صور مبهم توان دار

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

رفع ابهام $0^{0}, \infty^{0}, 1^{\infty}$

این سه صور مبهم به وسیله لگاریتم به یکی از چهار صور مبهم اولیه و در نهایت به دو صور $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$ تبدیل خواهند شد.

برای رفع ابهام صور فوق، به یکی از دو روش زیر عمل می‌کنیم.

روش اول

$\begin{array}{l} A = f {(x)}^{g (x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L n A = L n f {(x)}^{g (x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L n A = g (x) . L n f (x) \end{array}$

$\Rightarrow L n A = \frac{g (x)}{\frac{1}{L n f (x)}}, L n A = \frac{L n f (x)}{\frac{1}{g (x)}}$

روش دوم

$A = f {(x)}^{g (x)} = e^{\log_{e} f {(x)}^{g (x)}} = e^{g (x) \ln f (x)}; N = a^{\log_{a}^{} N}$

تمرین

حدود زیر را به‌دست آورید:

$\begin{array}{l} \underset{x \to 0^{+}}{\lim x^{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \underset{x \to 0^{+}}{\lim x^{x}} = 0^{0} \end{array}$

فرض می‌كنيم $A = x^{x}$ :

$\begin{array}{l} A = x^{x} \\ \Rightarrow L n A = L n x^{x} \\ \Rightarrow L n A = x L n x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (L n A) = \lim_{x \to 0^{+}} (x L n x) = 0 \times \infty \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (L n A) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{L n x}{\frac{1}{x}} = \frac{\infty}{\infty} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (L n A) \overset{H}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{x^{2}}} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (L n A) = \lim_{x \to 0^{+}} (- x) \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (L n A) = 0 \\ \Rightarrow L n (\lim_{x \to 0^{+}} A) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\lim_{x \to 0^{+}} A) = e^{0} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} A = 1 \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1 \end{array}$

$\lim_{x \to + \infty} \sqrt[x]{x}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \sqrt[x]{x} = \lim_{x \to + \infty} {(x)}^{\frac{1}{x}} = \infty^{0} \end{array}$

فرض می‌كنيم $A = \sqrt[x]{x}$ :

$\begin{array}{l} A = \sqrt[x]{x} \\ \Rightarrow L n A = L n \sqrt[x]{x} \\ \Rightarrow L n A = L n x^{\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow L n A = \frac{1}{x} L n x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (L n A) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x} L n x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (L n A) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{L n x}{x}) = \frac{\infty}{\infty} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (L n A) \overset{H}{=} \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (L n A) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x}) \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (L n A) = 0 \\ \Rightarrow L n (\lim_{x \to + \infty} A) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} A = e^{0} \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} A = 1 \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \sqrt[x]{x} = 1 \end{array}$