مفهوم فیزیکی حد

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در تمرین زیر سرعت سقوط سنگ را در هر لحظه حساب می‌کنیم.

تمرین

اگر سنگی را از بالای یک ساختمان $16$ متری رها کنیم، طبق قوانین فیزیکی ارتفاع آن در هر لحظه $t$ به‌صورت $y (t) = 16 - 5 t^{2}$ است که $t$ بر حسب ثانیه و $y (t)$ برحسب متر است.

ارتفاع سنگ، پس از گذشت $t = 1$ ثانیه پس از سقوط؟

$\begin{array}{l} y (t) = 16 - 5 t^{2} \\ \Rightarrow y (1) = 16 - 5 {(1)}^{2} \\ \Rightarrow y (1) = 16 - 5 \\ \Rightarrow y (1) = 11 m \end{array}$

ارتفاع سنگ، پس از گذشت $(1 + h)$ ثانیه پس از سقوط.( $h$ عدد کوچکی است.)

$\begin{array}{l} y (t) = 16 - 5 t^{2} \\ \Rightarrow y (1 + h) = 16 - 5 {(1 + h)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (1 + h) = 16 - 5 (1 + 2 h + h^{2}) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow y (1 + h) = 16 - 5 - 10 h - 5 h^{2} \\ \Rightarrow y (1 + h) = - 5 h^{2} - 10 h + 11 \end{array} \end{matrix}$

بین دو لحظه $t = 1$ و $t = 1 + h$ سنگ به چه میزان حرکت کرده است؟

$y (1 + h) - y (1) = (- 5 h^{2} - 10 h + 11) - 11 = - 5 h^{2} - 10 h$

این حرکت در‌ $(1 + h) - 1 = h$ ثانیه انجام شده است.

سرعت متوسط سنگ بین دو لحظه $t = 1$ و $t = 1 + h$ را محاسبه کنید.

$\bar{V} = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{y (1 + h) - y (1)}{(1 + h) - 1} = \frac{- 5 h^{2} - 10 h}{h} = - 5 h - 10$

تمرین

متحرکی روی محور $x$ ها به گونه‌ای حرکت می‌کند که در هر لحظه $t \geq 0$ در مکان $x (t) = t^{2} - t$ قرار دارد.

نمودار حرکت این متحرک را رسم کنید.

$x (t) = t^{2} - t \Rightarrow x (t) = (t^{2} - t + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} \Rightarrow x (t) = {(t - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

مفهوم فیزیکی حد

بر اساس دامنه، چگونگی حرکت این متحرک را توصیف کنید.

نمودار این تابع در دامنه‌ اش $t \geq 0$ به‌صورت زیر است:

مفهوم فیزیکی حد

تحلیل شکل فوق به صورت زیر است:

در $t = 0$ متحرک در نقطه $x = 0$ یعنی مبدا قرار دارد.

در $t = \frac{1}{2}$ متحرک به اندازه $x = - \frac{1}{4}$ در خلاف جهت حرکت کرده اما در $t = 1$ مجددا به نقطه $x = 0$ یعنی مبدا، می‌رسد.

سرعت متوسط متحرک بین دو لحظه $2$ و $(2 + h)$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} x (2) = {(2)}^{2} - 2 = 2 \end{array}$

$x = (2 + h) = {(2 + h)}^{2} - (2 + h) = (4 + 4 h + h^{2}) - 2 - h = h^{2} + 3 h + 2$

$\bar{V} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{x (2 + h) - x (2)}{(2 + h) - 2} = \frac{(h^{2} + 3 h + 2) - 2}{h} = \frac{h^{2} + 3 h}{h} = \frac{h (h + 3)}{h} = h + 3$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

مفهوم فیزیکی حد

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟