سرفصل‌های این مبحث

دایره

زاویه مرکزی

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: دایره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف زاویه مرکزی

زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی نامیده می‌شود.

در شکل فوق $A \hat{O} B$ یک زاویه مرکزی است و کمان $\overset{⏜}{A B}$ کمان مقابل به زاویه $A \hat{O} B$ می‌باشد.

یادآوری

اگر یک دایره را به $360$ قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت یک درجه نامیده می‌شود، به‌عبارت دیگر یک درجه $\frac{1}{360}$ محیط دایره می‌باشد.

تمرین

یک دایره رسم کنید و آن‌را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنید.

دو قطر عمود بر هم از دایره را رسم می‌کنیم، به این ترتیب در مرکز دایره چهار زاویه قائم مساوی پدید می‌آید.

دایره نیز به چهار قسمت مساوی که هر قسمت برابر $90^{\circ}$ است، تقسیم می‌شود.

سه نقطه $C, B, A$ بر یک دایره به‌مرکز $O$ چنان اختیار شده‌اند که $\{\begin{cases} A \hat{O} B = 75^{°} \\ B \hat{O} C = 136^{°} \end{cases}$ اندازه کمان $\overset{⏜}{A C}$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} A \hat{O} B + A \hat{O} C + B \hat{O} C = 360^{°} \\ \Rightarrow \overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{A C} + \overset{⏜}{B C} = 360^{°} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 75^{°} + \overset{⏜}{A C} + 136^{°} = 360^{°} \\ \Rightarrow \overset{⏜}{A C} = 360^{°} - (75^{\circ} + 136^{°}) \\ \Rightarrow \overset{⏜}{A C} = 149^{°} \end{array}$

قضایای زاویه مرکزی

قضیه

اگر دو کمان از یک دایره مساوی باشند، وترهای نظیرشان مساوی است.

اثبات

فرض آن‌است که:

$\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A B = C D$

نقاط $D, C, B, A$ را به مرکز دایره وصل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} O A = O C \\ \overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D} \\ O B = O D \end{array} \Rightarrow {\hat{o}}_{1} = {\hat{o}}_{2}$

دو مثلث از طریق دو ضلع و زاویه بین‌شان مساوی است:

$O \overset{△}{A} B = O \overset{△}{C} D \Rightarrow A B = C D$

قضیه

اگر دو وتر از یک دایره مساوی باشند، کمان‌های نظیرشان مساوی است.

اثبات

فرض آن‌است که:

$A B = C D$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$

نقاط $D, C, B, A$ را به مرکز دایره وصل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} O A = O C \\ O B = O D \\ A B = C D \end{cases}$

دو مثلث از طریق سه ضلع مساوی است:

$O \overset{△}{A} B = O \overset{△}{C} D \Rightarrow {\hat{O}}_{1} = {\hat{O}}_{2} \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$

قضیه

در هر دایره، قطر عمود بر یک وتر، وتر و کمان‌های نظیرش را نصف می‌کند.

اثبات

فرض آن‌است که:

$C D ⊥ A B$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A H = H B, \overset{⏜}{A D} = \overset{⏜}{D B}, \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{C B}$

نقاط $B, A$ را به مرکز دایره وصل می‌کنیم، مثلث $O A B$ متساوی‌الساقین است.

در مثلث متساوی‌الساقین، ارتفاع نظیر قاعده، میانه نظیر قاعده و نیمساز زاویه راس نیز می‌باشد، بنابراین:

$\begin{array}{l} A H = H B \end{array}$

${\hat{O}}_{1} = {\hat{O}}_{2} \Rightarrow \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{C B} \Rightarrow 180^{\circ} - \overset{⏜}{A C} = 180^{\circ} - \overset{⏜}{C B} \Rightarrow \overset{⏜}{A D} = \overset{⏜}{D B}$

قضیه

اگر قطری از یک دایره، کمانی از آن دایره را نصف کند بر وتر نظیر آن کمان عمود است و آن‌را نصف می‌کند.

اثبات

$\{\begin{cases} O A = O B \\ \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{C B} \Rightarrow \\ O H = O H \end{cases} {\hat{O}}_{1} = {\hat{O}}_{2}$

دو مثلث از طریق دو ضلع و زاویه بین‌شان مساوی است:

$O \overset{△}{H} A = O \overset{△}{H} B \Rightarrow {\hat{H}}_{1} = {\hat{H}}_{2} = 90^{\circ}, A H = B H$

تمرین

اگر نقاط وسط وتر $A B$ و کمان $A B$ را داشته باشیم، چگونه می‌توانیم قطر عمود بر وتر $A B$ را رسم کنیم؟

اگر وسط کمان $A B$ را $M$ بنامیم و وسط وتر $A B$ را $H$ بنامیم:

کافی است این دو نقطه را به‌هم وصل کنیم و از سمت $H$ امتداد دهیم تا دایره را در نقطه $N$ قطع کند.

$M N$ قطر عمود بر این وتر است.

در دایره $C (O, R)$ اگر $\overset{⏜}{A B} = 60 °$ و $A B = 10$ است، فاصله $O$ از وتر $A B$ را به‌دست آورید.

در شکل فوق مثلث $O A B$ متساوی‌الاضلاع است.

از مرکز دایره بر وتر $A B$ عمود می‌کنیم. طول پاره‌خط $O H$ جواب است.

قطر عمود بر وتر، وتر را نصف می‌کند، پس $A H = 5$ است و در مثلث قائم‌الزاویه $O A H$ داریم:

$O H^{2} + A H^{2} = O A^{2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow O H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow O H = \sqrt{{(10)}^{2} - {(5)}^{2}} \\ \Rightarrow O H = \sqrt{75} \\ \Rightarrow O H = 5 \sqrt{3} \end{matrix}$

قضیه

ناحیه‌ای از درون و روی دایره را که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است، یک قطاع دایره می‌نامند.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اگر زاویه مرکزی، قطاعی از دایره با شعاع $R$ بر حسب درجه، مساوی $α$ باشد، طول کمان $A B$ برابر است با:

$L = \frac{π R}{180} α$

و مساحت قطاع برابر است با:

$S = \frac{π R^{2}}{360} α$

اثبات

برای تبدیل واحدهای اندازه گیریِ درجه و رادیان به یک‌دیگر از تساوی زیر استفاده می‌کنیم:

$\frac{D}{360} = \frac{R a d}{2 π}$

$\Rightarrow \frac{D}{180} = \frac{R a d}{π}$

$\Rightarrow 1 R a d = \frac{D}{180} π; D = α$

$\Rightarrow 1 R a d = \frac{α}{180} π$

در دایره‌ای به شعاع $R$ طول کمانی که اندازه زاویه مرکزی آن $α$ درجه باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$L = \overset{⏜}{A B} = \frac{α}{180} π . R = \frac{π R}{180} . α$

در واقع طول یک کمان نسبت مستقیم با شعاع دایره و زاویه مرکزی روبرو بر حسب درجه دارد.

اگر مساحت دایره‌ای را به $360$ قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر قسمت $\frac{π R^{2}}{360}$ می‌باشد، در واقع $π R^{2}$ مساحت دایره است.

برای یافتن مساحت قطاع داریم:

$S = \frac{π r^{2}}{360} \times α^{\circ}$

نکته

1- زاویه مرکزی با کمان مقابلش مساوی است و واحد آن بر حسب درجه می‌باشد.

$A \hat{O} B = \overset{⏜}{A B}$

2- اگر دو زاویه مرکزی مساوی باشند، کمان‌های مقابل آنها نیز مساوی است و برعکس.

$A \hat{O} B = C \hat{O} D \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$

هم‌چنین اگر دو کمان از یک دایره مساوی باشند زوایای مرکزی نظیرشان نیز مساوی است:

$\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D} \Rightarrow A \hat{O} B = C \hat{O} D$

3- کمان‌های دایره‌های مختلف، می‌توانند اندازه‌های برابر و طول‌های نابرابر داشته باشند.

اندازه کمان، همان اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن کمان تعریف می‌شود و واحد آن درجه است.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

کمان‌های $\overset{⏜}{E F}, \overset{⏜}{C D}, \overset{⏜}{A B}$ چند درجه‌اند.

با توجه به این‌که هر کمان از یک دایره با زاویه مرکزی نظیرش مساوی است، لذا:

$\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D} = \overset{⏜}{E F} = 45^{°}$

لازم به ذکر است که سه کمان فوق، طول‌های متفاوت دارند.

نکته

4- با توجه به این‌که محیط دایره، کمانی به‌اندازه $360^{\circ}$ است، خواهیم داشت:

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اندازه کمان‌های فوق را بنویسید.

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{A B} = 60 ° \\ \overset{⏜}{A_{1} B_{1}} = 60 ° \end{array}$

طول کمان $\overset{⏜}{A B}$ :

$\begin{matrix} \frac{60}{360} = \frac{x_{\overset{⏜}{A B}}}{2 π r} \\ \Rightarrow \frac{60}{360} = \frac{x_{\overset{⏜}{A B}}}{2 π (1)} \\ \Rightarrow x_{\overset{⏜}{A B}} = \frac{2 π \times 60}{360} \\ \Rightarrow x_{\overset{⏜}{A B}} = \frac{π}{3} \end{matrix}$

طول کمان $\overset{⏜}{A_{1} B_{1}}$ :

$\begin{matrix} \frac{60}{360} = \frac{x_{\overset{⏜}{A_{1} B_{1}}}}{2 π r} \\ \Rightarrow \frac{60}{360} = \frac{x_{\overset{⏜}{A_{1} B_{1}}}}{2 π (1 + 1)} \\ \Rightarrow x_{\overset{⏜}{A_{1} B_{1}}} = \frac{4 π \times 60}{360} \\ \Rightarrow x_{\overset{⏜}{A_{1} B_{1}}} = \frac{2 π}{3} \end{matrix}$

تمرین

مطابق شکل، دایره‌ای به شعاع $4$ می‌باشد، این ناحیه یک قطعه از دایره نامیده می‌شود.

مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید.

مثلث $O A B$ متساوی‌الساقین است و $\overset{\land}{O} = 60 °$ بنابراین این مثلث، متساوی‌الاضلاع هم هست.

مساحت قطعه رنگی برابر است با تفاضل مساحت قطاع $360^{\circ}$ با مساحت مثلث $O A B$ است:

$S = \frac{π r^{2}}{360} α - \frac{\sqrt{3}}{4} r^{2} = \frac{π {(4)}^{2}}{360} (60) - \frac{\sqrt{3}}{4} {(4)}^{2} = \frac{8 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دایره

زاویه مرکزی

تعریف زاویه مرکزی

قضایای زاویه مرکزی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟