چند‌ ضلعی‌ های منتظم

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

یک چند ضلعی محدب را منتظم می‌نامند، هرگاه تمام اضلاع آن هم اندازه و تمام زوایا آن هم اندازه باشند.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه:

  • مثلث متساوی‌الاضلاع سه ضلعی منتظم است.
  • مربع چهار ضلعی منتظم است.

قضیه

هر چند ضلعی منتظم هم محاطی است و هم محیطی است.

اثبات

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

فرض کنید اندازه هر زاویه n ضلعی منتظم ABCD.... به اندازه 2α باشد. عمودمنصف‌های دو ضلع AB و BC را رسم می‌کنیم و فرض کنیم در O متقاطع هستند، بنابراین: 

OA=OB=OC

پس دو مثلث OAB و OBC به‌حالت (ض ض ض ) هم‌نهشت هستند.

ABC=OBA+OBC    ;    OBA=OBC   2α=2OBAOAB=OBA=OBC=OCB=α

اکنون از D به O وصل می‌کنیم، اندازه OCD برابر α است:   

BCD=OCB+OCD2α=α+OCDOCD=α

دو مثلث OCB و OCD برابرند، بنابراین: 

OC=OCBC=DCOCD=OCBOCDOCBOD=OBOA=OB=OCOD=OBOA=OB=OC=OD

با ادامه این روند، داریم:

OA=OB=OC=OD=OH=ON=OM=

بنابراین O از همه راس‌ها به یک فاصله هست، پس مرکز دایره‌ای است که از تمام راس‌های n ضلعی منتظم می‌گذرد.

به‌همین ترتیب O از تمام اضلاع به یک فاصله است، پس مرکز دایره‌ای است که بر تمام اضلاع‌هایn ضلعیِ منتظم مماس است. 

تمرین

شش ضلعی منتظم ABCDEF مفروض است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

با امتداد دادن اضلاع شش ضلعی، مطابق شکل فوق مثلث MNP را ساخته‌ایم:

نشان دهید MNP متساوی‌الاضلاع است. 

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو


اندازه هر زاویه داخلی شش ضلعی منتظم 120 است:

A2=B2=C2=D2=E2=F2=120°


بنابراین زوایای خارجی، همگی 60 است: 

A1=B1=C1=D1=E1=F1=60°


با توجه به شکل و مجموع زوایای داخلی هر مثلث نتیجه می‌گیریم:

M=N=P=60°


بنابراین مثلث متساوی‌الاضلاع است.

نشان دهید مساحت شش ضلعی، دو سوم مساحت مثلث MNP است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو


اگر قطرهای شش ضلعی منتظم را رسم کنیم، آن را به شش مثلث متساوی‌الاضلاع تقسیم می‌کنیم:

SABCDEFSMNP=6SMAB9SMAB=69=23

از نقطه دل‌خواه T درون شش ضلعی، عمودهای TH'',TH',TH را به‌ترتیب بر AF,ED,BC رسم کرده‌ایم. مجموع طول‌های این سه عمود با کدام جز از مثلث MNP برابر است؟   

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو


مجموع فواصل هر نقطه درون مثلث متساوی‌الاضلاع مقداری ثابت است و این مقدار با طول ارتفاع مثلث برابر است:

TH+TH'+TH''=MM'

مجموع مساحت‌های مثلث‌های TAF,TDE,TBC چه کسری از مساحت مثلث MNP است.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

STAF+STDE+STBC=12AF×TH''+12DE×TH'+12BC×TH    ;    AF=DE=BC=a

STAF+STDE+STBC=12aTH''+TH'+THSTAF+STDE+STBC=12ahSMNP=12PN×h=123a×h=32ah

STAF+STDE+STBCSMNP=12ah32ahSTAF+STDE+STBCSMNP=12ah32ahSTAF+STDE+STBCSMNP=13

نشان دهید:

STBC+STDE+STAF=STAF+STEF+STCD

مساحت مثلث‌های رنگی 13 مساحت مثلث MNP است.


مساحت شش ضلعی 23 مساحت مثلث MNP است که قبلا ثابت شده است.


مساحت مثلث‌های سفید و آبی جمعا برابر با مساحت شش ضلعی است.


مساحت مثلث‌های سفید هم 2313=13 است، بنابر این مساحت مثلث‌های آبی و سفید با هم برابرند.

STBC+STDE+STAF=STAF+STEF+STCD

تمرین

دو قطر عمود برهم AC و BD از یک دایره را رسم می‌کنیم:

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

چرا چهار ضلعی ABCD یک مربع است؟

در چهار ضلعی ABCD قطرها هم‌دیگر را نصف می‌کنند و با هم برابرند، پس مستطیل هستند اما چون قطرها بر هم عمودند، نتیجه می گیریم که شکل مربع است.  

عمودمنصف‌های اضلاع این مربع را رسم کنید تا دایره را قطع کند.

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نشان دهید هشت‌ضلعی AMBQCPDN منتظم است؟

عمودمنصف هر ضلع، نیمساز راس مقابل نیز هست، پس داریم:


O1=O2=O3=O4=O5=O6=O7=O8=45°AM=MB=BQ=QC=CP=PD=DN=NAAM=MB=BQ=QC=CP=PD=DN=NA


نتیجه می‌گیریم، هشت‌ضلعی منتظم است.

نکته

1- یک دایره به شعاع r و یک n ضلعی منتظم محاطی و محیطی در آن در نظر بگیرید:

چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نشان می‌دهیم که اگر AB و CD اندازه‌های اضلاع n ضلعی منتظم محاطی و محیطی باشند، آن‌گاه:

AB=2rtan180nCD=2rsin180n

OMB   :   tan180n=MBr2tan180n=2MBr2tan180n=ABrAB=2rtan180nOHD   :   sin180n=HDr2sin180n=2HDr2sin180n=CDrCD=2rsin180n


2- برای رسم یک n ضلعی منتظم کافی است دایره‌ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به‌هم وصل کنیم.

تمرین

یک پنج‌ضلعی منتظم رسم کنید و اندازه هر زاویه آن را حساب کنید.

اندازه هر کمان برابر است با:

360÷5=72


چند‌ضلعی‌های منتظم - پیمان گردلو

نکته

3- مساحت شش ضلعی منتظم به‌ضلع a برابر است با 332a2 

4- شعاع دایره محیطی یک شش ضلعی منتظم به‌ضلع a برابر است با a.

5- شعاع دایره محاطی یک شش ضلعی منتظم به‌ضلع a برابر است با 32a.

6- تعداد قطرهای یک n ضلعی برابر است با nn32.

7- اندازه هر زاویه یک n ضلعی منتظم برابر است با n2×180n.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید