رفع ابهام صفر در بی نهایت

آخرین ویرایش: 16 اسفند 1403

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رفع ابهام $0 \times \infty$

در این حالت می‌توان عامل بی نهایت شونده یعنی $(\infty)$ را به صورت معکوسِ معکوس خودش نوشت تا حد به صورت $\frac{0}{0}$ درآید.

سپس صور مبهم $\frac{0}{0}$ را طبق مطالب گفته شده به‌دست آوریم.

$0 \times \infty = \frac{0}{1} \times \frac{1}{0} = \frac{0}{0}$

یادآوری

اگر عامل بی نهایت شونده، تانژانت یا کتانژانت باشد بهتر است آنها را به ترتیب به صورت زیر بنویسیم:

$\begin{array}{l} \tan x = \frac{1}{\cot x} \\ \cot x = \frac{1}{\tan x} \end{array}$

با توجه به مباحث مثلثات داریم:

$\begin{array}{l} \tan (0) = \tan (π) = 0, \cot (0) = \cot (π) = \infty \end{array}$

$\tan (\frac{π}{2}) = \tan (\frac{3 π}{2}) = \infty, \cot (\frac{π}{2}) = \cot (\frac{3 π}{2}) = 0$

تمرین

حدود زیر را محاسبه کنید.

$\lim_{x \to π} (1 + \cos x) \tan \frac{x}{2}$

$\lim_{x \to π} (1 + \cos x) \tan \frac{x}{2} = 0 \times \infty$

$\begin{matrix} \lim_{x \to π} (1 + \cos x) \tan \frac{x}{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \lim_{x \to π} 2 \cos^{2} \frac{x}{2} . \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \lim_{x \to π} 2 \cos \frac{x}{2} . \sin \frac{x}{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = 2 \times 0 \times 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} = 0 \end{matrix}$

$\lim_{x \to 2} (x^{2} - 4) \cot (x^{3} - 8)$

$\lim_{x \to 2} (x^{2} - 4) \cot (x^{3} - 8) = 0 \times \infty$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} (x^{2} - 4) \cot (x^{3} - 8) \\ = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{\tan (x^{3} - 8)} = \frac{0}{0} \\ \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{3} - 8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{=} \lim_{x \to 2} \frac{2 x}{3 x^{2}} \\ = \frac{4}{12} \\ = \frac{1}{3} \end{array}$

$\lim_{x \to 1} (2 x^{2} - 3 x + 1) \tan \frac{π}{2} x$

$\lim_{x \to 1} (2 x^{2} - 3 x + 1) \tan \frac{π}{2} x = 0 \times \infty$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} (2 x^{2} - 3 x + 1) \tan \frac{π}{2} x \\ = \lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{\cot \frac{π}{2} x} = \frac{0}{0} \end{array}$