سرفصل‌های این مبحث

دایره

مماس بر دایره

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رسم مماس از نقطه‌ای واقع بر روی دایره

برای این‌که در نقطه $A$ مماسی بر دایره رسم کنیم، کافی است شعاع $O A$ را رسم کرده و سپس در نقطه $A$ عمودی بر این شعاع رسم کنیم.

این عمود در نقطه $A$ نقطه بر دایره مماس است.

تمرین

خطی رسم کنید و نقطه $O$ را در خارج آن در نظر بگیرید. دایره‌ای به‌مرکز $O$ رسم کنید که بر خط مفروض مماس باشد.

از نقطه $O$ پاره‌خط $O H$ را بر $D$ عمود می‌کنیم، سپس به‌مرکز $O$ و به‌شعاع $O H$ (فاصله نقطه $O$ از $D$ ) دایره‌ای رسم می‌کنیم که بر $D$ مماس می‌شود.

رسم مماس از نقطه واقع در خارج دایره

برای این‌که از نقطه $A$ واقع در خارج دایره $C$ مماسی بر دایره رسم کنیم، ابتدا نقطه $A$ را به‌مرکز $O$ وصل کرده، سپس به قطر $O A$ دایره‌ای می‌کشیم تا دایره $C$ را در نقاط $M$ و $N$ قطع کند.

این دو نقطه را به $A$ وصل می‌کنیم $A M$ و $A N$ بر شعاع‌های $O M$ و $O N$ از دایره $C$ عمودند، پس بر دایره $C$ مماسند.

مماس بر دایره - پیمان گردلو

نکته

1- هرگاه از نقطه $M$ خارج از دایره $C (O, R)$ دو مماس بر دایره رسم کنیم و $T$ و $T^{'}$ نقاط تماس باشند، آن‌گاه اندازه‌های دو مماس برابرند.

مماس بر دایره - پیمان گردلو

دو مثلث $△ O M T$ و $△ O M T^{'}$ به‌حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه با هم‌دیگر هم‌نهشت هستند و بر اساس اجزای متناظر داریم:

$M T = M T^{'}$

2- در شکل فوق، نیم‌خط $M O$ نیمساز زاویه $T M T^{'}$ است.

دو مثلث $△ O M T$ و $△ O M T^{'}$ به‌حالت وتر ویک ضلع زاویه قائمه با هم‌دیگر هم‌نهشت هستند و بر اساس اجزای متناظر داریم:

$\overset{\land}{O M T} = \overset{\land}{O M T^{'}}$

بنابراین $M O$ نیمساز زاویه $T M T^{'}$ است.

3- در شکل زیر، تمام دوایر در نقطه $T$ بر هم مماس هستند:

$M T = M T_{1} = M T_{2} = M T_{3} = M T_{4}$

مماس بر دایره - پیمان گردلو

اگر از نقطه $M$ خارج از دوایر فوق، مماس‌هایی بر هر یک از دوایر رسم کنیم، طول هر دو مماس بر هر دایره، برابر است که قبلا بیان شده است.

$\{\begin{cases} M T = M T_{2} \\ M T = M T_{4} \\ M T = M T_{3} \\ M T = M T_{1} \end{cases}$

$M T = M T_{1} = M T_{2} = M T_{3} = M T_{4} = \dots$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

مماس بر دایره - پیمان گردلو

$O A$ نیمساز زاویه $x A y$ است و $O H$ بر $A y$ عمود است.

ثابت کنید دایره‌ای که به مرکز $O$ و به‌شعاع $O H$ رسم می‌شود بر $A x$ نیز مماس است.

می‌دانیم هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است:

$O H = O H^{'}$

پس می‌توان گفت دایره به‌مرکز $O$ و به شعاع برابر $O H$ از $H^{'}$ نیز می‌گذرد.

از آنجایی که $O H^{'} ⊥ A x$ است، لذا $A x$ بر دایره مماس است.

مماس بر دایره - پیمان گردلو

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

مماس های رسم شده بر دو دایره متقاطع در نقطه تقاطع دو دایره، بر هم عمودند.

اگر شعاع دایره کوچک تر $1.5$ و فاصله بین مراکز دو دایره $2.5$ باشد، شعاع دایره بزرگ تر، کدام است؟

$\sqrt{3}$
$\sqrt{5}$
$3$
$2$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی 1402

در شکل زیر، از نقطه $A$ دو مماس رسم شده است. شعاع دایره کدام است؟

$7 / 2 \sqrt{2}$
$4 / 8 \sqrt{5}$
$3 / 6 \sqrt{2}$
$2 / 4 \sqrt{5}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

المپیاد ریاضی

در شکل زیر طول کمان رنگی کدام است؟

$2 π$
$4 π$
$3 π$
$π$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه قرمز رنگ کدام یک از گزینه های زیر است؟

$0.33$
$0.43$
$0.53$
$0.63$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

مماس بر دایره

رسم مماس از نقطه‌ای واقع بر روی دایره

رسم مماس از نقطه واقع در خارج دایره

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟