سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد تابع و بسط سری مک‌ لورن

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

بسط سری مک‌لورن در حل بعضی از حد توابع

به طور غیر رسمی این قضیه بیان کننده این مطلب است که هر تابع را که چند بار مشتق پذیر باشد می‌توان به‌صورت یک چند جمله ای بی‌پایان بر حسب متغیر x نوشت.

هدف از این قضیه، کاربرد آن در محاسبه بعضی حدها می‌باشد.

قضیه

تابع زیر را که دارای تعداد بی‌پایان جمله می‌باشد، در نظر می‌گیریم:

fx=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn+

بسط تابع fx را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم و این اتحاد را یک سری یا دستور مک‌لورن می‌نامیم:

fx=f0+f'0x1!+f''0x22!+f'''0x33!++fn0xnn!+

اثبات

مقدار تابع و مشتقات متوالی آن را در x=0 محاسبه می‌کنیم:

f0=a0f'x=a1+2a2x+3a3x2++nanxn1+f'0=a1f''x=2a2+6a3x+f''0=2a2a2=12f''0a2=f''02!f'''x=6a3+f'''0=6a3a3=f'''06a3=f'''03!                                          fnx=nn1n2××2×1×an+fn0=n!anan=fn0n!


ضرایب a1,a2,...,an بدست آمده را در معادله fx قرار می‌دهیم: 

fx=f0+f'0x1!+f''0x22!+f'''0x33!++fn0xnn!+

تمرین

بسط سری مک‌لورن توابع زیر را در نقطه x=0 بدست آورید:

fx=cosx

fx=cosxf0=cos0f0=1f'x=sinxf'0=sin0f'0=0f''x=cosxf''0=cos0f''0=1f'''x=sinx   f'''0=sin0f'''0=0f4x=cosxf40=1


fx=f0+f'0x1!+f''0x22!+f'''0x33!++fn0xnn!+fx=1+01x22!+0+1x44!+1nx2n2n!+cosx=1x22!+x44!x66!++1nx2n2n!+

fx=ex

fx=exf0=e0f0=1f'x=exf'0=e0f'0=1                               fnx=exfn0=e0fn0=1


fx=f0+f'0x1!+f''0x22!++fn0xnn!+fx=1+1.x1!+1.x22!++1.xnn!+ex=1+x+x22!+x33!++xnn!+

نکته

بسط سری مک‌لورن بعضی از توابع به صورت زیر است:

cosx=1x22!+x44!x66!++1nx2n2n!+sinx=xx33!+x55!x77!++1nx2n+12n+1!+ex=1+x+x22!+x33!++xnn!+Ln1+x=xx22+x33x44++1n1xnn+

tanx=x+x33+2x515+17x7315+Arctanx=xx33+x55x77++1nx2n+12n+1+Arcsinx=x+x32×3+1×3×x52×4×5+11x=1+x+x2++xn+    ;    x<1

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx0sinxx+x36x5

limx0sinxx+x36x5=00

limx0sinxx+x36x5=limx0x13!x3+15!x517!x7+x+x36x5=limx015!x517!x7+x5=limx015!17!x2+=15!=1120

limx+x4cos1x1+12x2

limx+x4cos1x1+12x2=×0


limx+x4cos1x1+12x2=limx+x4112!x2+14!x416!x6+1+12x2=limx+x414!x416!x6+=limx+14!16!x2+=14!=124


یادآوری می‌کنیم که:

if  cosx=112!x2+14!x4cos1x=112!x2+14!x4

limx0tannxntanxnsinxsinnx

limx0tannxntanxnsinxsinnx=00

tanx=x+13x3+215x5+tannx=nx+13nx3+215nx5+ntanx=nx+13nx3+215nx5+


tannxntanx=nx+13n3x3+215n5x5+nx+13nx3+215nx5+=nx+13n3x3+215n5x5++nx13nx3215nx5


=13n3x313nx3+215n5x5215nx5+=x313n313n+215n5x2215nx2+


sinx=x13!x3+15!x5sinnx=nx13!nx3+15!nx5nsinx=nx13!nx3+15!nx5

nsinxsinnx=nx13!nx3+15!nx5nx13!nx3+15!nx5=nx13!nx3+15!nx5+nx+13!nx315!nx5+


=nxnx13!nx3+13!nx3+15!nx515!nx5=x313!n+13!n3+15!nx215!n5x2+


limx0tannxntanxnsinxsinnx=limx0x313n313n+215n5x2x313!n+13!n3+15!nx2=13n313n16n+16n3=13nn2116nn21=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید