زاویه مرکزی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: دایره
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

تعریف زاویه مرکزی

زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی نامیده می‌شود.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

در شکل فوق AO^B یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل به زاویه AO^B می‌باشد.

یادآوری

اگر یک دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت یک درجه نامیده می‌شود، به‌عبارت دیگر یک درجه 1360 محیط دایره می‌باشد. 

تمرین

یک دایره رسم کنید و آن‌را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنید.

دو قطر عمود بر هم از دایره را رسم می‌کنیم، به این ترتیب در مرکز دایره چهار زاویه قائم مساوی پدید می‌آید و دایره نیز به چهار قسمت مساوی که هر قسمت برابر 90 است، تقسیم می‌شود.


زاویه مرکزی - پیمان گردلو

سه نقطه C,B,A بر یک دایره به‌مرکز O چنان اختیار شده‌اند که AO^B=75°BO^C=136° اندازه کمان AC چقدر است؟  

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

AO^B+AO^C+BO^C=360°AB+AC+BC=360°75°+AC+136°=360°AC=360°75+136°AC=149°

قضایای زاویه مرکزی 

قضیه

اگر دو کمان از یک دایره مساوی باشند، وترهای نظیرشان مساوی است.

اثبات

فرض آن‌است که:

AB=CD

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

AB=CD

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

نقاط D,C,B,A را به مرکز دایره وصل می‌کنیم: 

OA=OCAB=CDOB=ODo^1=o^2

دو مثلث از طریق دو ضلع و زاویه بین‌شان مساوی است:

OAB=OCDAB=CD

قضیه

اگر دو وتر از یک دایره مساوی باشند، کمان‌های نظیرشان مساوی است.

اثبات

فرض آن‌است که:

AB=CD

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

AB=CD

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

نقاط D,C,B,A را به مرکز دایره وصل می‌کنیم: 

OA=OCOB=ODAB=CD

دو مثلث از طریق سه ضلع مساوی است:

OAB=OCDO^1=O^2AB=CD

قضیه

در هر دایره، قطر عمود بر یک وتر، وتر و کمان‌های نظیرش را نصف می‌کند.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اثبات

فرض آن‌است که:

CDAB

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم) 

AH=HB  ,  AD=DB  ,  AC=CB

نقاط B,A را به مرکز دایره وصل می‌کنیم، مثلث OAB متساوی‌الساقین است و در مثلث متساوی‌الساقین، ارتفاع نظیر قاعده، میانه نظیر قاعده و نیمساز زاویه راس نیز می‌باشد، بنابراین:

AH=HBO^1=O^2AC=CB180AC=180CBAD=DB

قضیه

اگر قطری از یک دایره، کمانی از آن دایره را نصف کند بر وتر نظیر آن کمان عمود است و آن‌را نصف می‌کند. 

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اثبات

OA=OBAC=CBOH=OHO^1=O^2

دو مثلث از طریق دو ضلع و زاویه بین‌شان مساوی است:

OHA=OHBH^1=H^2=90  ,  AH=BH

تمرین

اگر نقاط وسط وتر AB و کمان AB را داشته باشیم، چگونه می‌توانیم قطر عمود بر وتر AB را رسم کنیم؟ 

زاویه مرکزی - پیمان گردلو


اگر وسط کمان AB را M بنامیم و وسط وتر AB را H بنامیم، کافی است این دو نقطه را به‌هم وصل کنیم و از سمت H امتداد دهیم تا دایره را در نقطه N  قطع کند.


MN قطر عمود بر این وتر است.

در دایره CO,R اگر AB=60° و AB=10 است، فاصله O از وتر AB را به‌دست آورید.                  

زاویه مرکزی - پیمان گردلو


در شکل فوق مثلث OAB متساوی‌الاضلاع است.


از مرکز دایره بر وتر AB عمود می‌کنیم. طول پاره‌خط OH جواب است.


قطر عمود بر وتر، وتر را نصف می‌کند، پس AH=5 است و در مثلث قائم‌الزاویه OAH داریم: 

OH2+AH2=OA2OH=OA2AH2=10252=75=53

قضیه

ناحیه‌ای از درون و روی دایره را که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است، یک قطاع دایره می‌نامند.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اگر زاویه مرکزی، قطاعی از دایره با شعاع R بر حسب درجه، مساوی α باشد، طول کمان AB برابر است با: 

L=πR180α

و مساحت قطاع برابر است با:

S=πR2360α

اثبات

برای تبدیل واحدهای اندازه گیریِ درجه و رادیان به یک‌دیگر از تساوی زیر استفاده می‌کنیم:

D360=Rad2πD180=Radπ1Rad=D180πD=α1Rad=α180π

در دایره‌ای به شعاع R طول کمانی که اندازه زاویه مرکزی آن α درجه باشد، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

L=AB=α180π.R=πR180.α

در واقع طول یک کمان نسبت مستقیم با شعاع دایره و زاویه مرکزی روبرو بر حسب درجه دارد.

اگر مساحت دایره‌ای را به 360 قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر قسمت πR2360 می‌باشد، در واقع πR2 مساحت دایره است.

برای یافتن مساحت قطاع داریم:

S=πr2360×α

نکته

1- زاویه مرکزی با کمان مقابلش مساوی است و واحد آن بر حسب درجه می‌باشد.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

AO^B=AB


2- اگر دو زاویه مرکزی مساوی باشند، کمان‌های مقابل آنها نیز مساوی است و برعکس.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

AO^B=CO^DAB=CD

هم‌چنین اگر دو کمان از یک دایره مساوی باشند زوایای مرکزی نظیرشان نیز مساوی است:

AB=CDAO^B=CO^D


3- کمان‌های دایره‌های مختلف، می‌توانند اندازه‌های برابر و طول‌های نابرابر داشته باشند.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اندازه کمان، همان اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن کمان تعریف می‌شود و واحد آن درجه است.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

کمان‌های EF,CD,AB چند درجه‌اند. 

با توجه به این‌که هر کمان از یک دایره با زاویه مرکزی نظیرش مساوی است، لذا:

AB=CD=EF=45°


لازم به ذکر است که سه کمان فوق، طول‌های متفاوت دارند.

نکته

4- با توجه به این‌که محیط دایره، کمانی به‌اندازه 360 است، خواهیم داشت:

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

اندازه کمان‌های فوق را بنویسید.

AB=60°A1B1=60°


طول کمان AB:

60360=xAB2πr60360=xAB2π1xAB=2π×60360xAB=π3


 طول کمان A1B1:

60360=xA1B12πr60360=xA1B12π1+1xA1B1=4π×60360xA1B1=2π3

تمرین

مطابق شکل، دایره‌ای به شعاع 4 می‌باشد، این ناحیه یک قطعه از دایره نامیده می‌شود.

زاویه مرکزی - پیمان گردلو

مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید. 

مثلث OAB متساوی‌الساقین است و O=60° بنابراین این مثلث، متساوی‌الاضلاع هم هست.


مساحت قطعه رنگی برابر است با تفاضل مساحت قطاع 360 با مساحت مثلث OAB است:

S=πr2360α34r2=π42360603442=8π343

برای ارسال نظر وارد سایت شوید