سرفصل‌های این مبحث

دایره

چند‌ ضلعی‌ های منتظم

آخرین ویرایش: 05 آذر 1403

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یک چند ضلعی محدب را منتظم می‌نامند، هرگاه تمام اضلاع آن هم اندازه و تمام زوایا آن هم اندازه باشند.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه:

مثلث متساوی‌الاضلاع سه ضلعی منتظم است.
مربع چهار ضلعی منتظم است.

قضیه

هر چند ضلعی منتظم هم محاطی است و هم محیطی است.

اثبات

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

فرض کنید اندازه هر زاویه $n$ ضلعی منتظم $A B C D ....$ به اندازه $2 α$ باشد. عمودمنصف‌های دو ضلع $A B$ و $B C$ را رسم می‌کنیم و فرض کنیم در $O$ متقاطع هستند، بنابراین:

$O A = O B = O C$

پس دو مثلث $O A B$ و $O B C$ به‌حالت (ض ض ض ) هم‌نهشت هستند.

$\begin{array}{l} \overset{\land}{A B C} = \overset{\land}{O B A} + \overset{\land}{O B C}; \overset{\land}{O B A} = \overset{\land}{O B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 α = 2 \overset{\land}{O B A} \end{array}$

$\overset{\land}{O A B} = \overset{\land}{O B A} = \overset{\land}{O B C =} \overset{\land}{O C} B = α$

اکنون از $D$ به $O$ وصل می‌کنیم، اندازه $\overset{\land}{O C D}$ برابر $α$ است:

$\overset{\land}{B C D} = \overset{\land}{O C B} + \overset{\land}{O C D} \Rightarrow 2 α = α + \overset{\land}{O C D} \Rightarrow \overset{\land}{O C D} = α$

دو مثلث $O C B$ و $O C D$ برابرند، بنابراین:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} O C = O C \\ B C = D C \\ \overset{\land}{O C D =} \overset{\land}{O C B} \end{cases} \end{array}$

$△ O C D ≅ △ O C B \Rightarrow O D = O B$

$\{\begin{cases} O A = O B = O C \\ O D = O B \end{cases}$

$O A = O B = O C = O D$

با ادامه این روند، داریم:

$\begin{array}{l} O A = O B = O C = O D = \dots \\ O H = O N = O M = \dots \end{array}$

بنابراین $O$ از همه راس‌ها به یک فاصله هست، پس مرکز دایره‌ای است که از تمام راس‌های $n$ ضلعی منتظم می‌گذرد.

به‌همین ترتیب $O$ از تمام اضلاع به یک فاصله است، پس مرکز دایره‌ای است که بر تمام اضلاع‌های $n$ ضلعیِ منتظم مماس است.

تمرین

شش ضلعی منتظم $A B C D E F$ مفروض است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

با امتداد دادن اضلاع شش ضلعی، مطابق شکل فوق مثلث $M N P$ را ساخته‌ایم:

نشان دهید $M N P$ متساوی‌الاضلاع است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

اندازه هر زاویه داخلی شش ضلعی منتظم $120^{\circ}$ است:

$\overset{\land}{A_{2}} = \overset{\land}{B_{2}} = \overset{\land}{C_{2}} = \overset{\land}{D_{2}} = \overset{\land}{E_{2}} = \overset{\land}{F_{2}} = 120 °$

بنابراین زوایای خارجی، همگی $60^{\circ}$ است:

$\overset{\land}{A_{1}} = \overset{\land}{B_{1}} = \overset{\land}{C_{1}} = \overset{\land}{D_{1}} = \overset{\land}{E_{1}} = \overset{\land}{F_{1}} = 60 °$

با توجه به شکل و مجموع زوایای داخلی هر مثلث نتیجه می‌گیریم:

$\overset{\land}{M} = \overset{\land}{N} = \overset{\land}{P} = 60 °$

بنابراین مثلث متساوی‌الاضلاع است.

نشان دهید مساحت شش ضلعی، دو سوم مساحت مثلث $M N P$ است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

اگر قطرهای شش ضلعی منتظم را رسم کنیم، آن را به شش مثلث متساوی‌الاضلاع تقسیم می‌کنیم:

$\frac{S_{A B C D E F}}{S_{M N P}} = \frac{6 S_{M A B}}{9 S_{M A B}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

از نقطه دل‌خواه $T$ درون شش ضلعی، عمودهای $T {H^{'}}^{'}, T H^{'}, T H$ را به‌ترتیب بر $A F, E D, B C$ رسم کرده‌ایم. مجموع طول‌های این سه عمود با کدام جز از مثلث $M N P$ برابر است؟

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

مجموع فواصل هر نقطه درون مثلث متساوی‌الاضلاع مقداری ثابت است و این مقدار با طول ارتفاع مثلث برابر است:

$T H + T H^{'} + T H^{''} = M M^{'}$

مجموع مساحت‌های مثلث‌های $T A F, T D E, T B C$ چه کسری از مساحت مثلث $M N P$ است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

$S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C} = \frac{1}{2} A F \times T H^{''} + \frac{1}{2} D E \times T H^{'} + \frac{1}{2} B C \times T H; A F = D E = B C = a$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C} = \frac{1}{2} a (T H^{''} + T H^{'} + T H) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C} = \frac{1}{2} a h \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} S_{M N P} = \frac{1}{2} P N \times h = \frac{1}{2} (3 a) \times h = \frac{3}{2} a h \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C}}{S_{M N P}} = \frac{\frac{1}{2} a h}{\frac{3}{2} a h} \\ \Rightarrow \frac{S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C}}{S_{M N P}} = \frac{\frac{1}{2} a h}{\frac{3}{2} a h} \\ \Rightarrow \frac{S_{T A F} + S_{T D E} + S_{T B C}}{S_{M N P}} = \frac{1}{3} \end{array}$

نشان دهید:

$S_{T B C} + S_{T D E} + S_{T A F} = S_{T A F} + S_{T E F} + S_{T C D}$

مساحت مثلث‌های رنگی $\frac{1}{3}$ مساحت مثلث $M N P$ است.

مساحت شش ضلعی $\frac{2}{3}$ مساحت مثلث $M N P$ است که قبلا ثابت شده است.

مساحت مثلث‌های سفید و آبی جمعا برابر با مساحت شش ضلعی است.

مساحت مثلث‌های سفید هم $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ است، بنابر این مساحت مثلث‌های آبی و سفید با هم برابرند.

$S_{T B C} + S_{T D E} + S_{T A F} = S_{T A F} + S_{T E F} + S_{T C D}$

تمرین

دو قطر عمود برهم $A C$ و $B D$ از یک دایره را رسم می‌کنیم:

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

چرا چهار ضلعی $A B C D$ یک مربع است؟

در چهار ضلعی $A B C D$ قطرها هم‌دیگر را نصف می‌کنند و با هم برابرند، پس مستطیل هستند اما چون قطرها بر هم عمودند، نتیجه می گیریم که شکل مربع است.

عمودمنصف‌های اضلاع این مربع را رسم کنید تا دایره را قطع کند.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نشان دهید هشت‌ضلعی $A M B Q C P D N$ منتظم است؟

عمودمنصف هر ضلع، نیمساز راس مقابل نیز هست، پس داریم:

$\begin{array}{l} \overset{\land}{O_{1}} = \overset{\land}{O_{2}} = \overset{\land}{O_{3}} = \overset{\land}{O_{4}} = \overset{\land}{O_{5}} = \overset{\land}{O_{6}} = \overset{\land}{O_{7}} = \overset{\land}{O_{8}} = 45 ° \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow \overset{⏜}{A M} = \overset{⏜}{M B} = \overset{⏜}{B Q} = \overset{⏜}{Q C} = \overset{⏜}{C P} = \overset{⏜}{P D} = \overset{⏜}{D N} = \overset{⏜}{N A} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A M = M B = B Q = Q C = C P = P D = D N = N A \end{array}$

نتیجه می‌گیریم، هشت‌ضلعی منتظم است.

نکته

1- یک دایره به شعاع $r$ و یک $n$ ضلعی منتظم محاطی و محیطی در آن در نظر بگیرید:

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نشان می‌دهیم که اگر $A B$ و $C D$ اندازه‌های اضلاع $n$ ضلعی منتظم محاطی و محیطی باشند، آن‌گاه:

$\{\begin{cases} A B = 2 r \tan \frac{180}{n} \\ C D = 2 r \sin \frac{180}{n} \end{cases}$

$\begin{array}{l} △ O M B : \tan \frac{180}{n} = \frac{M B}{r} \\ \Rightarrow 2 \tan \frac{180}{n} = \frac{2 M B}{r} \\ \Rightarrow 2 \tan \frac{180}{n} = \frac{A B}{r} \\ \Rightarrow A B = 2 r \tan \frac{180}{n} \end{array}$

$△ O H D : \sin \frac{180}{n} = \frac{H D}{r}$

$\Rightarrow 2 \sin \frac{180}{n} = \frac{2 H D}{r}$

$\Rightarrow 2 \sin \frac{180}{n} = \frac{C D}{r}$

$\Rightarrow C D = 2 r \sin \frac{180}{n}$

2- برای رسم یک $n$ ضلعی منتظم کافی است دایره‌ای را به $n$ قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به‌هم وصل کنیم.

تمرین

یک پنج‌ضلعی منتظم رسم کنید و اندازه هر زاویه آن را حساب کنید.

اندازه هر کمان برابر است با:

$360^{\circ} \div 5 = 72^{\circ}$

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نکته

3- مساحت شش ضلعی منتظم به‌ضلع $a$ برابر است با $\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}$

4- شعاع دایره محیطی یک شش ضلعی منتظم به‌ضلع $a$ برابر است با $a$ .

5- شعاع دایره محاطی یک شش ضلعی منتظم به‌ضلع $a$ برابر است با $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

6- تعداد قطرهای یک $n$ ضلعی برابر است با $\frac{n (n - 3)}{2}$ .

7- اندازه هر زاویه یک $n$ ضلعی منتظم برابر است با $\frac{(n - 2) \times 180}{n}$ .

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \times \dots$

$\frac{1}{π}$
$\frac{2}{π}$
$\frac{3}{π}$
$\frac{4}{π}$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

چند‌ ضلعی‌ های منتظم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟