جهش و حد تابع

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هرگاه تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ دارای حدهای راست و چپ متناهی باشد، آنگاه:

$Ω = |\lim_{x \to a^{+}} f (x) - \lim_{x \to a^{-}} f (x)|$

را جهش تابع در نقطه $x = a$ می‌گویند.

واضح است که اگر جهش تابع در یک نقطه مانند $x = a$ برابر صفر باشد، آنگاه تابع در این نقطه دارای حد است.

تمرین

جهش توابع زیر را در نقاط داده شده، بدست آورید.

$f (x) = \{\begin{cases} 1 + x; x \leq - 1 \\ 1 - x^{2}; - 1 < x \leq 2 \\ \frac{1}{1 - x}; x > 2 \end{cases}, x = 2$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - 2} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (1 - x^{2}) = 1 - {(2)}^{2} = 1 - 4 = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} Ω = |\lim_{x \to 2^{+}} f (x) - \lim_{x \to 2^{-}} f (x)| = |(- 1) - (- 3)| = |- 1 + 3| = 2 \end{array}$

$f (x) = [x] - [- x]; x = n \in Z$

محاسبه حد راست:

$\begin{array}{l} i f x \to n^{+} \Rightarrow n < x < n + α \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} [x] = n \\ - n - α < - x < - n \Rightarrow [- x] = - n - 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to n^{+}} f (x) = \lim_{x \to n^{+}} ([x] - [- x]) = (n - (- n - 1)) = 2 n + 1 \end{array}$

محاسبه حد چپ:

$\begin{array}{l} i f x \to n^{-} \Rightarrow n - α < x < n \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} [x] = n - 1 \\ - n < - x < - n + α \Rightarrow [- x] = - n \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to n^{-}} f (x) = \lim_{x \to n^{-}} ([x] - [- x]) = (n - 1) - (- n) = 2 n - 1 \end{array}$

محاسبه جهش تابع در نقطه $x = n$ :

$Ω = |\lim_{x \to n^{+}} f (x) - \lim_{x \to n^{-}} f (x)| = |(2 n + 1) - (2 n - 1)| = 2$

جهش تابع را در نقاط به طول صحیح در نمودار زیر مشاهده می‌کنید:

جهش و حد تابع - پیمان گردلو

$f (x) = A r c \cot (\cot x); x = π$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to π^{+}} f (x) = \lim_{x \to π^{+}} A r c \cot \cot x = A r c \cot \cot π^{+} = A r c \cot (+ \infty) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to π^{-}} f (x) = \lim_{x \to π^{-}} A r c \cot \cot x = A r c \cot \cot π^{-} = A r c \cot (- \infty) = π - A r c \cot (+ \infty) = π - 0 = π \end{array}$

$\begin{array}{l} Ω = |\lim_{x \to π^{+}} f (x) - \lim_{x \to π^{-}} f (x)| = |0 - π| = π \end{array}$

جهش تابع را در نقاط به طول صحیح در نمودار زیر مشاهده می‌کنید:

جهش و حد تابع - پیمان گردلو

یادآوری می‌کنیم که:

$\{\begin{cases} A r c \sin (- x) = - A r c \sin x \\ A r c \cos (- x) = π - A r c \cos x \\ A r c \tan (- x) = - A r c \tan x \\ A r c \cot (- x) = π - A r c \cot x \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

جهش و حد تابع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟