اوضاع نسبی دو ‌دایره

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

حالت اول) دو دایره، دو نقطه مشترک دارند:

دو دایره را که در دو نقطه مشترک داشته باشند، متقاطع می‌نامیم.

دایره - پیمان گردلو

در این‌صورت طول پاره‌خطی که دو مرکز را به‌هم وصل می‌کند (خط المرکزین) از مجموع دو شعاع کوچک‌تر و از تفاضل دو شعاع بزرگ‌تر است.

RR'<OO'<R+R'    ;    CC'=A,B

در مثلث AOO' داریم:

OO'<R+R'R'<OO'+ROO'<RR'R<OO'+R'RR'<OO'OO'<RR'<OO'RR'<OO'RR'<OO'<R+R'

نکته

1- دو دایره متقاطع، فقط دو مماس مشترک دارد.

2- پاره‌خط A و B که دو سر آن روی هر دو دایره است، وتر مشترک دو دایره متقاطع نامیده می‌شود.

دایره - پیمان گردلو

OA=OB=RO'A=O'B=R'

با توجه به خاصیت عمودمنصف، نقاط O و O' روی عمودمنصف AB قرار دارد.    

چون عمود منصف هر پاره‌خط منحصر به‌فرد است، در نتیجه پاره‌خط OO' عمودمنصف ِ وتر مشترک AB است.   

تمرین

شعاع‌های دو دایره 3 و 7 سانتی‌متر و طول خط‌المرکزین 5 سانتی‌متر است، دو دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

OO'=5R=7R'=3  73<5<7+3RR'<OO'<R+R'


دایره - پیمان گردلو


دو دایره متقاطع هستند.

دو نقطه A و B به فاصله 4 سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند، نقاطی را تعیین کنید که فاصله آنها از A برابر 2 سانتی‌متر و از B برابر 3 سانتی‌متر باشند.   

به‌مرکز A و به‌شعاع 2 سانتی‌متر و هم‌چنین به‌مرکز B و به‌شعاع 3 سانتی‌متر دو دایره رسم می‌کنیم.


دایره - پیمان گردلو 


چون طول خط‌المرکزین از جمع دو شعاع کوچک‌تر و از تفاضل دو شعاع بزرگ‌تر است دو دایره هم‌دیگر را در دو نقطه M و N قطع می‌کنند، این دو نقطه جواب مساله هستند. 

چرا دو دایره متقاطع نمی‌توانند سه نقطه مشترک داشته باشند؟

با توجه به این‌که از سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست فقط یک دایره می‌گذرد، می‌توان گفت اگر دو دایره در سه نقطه مشترک باشند در واقع بر هم منطبقند. 

دو دایره در دو نقطه A و B متقاطعند، دو خط موازی از نقاط A و B رسم می‌کنیم تا به‌ترتیب دایره اول را در C و E و دایره دوم را در D و F قطع کنند، ثابت کنید:CE=DF  

از A به B وصل می‌کنیم:


دایره - پیمان گردلو 

ACEBCE=AMBCE=ABADBFDF=ANBDF=AB  CE=DF

از دو نقطه واقع در یک صفحه چند دایره می‌گذرد؟ مکان مرکزهای این دوایر چیست؟

دایره - پیمان گردلو


از دو نقطه، تعداد بی‌شماری دایره می‌گذرد که مراکز این دوایر بر عمودمنصف پاره‌خط واصل بین آن دو نقطه قرار می‌گیرند.

حالت دوم) دو دایره فقط یک نقطه مشترک دارند (مماس بیرونی):

دایره - پیمان گردلو

در این‌صورت طول خط‌المرکزین با مجموع دو شعاع برابر است:

OO'=R+R'    ;    CC'=A

نکته

در نقطه مشترک دو دایره، یک خط بر هر دو دایره مماس است.

دایره - پیمان گردلو

قضیه

طولِ مماس مشترک خارجی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

TT'=2RR'

اثبات

دایره - پیمان گردلو

OO'=d

TT'=d2RR'2TT'=R+R'2RR'2TT'=R2+2RR'+R'2R22RR'+R'2TT'=4RR'TT'=2RR'

تمرین

دو نقطه A و B به‌فاصله 4 سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند. نقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از A برابر 1/5 سانتی‌متر و از B برابر 2/5 سانتی‌متر باشند.   

به‌مرکز A و به‌شعاع 1/5 سانتی‌متر و هم‌چنین به‌مرکز B و به‌شعاع 2/5 سانتی‌متر دو دایره رسم می‌کنیم.


دایره - پیمان گردلو


چون فاصله دو مرکز با جمع دو شعاع مساوی است، پس دو دایره در یک نقطه بر هم مماس می‌شوند، که نقطه تماس جواب مساله است.

دو دایره مساوی در نقطه M مماس خارجند و AB و CD دو قطر موازی از این دو دایره‌اند، ثابت کنید چهار ضلعی ABCD لوزی است.   


دایره - پیمان گردلو


چون دو دایره مساویند، پس قطرهای آنها نیز مساوی است، پس دو قطر AB و CD هم موازی و هم مساویند، لذا می‌توان گفت چهار ضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است.


به‌همین ترتیب می‌توان گفت چهار ضلعی AOO'D نیز متوازی‌الاضلاع است، بنابراین:

OO'=AD=2RAB=2R  AD=AB


پس چهار ضلعی ABCD لوزی است. 

تمرین

سه دایره به شعاع‌های برابر r دو‌به‌دو بر هم مماس هستند.

مطابق شکل، این سه دایره به‌وسیله نخی بسته شده‌اند.

دایره - پیمان گردلو

نشان دهید طول این نخ برابر است با:6r+2πr

طول نخ برابر است با:

محیط یک دایره2r+2r+2r+

=6r+2πr

نشان دهید مساحت ناحیه محدود به سه دایره، برابر r23π2 است.

مجموع سه قطاع با زوایای مرکزی C,B,A تشکیل یک نیم دایره می‌دهند:


مساحت ناحیه هاشور خورده برابر است با تفاضل مساحت مثلث ABC و مساحت نیم دایره:

342r2πr22=r23π2

حالت سوم) دو دایره فقط یک نقطه مشترک دارند (مماس داخلی):

 دایره - پیمان گردلو

در این‌صورت طول خط‌المرکزین با تفاضل دو شعاع مساوی است:

OO'=RR'    ;    CC'=A

تمرین

طول خط‌المرکزین دو دایره مماس درونی 2 سانتی‌متر و مساحت ناحیه محدو بین آنها 16π سانتی‌متر مربع است. طول شعاع‌های دو دایره را به‌دست آورید.

دایره - پیمان گردلو


مساحت محدود بین دو دایره:

SCSC'=16π


OO'=2CMOA=R  ,  O'A=R'

SCSC'=16ππR2πR'2=16πR2R'2=16RR'R+R'=16    ;    OO'=RR'=22R+R'=16R+R'=8


R+R'=8RR'=2R=5R'=3

شعاع‌های دو دایره 3 و 7 سانتی‌متر و طول خط‌المرکزین 4 سانتی‌متر است، دو دایره نسبت به‌هم چه وضعی دارند؟

OO'=4R=7R'=3  4=73OO'=RR'


با توجه به این‌که طول خط‌المرکزین با تفاضل دو شعاع مساوی است، بنابراین دو دایره مماس داخلند.


دایره - پیمان گردلو

حالت چهارم) دو دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند (متخارج):   

دایره - پیمان گردلو

در این‌صورت طول خط‌المرکزین از مجموع دو شعاع بزرگ‌تر است.

OO'>R+R'    ;    CC'=

نکته

هر خطی یا پاره خطی که بر هر دو دایره مماس باشد، مماس مشترک دو دایره است.

دایره - پیمان گردلو

اگر دو دایره در یک طرفِ خط باشند، آن را مماس مشترک خارجی گویند.

اگر دو دایره در دو طرفِ خط باشند، آن را مماس مشترک داخلی گویند.

قضیه

در شکل زیر چهارضلعی TT'O'H مستطیل است.

دایره - پیمان گردلو

اثبات

OTm  ,  O'T'm  ,  O'Hm

طبق قضیه خطوط موازی داریم:

T=H=90°T'=O'=90°

بنابراین چهار ضلعی TT'O'H چهار زاویه قائمه دارد و مستطیل است. 

قضیه

طولِ مماس مشترک خارجی در شکل زیر برابر است:

دایره - پیمان گردلو

TT'=d2OTO'T'2

اثبات

OO'=d    ,      OT=R    ,     O'T'=R'    ,     O'H=TT'OO'H   :     H=90°


O'H2+OH2=OO'2O'H2=OO'2OH2O'H=OO'2OH2TT'=OO'2OH2TT'=d2OTHT2TT'=d2OTO'T'2TT'=d2RR'2

قضیه

طولِ مماس مشترک داخلی در شکل زیر برابر است:

دایره - پیمان گردلو

TT'=d2R+R'2

اثبات

در مستطیل THO'T' داریم: 

TH=O'T'=R'TT'=O'H


OH=R+TH=R+R'OO'H   :     H=90°


O'H2+OH2=OO'2O'H2=OO'2OH2O'H=OO'2OH2TT'=OO'2OH2TT'=d2OT+TH2TT'=d2OT+O'T'2TT'=d2R+R'2

نکته

1- اگر دو مماس مشترک m و n متقاطع باشند، نقطه تقاطع آنها یعنی M روی خط OO' خواهد بود.    

دایره - پیمان گردلو

فرض کنیم دو مماس مشترک m و n در نقطه M هم‌دیگر را قطع کنند. 

OM نیمساز زاویه M و O'M نیمساز زاویه M فقط یک نیمساز دارد، در نتیجه OM و O'M بر هم منطبق هستند و نقطه نقاطع دو مماس m و n روی خط OO' قرار دارد.        


2- اگر به‌مرکز O و به شعاع RR' دایره‌ای رسم کنیم، پاره‌خط O'H برای دایره رسم شده، مماس است. 

RR'=OTO'T'=OTHT=OH

دایره‌ای به‌مرکز O و به شعاع RR'=OH رسم می‌کنیم. طبق شکل فوق، پاره خط O'H بر این دایره مماس است.    

تمرین

دو نقطه A و B به‌فاصله 4 سانتی‌متر در یک صفحه قرار دارند، نقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از A برابر 1/5 و از B برابر 2 سانتی‌متر باشند.     

دو دایره به مراکز A و B به شعاع‌های 1/5 و 2 سانتی‌متر رسم می‌کنیم.


دایره - پیمان گردلو   


با توجه به این‌که فاصله دو مرکز از جمع دو شعاع بزرگ‌تر است، دو دایره یکدیگر را قطع نمی‌کنند، بنابراین نقطه‌ای وجود ندارد که فاصله آن از A برابر 1/5 و از B برابر 2 سانتی‌متر باشند. 

فرض کنید دو دایره داده شده باشد، چگونه مماس مشترک دو دایره را رسم می‌کنیم؟

دایره - پیمان گردلو


از آنجا که مرکزها و شعاع دو دایره معلوم است، داریم: 


اگر به‌مرکز O و به شعاع RR' دایره‌ای رسم کنیم، پاره خط O'H برای دایره رسم شده، مماس است.


دایره - پیمان گردلو    


از نقطه O به H وصل می‌کنیم و امتداد می‌دهیم تا دایره C را در نقطه T قطع کند.


از این نقطه خطی موازی O'H رسم می‌کنیم. این خط در نقطه T' بر دایره C' مماس است.  

طول شعاع‌های دو دایره متخارج را به‌دست آورید که طول مماس مشترک خارجی آنها مساوی 37 و طول مماس مشترک داخلی آنها 15 و طول خط‌المرکزین آنها مساوی 8 واحد است. 

دایره - پیمان گردلو


بر اساس فرمول‌های مماس مشترک داخلی و خارجی داریم:

T1T22=d2RR'2372=82RR'263=64RR'2T1'T2'2=d2R+R'2152=82R+R'215=64R+R'263=64RR'215=64R+R'2RR'2=1RR'=1R+R'2=49R+R'=7R=4R'=3

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

دایره - پیمان گردلو

مقدار rc,rb,ra را بیابید. 

SABC=SOAC+SOABSOBCS=12rab+12rac12raaS=12rab+ca2p2a=a+b+c2a=b+caS=12ra2p2aS=rapara=Spa


به‌طور مشابه برای اضلاع دیگر داریم:

rb=Spb    ,    rc=Spc

حالت پنجم) دو دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند (متداخل ):

 دایره - پیمان گردلو

در این‌صورت طول خط‌المرکزین از تفاضل دو شعاع کوچک‌تر است:

OO'<RR'    ;    CC'=

یادآوری

دایره - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید