سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد تابع و بسط سری مک‌ لورن

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بسط سری مک‌ لورن در حل بعضی از حد توابع

به طور غیر رسمی این قضیه بیان کننده این مطلب است که هر تابع را که چند بار مشتق پذیر باشد می‌توان به‌صورت یک چند جمله ای بی‌پایان بر حسب متغیر $x$ نوشت.

هدف از این قضیه، کاربرد آن در محاسبه بعضی حدها می‌باشد.

قضیه

تابع زیر را که دارای تعداد بی‌پایان جمله می‌باشد، در نظر می‌گیریم:

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n} + \cdot \cdot \cdot$

بسط تابع $f (x)$ را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم و این اتحاد را یک سری یا دستور مک‌لورن می‌نامیم:

$f (x) = f (0) + f^{'} (0) \frac{x}{1!} + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{'''} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdot \cdot \cdot + f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot$

اثبات

مقدار تابع و مشتقات متوالی آن را در $x = 0$ محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f (0) = a_{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot \Rightarrow f^{'} (0) = a_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{''} (x) = 2 a_{2} + 6 a_{3} x + \cdot \cdot \cdot \Rightarrow f^{''} (0) = 2 a_{2} \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{2} f^{''} (0) \Rightarrow a_{2} = \frac{f^{''} (0)}{2!} \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'''} (x) = 6 a_{3} + \cdot \cdot \cdot \Rightarrow f^{'''} (0) = 6 a_{3} \Rightarrow a_{3} = \frac{f^{'''} (0)}{6} \Rightarrow a_{3} = \frac{f^{'''} (0)}{3!} \\ ⋮ \end{array}$

$f^{(n)} (x) = n (n - 1) (n - 2) \times \cdot \cdot \cdot \times 2 \times 1 \times a_{n} + \cdot \cdot \cdot \Rightarrow f^{(n)} (0) = n! a_{n} \Rightarrow a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}$

ضرایب $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ بدست آمده را در معادله $f (x)$ قرار می‌دهیم:

$f (x) = f (0) + f^{'} (0) \frac{x}{1!} + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{'''} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdot \cdot \cdot + f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot$

تمرین

بسط سری مک‌لورن توابع زیر را در نقطه $x = 0$ بدست آورید:

$f (x) = \cos x$

$\begin{array}{l} f (x) = \cos x \Rightarrow f (0) = \cos (0) \Rightarrow f (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = - \sin x \Rightarrow f^{'} (0) = - \sin 0 \Rightarrow f^{'} (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{''} (x) = - \cos x \Rightarrow f^{''} (0) = - \cos 0 \Rightarrow f^{''} (0) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'''} (x) = \sin x \Rightarrow f^{'''} (0) = \sin 0 \Rightarrow f^{'''} (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{(4)} (x) = \cos x \Rightarrow f^{(4)} (0) = 1 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} f (x) = f (0) + f^{'} (0) \frac{x}{1!} + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{'''} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdot \cdot \cdot + f^{n} (0) \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} f (x) = 1 + 0 - 1 \frac{x^{2}}{2!} + 0 + 1 \frac{x^{4}}{4!} \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$f (x) = e^{x}$

$\begin{array}{l} f (x) = e^{x} \Rightarrow f (0) = e^{0} \Rightarrow f (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = e^{x} \Rightarrow f^{'} (0) = e^{0} \Rightarrow f^{'} (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \\ f^{(n)} (x) = e^{x} \Rightarrow f^{(n)} (0) = e^{0} \Rightarrow f^{(n)} (0) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = f (0) + f^{'} (0) \frac{x}{1!} + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + \cdot \cdot \cdot + f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = 1 + 1. \frac{x}{1!} + 1. \frac{x^{2}}{2!} + \cdot \cdot \cdot + 1. \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

نکته

بسط سری مک‌ لورن بعضی از توابع به صورت زیر است:

$\begin{array}{l} \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x^{n}}{n!} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$L n (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{{(- 1)}^{n - 1} x^{n}}{n} + \cdot \cdot \cdot$

$\begin{array}{l} \tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \tan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\begin{array}{l} A r c \sin x = x + \frac{x^{3}}{2 \times 3} + \frac{1 \times 3 \times x^{5}}{2 \times 4 \times 5} + \cdot \cdot \cdot \end{array}$

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n} + \cdot \cdot \cdot; |x| < 1$

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^{3}}{6}}{x^{5}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^{3}}{6}}{x^{5}} = \frac{0}{0}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^{3}}{6}}{x^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \cdot \cdot \cdot) - x + \frac{x^{3}}{6}}{x^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \cdot \cdot \cdot}{x^{5}} \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} x^{2} + \cdot \cdot \cdot) \\ = \frac{1}{5!} \\ = \frac{1}{120} \end{array}$

$\lim_{x \to + \infty} x^{4} (\cos \frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{2 x^{2}})$

$\lim_{x \to + \infty} x^{4} (\cos \frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{2 x^{2}}) = \infty \times 0$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} x^{4} (\cos \frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{2 x^{2}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to + \infty} x^{4} [(1 - \frac{1}{2! x^{2}} + \frac{1}{4! x^{4}} - \frac{1}{6! x^{6}} + \cdot \cdot \cdot) - 1 + \frac{1}{2 x^{2}}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to + \infty} x^{4} [\frac{1}{4! x^{4}} - \frac{1}{6! x^{6}} + \cdot \cdot \cdot] \\ = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{4!} - \frac{1}{6! x^{2}} + \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4!} \\ = \frac{1}{24} \end{array}$

یادآوری می‌کنیم که:

$i f \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} \cdot \cdot \cdot \Rightarrow \cos \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2! x^{2}} + \frac{1}{4! x^{4}} - \cdot \cdot \cdot$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan n x - n \tan x}{n \sin x - \sin n x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan n x - n \tan x}{n \sin x - \sin n x} = \frac{0}{0}$

$\tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \cdot \cdot \cdot$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} \tan n x = (n x) + \frac{1}{3} {(n x)}^{3} + \frac{2}{15} {(n x)}^{5} + \cdot \cdot \cdot \\ n \tan x = n x + \frac{1}{3} n x^{3} + \frac{2}{15} n x^{5} + \cdot \cdot \cdot \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \tan n x - n \tan x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = [(n x) + \frac{1}{3} n^{3} x^{3} + \frac{2}{15} n^{5} x^{5} + \cdot \cdot \cdot] - [n x + \frac{1}{3} n x^{3} + \frac{2}{15} n x^{5} + \cdot \cdot \cdot] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = (n x + \frac{1}{3} n^{3} x^{3} + \frac{2}{15} n^{5} x^{5} + \cdot \cdot \cdot) + (- n x - \frac{1}{3} n x^{3} - \frac{2}{15} n x^{5} - \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\frac{1}{3} n^{3} x^{3} - \frac{1}{3} n x^{3} + \frac{2}{15} n^{5} x^{5} - \frac{2}{15} n x^{5} + \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{3} (\frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{3} n + \frac{2}{15} n^{5} x^{2} - \frac{2}{15} n x^{2} + \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \cdot \cdot \cdot$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} \sin n x = n x - \frac{1}{3!} {(n x)}^{3} + \frac{1}{5!} {(n x)}^{5} - \cdot \cdot \cdot \\ n \sin x = n x - \frac{1}{3!} n x^{3} + \frac{1}{5!} n x^{5} - \cdot \cdot \cdot \end{cases} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} n \sin x - \sin n x \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = (n x - \frac{1}{3!} n x^{3} + \frac{1}{5!} n x^{5} - \cdot \cdot \cdot) - (n x - \frac{1}{3!} {(n x)}^{3} + \frac{1}{5!} {(n x)}^{5} - \cdot \cdot \cdot) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = (n x - \frac{1}{3!} n x^{3} + \frac{1}{5!} n x^{5} - \cdot \cdot \cdot) + (- n x + \frac{1}{3!} {(n x)}^{3} - \frac{1}{5!} {(n x)}^{5} + \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = [n x - n x - \frac{1}{3!} n x^{3} + \frac{1}{3!} {(n x)}^{3} + \frac{1}{5!} n x^{5} - \frac{1}{5!} {(n x)}^{5} - \cdot \cdot \cdot] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = x^{3} (- \frac{1}{3!} n + \frac{1}{3!} n^{3} + \frac{1}{5!} n x^{2} - \frac{1}{5!} n^{5} x^{2} + \cdot \cdot \cdot) \end{array}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan n x - n \tan x}{n \sin x - \sin n x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} (\frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{3} n + \frac{2}{15} n^{5} x^{2} - \cdot \cdot \cdot)}{x^{3} (- \frac{1}{3!} n + \frac{1}{3!} n^{3} + \frac{1}{5!} n x^{2} - \cdot \cdot \cdot)} = \frac{\frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{3} n}{- \frac{1}{6} n + \frac{1}{6} n^{3}} = \frac{\frac{1}{3} n (n^{2} - 1)}{\frac{1}{6} n (n^{2} - 1)} = 2$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

حد تابع و بسط سری مک‌ لورن

بسط سری مک‌ لورن در حل بعضی از حد توابع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟