = \frac{y + x}{2} \Rightarrow 2 \overset{\land}{N} = y + x \Rightarrow 2 (91) = y + x \Rightarrow 182 = y + x \end{array}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} x = 60 ° \\ y = 122 ° \end{cases}〉 α = x = 60 ° \end{matrix}$

نکته

1- زاویه محاطی روبرو به‌قطر، قائم است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

2- زوایای محاطی مقابل به‌یک کمان با هم برابرند.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \frac{\overset{⏜}{E D}}{2}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

اندازه زاویه $A$ را حساب کنید.

$\begin{array}{l} \hat{O} = 90^{\circ} \Rightarrow \overset{⏜}{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \overset{⏜}{B M C} = 360^{\circ} - 90^{\circ} = 270^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B M C}}{2} = \frac{270^{\circ}}{2} = 135^{\circ} \end{array}$

تمرین

ثابت کنید در یک دایره، زاویه مرکزی مقابل به یک کمان دو برابر زاویه محاطی مقابل به همان کمان است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \hat{O} = \overset{⏜}{B C} \\ \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B C}}{2} \end{cases}〉 \hat{A} = \frac{\hat{O}}{2} \Rightarrow \hat{O} = 2 \hat{A}$

وتر $A B$ از دایره‌ای به‌مرکز $O$ را رسم کرده و آن‌را امتداد می‌دهیم و روی امتداد آن پاره‌خط $B C$ را مساوی شعاع دایره جدا می‌کنیم و $C$ را به‌مرکز دایره وصل می‌کنیم و امتداد می‌دهیم تا دایره را در $D$ قطع کند، ثابت کنید:

$A \hat{O} D = 3 B \hat{O} C$

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} O A = O B \Rightarrow \hat{A} = {\hat{B}}_{1} \\ O B = B C \Rightarrow B \hat{O} C = \hat{C} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\hat{B}}_{1} = B \hat{O} C + \hat{C} = B \hat{O} C + B \hat{O} C = 2 B \hat{O} C \end{array}$

$\begin{array}{l} A \hat{O} D = \hat{A} + \hat{C} = {\hat{B}}_{1} + B \hat{O} C = 2 B \hat{O} C + B \hat{O} C = 3 B \hat{O} C \end{array}$

نقطه $A$ را روی دایره $C (O, R)$ اختیار و در آن نقطه مماس $x y$ را بر دایره رسم می‌کنیم و از نقطه $B$ واقع بر روی دایره، عمود $B H$ را بر $x y$ فرود می‌آوریم، ثابت کنید $A B$ نیمساز زاویه $O B H$ است.

$O$ را به $A$ وصل می‌کنیم:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} O A ⊥ x y \\ B H ⊥ x y \end{cases}〉 O A ||B H$

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} O A ||B H \\ A B (m o v a r a b) \end{array}〉 {\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{2} \\ O A = O B \Rightarrow {\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1} \end{cases}〉 {\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$

ثابت کنید خطی که در وسط یک کمان از دایره‌ای بر آن دایره مماس باشد با وتر آن کمان موازی است.

زاویه محاطی - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{M B}}{2} \\ A \hat{M} x = \frac{\overset{⏜}{M A}}{2} \\ \overset{⏜}{M A} = \overset{⏜}{M B} \end{cases}〉 \hat{A} = A \hat{M} x \Rightarrow x y ||A B$

دایره $C (O, R)$ مفروض است. از نقطه $M$ در خارج از دایره، خطی رسم می‌کنیم که دایره را در دو نقطه $A$ و $B$ قطع کند و $M A = R$ نشان دهید $β = 3 α$ .

زاویه محاطی - پیمان گردلو

با علامت‌گذاری های زیر، داریم:

زاویه محاطی - پیمان گردلو

مثلث‌های $O A M$ و $O A B$ طبق فرض بیان شده، متسای‌الساقین هستند. در مثلث $O B M$ داریم:

$β = 2 α + α = 3 α$

تمرین

اندازه زاویه $A$ را در شکل‌های زیر حساب کنید.

$\begin{array}{l} \hat{C} = \frac{\overset{⏜}{D A B}}{2} \Rightarrow 130^{\circ} = \frac{\overset{⏜}{D A B}}{2} \Rightarrow \overset{⏜}{D A B} = 260^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \overset{⏜}{D C B} = 360^{\circ} - \overset{⏜}{D A B} = 360^{\circ} - 260^{\circ} = 100^{\circ} \\ \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{D C B}}{2} = \frac{100}{2} = 50^{\circ} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{B N C} = 100^{\circ} \Rightarrow \overset{⏜}{B M C} = 260^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \hat{A} + {\hat{B}}_{1} = {\hat{C}}_{2} \\ \Rightarrow \hat{A} = {\hat{C}}_{2} - {\hat{B}}_{1} \\ \Rightarrow \hat{A} = \frac{\overset{⏜}{B M C}}{2} - \frac{\overset{⏜}{B N C}}{2} \\ \Rightarrow \hat{A} = \frac{260^{\circ}}{2} - \frac{100^{\circ}}{2} \\ \Rightarrow \hat{A} = 130^{\circ} - 50^{\circ} \\ \Rightarrow \hat{A} = 80^{\circ} \end{array}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد مقدماتی ریاضی

در شکل زیر مقدار کمان $\overset{⏜}{A B}$ کدام گزینه است؟

$53 °$
$58 °$
$72 °$
$78 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر، کدام گزینه است؟

$\frac{3 π}{2} - \sqrt{3}$
$\frac{6 π}{5} - \sqrt{3}$
$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$
$2 π - \sqrt{3}$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

زاویه محاطی

تعریف زاویه محاطی

قضایای زاویه محاطی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟