سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

قضایای اساسی حد

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 26 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

قضیه

اگر تابع f در نقطه x=a دارای حد باشد ، حتما حد چپ و راست آن تابع در a با هم برابر است و برعکس.

if  limxafx=Llimxa+fx=limxafx=L

اثبات

فرض کنیم که if  limxafx=L باشد، ثابت می‌کنیم حد چپ و راست تابع با هم برابر است: 

limxafx=Lβ>0      α>0     ;      0<xa<αfxL<β

if   xa+β>0     α>0       ;       a<x<a+αfxL<βlimxa+fx=L

if  xaβ>0      α>0    ;    aα<x<a  fxL<βlimxafx=L


limxa+fx=limxafx=L


فرض کنیم که حد چپ و راست تابع باهم برابر باشد، ثابت می‌کنیم if  limxafx=L :

limxa+fx=Lβ>0      α1>0      ;    a<x<a+α10<xa<α1fxL<β

limxafx=Lβ>0     α2>0      ;    aα2<x<aα2<xa<0fxL<β

0<xa<α1fxL<βα2<xa<0fxL<βminα1,α2α<xa<minα1,α2αα<xa<α

β>0      α>0     ;    α<xa<α0<xa<αfxL<βlimxafx=L

قضیه

اگر تابع f در نقطه x=a حد داشته باشد، این حد منحصر به فرد خواهد بود، به عبارت دیگر داریم:

iflimxafx=Llimxafx=L'L=L'

اثبات

فرض کنیم LL' باشد:

if    limxafx=Lβ>0       α1>0     ;     0<xa<α1fxL<β    ;    Ιif  limxafx=L'β>0     α2>0     ;     0<xa<α2fxL'<β    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم: 

if   0<xa<αfxL<βfxL'<β

fxL+fxL'<β+βfxL+fxL'<LL'4+LL'4    ;    if  β=LL'4fxL+fxL'<LL'2    ;    ΙΙΙLL'<LL'2


نامساوی فوق برقرار نیست یعنی فرض LL' غلط است و همواره L=L' است.  

ΙΙΙ   :   LL'=Lfx+fxL'Lfx+fxL'LL'fxL+fxL'

قضیه

اگر limxafx=L1limxagx=L2 باشد، آنگاه: 

limxafx+gx=L1+L2

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

β>0   α>0  ;   0<xa<αfx+gxL1+L2<β


بنا به فرض داریم:

limxafx=L1β2>0      α1>0    ;    0<xa<α1fxL1<β2    ;    Ιlimxagx=L2β2>0     α2>0    ;    0<xa<α2gxL2<β2    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم: 

if  0<xa<αfxL1<β2gxL2<β2

fxL1+gxL2<β2+β2fxL1+gxL2<β    ;    if   a+ba+bfx+gxL1L2<βfx+gxL1+L2<βlimxafx+gx=L1+L2

قضیه

اگر تابع fx در هر نقطه ای حد داشته باشد و این حد متناهی باشد، fx محدود است. 

fx را محدود گوئیم هرگاه عددی مانند N وجود داشته باشد به‌طوری‌که fx<N است. 

اثبات

فرض کنیم a نقطه دلخواهی از fx باشد و limxafx=L

β>0    α>0     ;    0<xa<αfxL<β       ;      if     ababfxL<βfx<β+L      ;     if  N=  β+Lfx<N

قضیه

اگر limxafx=L1limxagx=L2 باشد، آنگاه: 

limxafx-gx=L1-L2

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

β>0     α>0    ;    0<xa<αfxgxL1L2<β

بنا به فرض:

limxafx=L1β2>0      α1>0    ;    0<xa<α1fxL1<β2    ;    Ιlimxagx=L2β2>0     α2>0    ;    0<xa<α2gxL2<β2    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم:

if  0<xa<αfxL1<β2gxL2<β2

fxL1+gxL2<β2+β2fxL1gxL2<β    ;    if   a+babfxgxL1L2<βlimxafxgx=L1L2

قضیه

اگر limxafx=L و λ0 مقدار ثابت باشد، آنگاه:   

limxaλfx=λlimxafx=λL

اثبات

limxafx=Lβ1>0   α>0  ;  0<xa<αfxL<β1      ;    if  β1=βλfxL<βλλfxL<βλfxλL<βlimxaλfx=λL

قضیه

شرط لازم و کافی برای آن‌که limxafx=L باشد، آن است که در تابع fx=L+εx داشته باشیم:

limxaεx=0

اثبات

limxafx=Lβ>0    α>0     ;     0<xa<αfxL<β    ;    if  fx=L+εxL+εxL<βεx0<βlimxaεx=0


از این قضیه نتیجه می‌شود که هرگاه limxafx=LR در این‌صورت می‌توان در یک همسایگی a مقدار تابع را با حد تابع برابر اختیار کرد.


یعنی به طور تقریب fx را با L برابر گرفت، در این‌صورت چنین می‌نویسیم:

fxL

قضیه

اگر limxafx=limxagx=b باشد، آنگاه: 

limxafx+gx=

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

N>0   α>0    ;     0<xa<αfx+gx>N

بنا به فرض:

limxafx=N1>0    α1>0    ;    0<xa<α1fx>N1    ;    Ιif  limxagx=bβ>0   α2>0    ;    0<xa<α2gxb<βgxb<βgx<β+bgx>β+b    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم:

if  0<xa<αfx>N1gx>β+b

fxgx>N1β+bfx+gx>N1β+b    ;    a+babfx+gx>N+β+bβ+b    ;    N1=N+β+bfx+gx>Nlimxafx+gx=

قضیه

اگر limxafx=+limxagx=c>0 باشد، آنگاه:

limxafx.gx=+

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

N>0     α>0     ;     0<xa<αfx.gx>N

بنا به فرض:

limxafx=+N'>0    α1>0    ;     0<xa<α1fx>N'    ;    Ιlimxagx=cβ>0    α2>0    ;    0<xa<α2gxc<β


gxc<ββ<gxc<βcβ<gx<c+β    ;    ifβ=c2cc2<gx<c+c2c2<gx<3c2    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم:

0<xa<αgx>c2fx>N'fx.gx>c2N'fx.gx>c2.2Nc    ;    N'=2Ncfx.gx>Nlimxafx.gx=+

قضیه

اگر limxafx=0limxagx=c>0 باشد، برای مقادیر مثبت fx داریم: 

limxagxfx=+

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

Ν>0       α>0    ;    0<xa<α   gxfx>N

بنا به فرض:

limxagx=cβ>0    α1>0    ;     0<xa<α1gxc<β


gxc<βgxc<c2    ;    if  β=c2c2<gxc<c2c2<gx<32c    ;    Ι

limxafx=0β>0    α2>0    ;    0<xa<α2fx<β


fx<βfx<β     ;    fx>01fx>1β    ;    ΙΙ

با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم:

if  0<xa<α1fx>1βgx>c2


gxfx>c2βgxfx>c2c2N    ;    ifβ=c2Ngxfx>Nlimxagxfx=+

قضیه

اگر limxafx=limxagx=c باشد، آنگاه:

limxagxfx=0

اثبات

بر اساس حکم می‌خواهیم ثابت کنیم:

β>0       α>0   ;     0<xa<αgxfx0<β

بنا به فرض:

limxafx=N>0    α2>00<xa<α2fx>Nfx>Nfx>1+cβ     ;    ifN=1+cβ1fx<β1+c              Ι

limxagx=cβ>0     α2>0    ;    0<xa<α2gxc<βgxc<βgxc<1    ;    if   β=1gxc<1gx<1+c    ;    ΙΙ


با فرض این‌که α=minα1,α2 از رابطه ΙΙ,Ι داریم:

if  0<xa<α1fx<β1+cgx<1+cgxfx<β1+c  .  1+cgxfx<βlimxagxfx=0

قضیه

فرض می‌کنیم limxafx=L0، آنگاه یک همسایگی محذوف از a وجود دارد که به ازای هر x از آن fx با L هم علامت است. 

اثبات

قضایای حد - پیمان گردلو

اگر L>0 باشد، یک بازه aα,a+αa از a هست که به ازای هر x از آن بازه fx>0 است و به همین ترتیب برای L<0.     


فرض کنیم L>0

β>0     α>0     ;    aα<x<a+α0<xa<αfxL<β    ;    if   β=L2fxL<L2L2<fxL<L2LL2<fx<L+L2L2<fx<32L    ;   L>0fx>0


به همین ترتیب برای L<0  هم ثابت می‌شود. 

قضیه

اگر limxafx=L باشد، آنگاه: 

limxafx=L

اثبات

limxafx=Lβ>0   α>0     ;    0<xa<αfxL<β    ;    fxLfxLfxL<βlimxafx=L

قضیه

اگر n عدد طبیعی باشد، آنگاه برای تابع fx=xn داریم:

limxnxn=an

الف) برای حالتی که a عددی مثبت است، یعنی n زوج یا فرد است.

ب) برای حالتی که a عددی منفی یا صفر است و n فرد است. 

اثبات

فرض کنیم a عددی مثبت باشد، بنا بر تعریف حد بایستی ثابت کنیم: 

limxaxn=anβ>0    α>0    ;   0<xa<αxnan<βx 1na 1nx 1nn1+x 1nn2.a 1n++a 1nn1x 1nn1+x 1nn2.a 1n++a 1nn1<β

xa1x 1nn1+x 1nn2.a 1n++a 1nn1<βxa1x n1n+x n2n.a 1n++a n1n<β    ;    Ιxa1a n1n<βxa<β.a n1n


یادآوری می‌کنیم که:

anbn=aban1+an2.b++bn1


در Ι اگر مینیمم عبارت زیر را پیدا کنیم، در واقع max1A را یافته‌ایم:   

A=xn1n+xn2n.a1n++an1n


فرض کنیم که aα باشد: 

ifA=x n1n+x n2n.a1n++a n1nminA=0 n1n+0 n2n.a 1n++a n1nminA=a n1nmax1A=1a n1n

  β>0   α>0  ;   0<xa<mina,βa n1nxnan<βxa<αxa<β.an1nαβ.an1n

برای ارسال نظر وارد سایت شوید